Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
\( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere,
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) olsun. Bu denklemin köklerinden biri, örneğin \( x_1 \) bulunur. Bu durumda \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) ifadesinin çarpanlarından biri \( x – x_1 \) olacağından,
\[
\frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{x – x_1} = Ax^2 + Bx + C
\]
elde edilir.
\( Ax^2 + Bx + C = 0 \) denkleminin kökleri,
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
denkleminin \( x_2, x_3 \) köklerini verir.
Örnek:
\[
x^3 – 8x^2 + 19x – 12 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Verilen denklemin katsayılar toplamı
\[
1 – 8 + 19 – 12 = 0
\]
olduğundan köklerden birisi \( 1 \) dir. O halde,
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 – 8x^2 + 19x – 12 & x-1 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & x^2 – 7x + 12 \\
0 &
\end{array}
\]
olur. Buradan,
\[
x^2 – 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3 \quad \text{veya} \quad x = 4
\]
olduğundan,
\[
Ç = \{ 1, 3, 4 \}
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\[
x^3 – x^2 – x – 2 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Bu denklemin sabit terimi olan \(-2\)’nin çarpanlardan biri olan \(2\)’nin bu denklemi sağladığı görülür. O halde,
\[
Ç_1 = \{2\}
\]
dir. Ayrıca,
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 – x^2 – x – 2 & x-2 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & x^2 + x + 1 \\
0 &
\end{array}
\]
olur. Buradan,
\[
x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow Ç_2 = Ø
\]
bulunur. Çözüm kümesi
\[
Ç = Ç_1 \cup Ç_2 = \{2\}
\]
dir.
Örnek:
\[
2x^3 – 3x + 1 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Verilen denklemin katsayılar toplamı
\[
2 – 3 + 1 = 0
\]
olduğundan köklerden birisi \(1\) dir. O halde,
\[
\begin{array}{r|l}
2x^3 – 3x + 1 & x-1 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & 2x^2 + 2x – 1 \\
0 &
\end{array}
\]
olur. Buradan,
\[
2x^2 + 2x – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_{2 , 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2}
\]
olduğundan,
\[
Ç = \left\{ \frac{-1 – \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, 1 \right\}
\]
dir.
Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar:
Kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) olan
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
denkleminin her iki yanını \( a \) ile bölünürse,
\[
x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0
\]
elde edilir.
Ayrıca bu denklem
\[
(x – x_1)(x – x_2)(x – x_3) = 0
\]
şeklinde yazılarak düzenlenirse.
Köklerin Toplamı:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
\]
Köklerin Çarpımı:
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}
\]
Köklerin İkili Çarpımlarının Toplamı:
\[
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}
\]
Örnek:
\[
x^3 – 4x^2 + 6 = 0
\]
denkleminin kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) tür.
\[
A = \frac{x_1}{x_2 x_3} + \frac{x_2}{x_1 x_3} + \frac{x_3}{x_1 x_2}
\]
ifadesinin değerini bulalım.
\[
A = \frac{x_1}{x_2 x_3} + \frac{x_2}{x_1 x_3} + \frac{x_3}{x_1 x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{x_1 x_2 x_3}
\]
\[
A = \frac{(x_1 + x_2 + x_3)^2 \;- \; 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}{x_1 x_2 x_3}
\]
\[
A = \frac{4^2 – 2 \cdot 1}{-6} = -\frac{7}{3}
\]
olarak bulunur.
Soru 34
\[
x^3 + (m + 1)x^2 – mx – 2 = 0
\]
denkleminin kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) tür.
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}
\]
olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Çözüm:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{-m}{2} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow m = 1
\]
bulunur. O halde,
\[
x^3 + (m + 1)x^2 – mx – 2 = 0 \Rightarrow x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0
\]
olduğundan
\[
x_1 + x_2 + x_3 = -2
\]
dir.
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 35
\[
x^3 + 3ax + 16 = 0
\]
denkleminin köklerinden ikisi çakışıktır. Buna göre a kaçtır?
\[
\text{A) } -6 \quad
\text{B) } -5 \quad
\text{C) } -4 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
Verilen denklemin kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) ise ikisi çakışık olduğundan \( x_1 = x_2 \) olsun.
\[
x_1 + x_2 + x_3 = 2x_1 + x_3 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_3 = -2x_1
\]
\[
x_1 x_2 x_3 = x_1^2 x_3 = -16
\]
\[
\Rightarrow x_1^2 (-2x_1) = -16
\]
\[
\Rightarrow -2x_1^3 = -16
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 2
\]
değeri denklemin bir kökü olduğundan denklemi sağlar.
\[
x^3 + 3ax + 16 = 0 \Rightarrow 2^3 + 3a \cdot 2 + 16 = 0
\]
\[
\Rightarrow a = -4
\]
tür.
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 36
\[
x^3 + x^2 – 3x + m = 0
\]
denkleminin kökleri \( x_1, x_2, x_3 \) tür.
\[
x_1^2 \;x_2^2\; x_3 + x_1^2\; x_2 \;x_3^2 + x_1\;x_2^2\;x_3^2 = 3
\]
olduğuna göre, m kaçtır?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Çözüm:
\[
x_1^2 \;x_2^2\; x_3 + x_1^2\; x_2 \;x_3^2 + x_1\;x_2^2\;x_3^2 = 3
\]
\[\Rightarrow x_1 \;x_2\; x_3 (x_1\;x_2+ x_1\;x_3 + x_2\; x_3)= 3 \]
\[\Rightarrow -m \cdot (-3)= 3 \Rightarrow m=1 \quad \text{dir.} \]
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 37
\( m \) ve \( n \) sıfırdan farklı reel sayılardır.
\[
x^2 – mx + n = 0
\]
denkleminin kökleri
\[
2x^3 – 4mx^2 + 3x – 2mn^2 = 0
\]
denkleminin de kökleri olduğuna göre, n kaçtır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
x^2 – mx + n = 0
\]
denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) ve
\[
2x^3 – 4mx^2 + 3x – 2mn^2 = 0
\]
denkleminin kökleri ise \( x_1,\; x_2,\; x_3 \) olsun.
\[
x_1 + x_2 = m
\]
\[
x_1 + x_2 + x_3 = 2m
\]
\[
\Rightarrow x_3 = m
\]
\[
x_1 x_2 = n
\]
\[
x_1 \;x_2 \; x_3 = mn^2
\]
\[
\Rightarrow nm = mn^2
\]
\[
\Rightarrow n = 1
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
n’inci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar:
\[
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0
\]
denkleminin kökleri \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n \) olsun.
Köklerin Toplamı:
\[
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}
\]
Köklerin Çarpımı:
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}
\]
Örnek:
\[
2x^7 – 6x^6 + 3x^2 – x – 4 = 0
\]
denkleminin köklerinin toplamını ve çarpımını bulalım.
\[
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_7 = -\frac{-6}{2} = 3
\]
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_7 = (-1)^7 \cdot \frac{-4}{2} = 2
\]
SORU 38
\[
x^4 + ax^2 + 4 = 0
\]
denkleminin bütün kökleri reeldir. Bu kökler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Dördü de pozitiftir.
B) İkisi pozitif, ikisi negatiftir.
C) Üçü pozitif, biri negatiftir.
D) Dördü de negatiftir.
E) Üçü negatif, biri pozitiftir.
Çözüm:
Verilen denklemin kökleri \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) olsun.
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0
\]
ve
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (-1)^4 \cdot \frac{4}{1} = 4
\]
tür. O halde köklerin toplamı sıfır, köklerin çarpımı pozitif olduğundan köklerin ikisi pozitif, ikisi negatif olmalıdır.
\(\textbf{Cevab: B} \)