Ardışık Sayılar

Ardışık Sayılar

Bir sıralamada herhangi bir eleman kendisinden bir önceki elemanın ardışığıdır. Örneğin tam sayılarda belli bir kurala göre art arda sıralanan sayılara ardışık sayılar denir.

• n nin ardışığı n + 1

• tek sayılarda 7 nin ardışığı 9

• \(1+ x + x^2+ x^3\) ifadesinde x² ardışığı x³ tür

Belli bir kurala göre art arda sıralanan sayılara ardışık sayılar denir.

Örnek:

\(n \in Z\) olmak üzere

• Ardışık tamsayılar \(\dots-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots, n, n+1, \dots\)

• Ardışık çift sayılar: \(\dots-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots, 2n, 2n+2, \dots\)

• Ardışık tek sayılar \(\dots-5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots, 2n-1, 2n+1, \dots\)

• 3 ün katı olan ardışık tamsayılar \(\dots-6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots, 3n, 3n+3, \dots\)

• \(n^3\) genel terimli ardışık sayılar \(\dots-27, -8, -1, 0, 1, 8, \dots, n^3, (n+1)^3, \dots\)

• Ardışık iki terimi arasındaki fark 5 olan tamsayılar.

$$\dots-12, -7, -2, 3, 8, 13, \dots, 5n+3, 5n+8, \dots$$

$$\dots-14, -9, -4, 1, 6, 11, \dots, 5n+1, 5n+6, \dots$$

şeklinde gösterilir.

Örnek:

a< b < c olmak üzere a, b ve c ardışık tek sayılar olduğuna göre, $$(c-a).(b-c)+(a-c).(a-b)^3.(b-c)$$ toplamının değerini bulalım.

a, b, c ardışık tek sayılar oldugundan, bu sayılar ikişer ikişer artar. Buna göre, a, b, c sayılar sırasıyla n, n+2, n+4 şeklinde seçilirse,

$$(c-a).(b-c) = (n+4-n).[n+2-(n+4)] = 4. (2-4) = -8$$

$$(a-c).(a-b^3).(b-c)=[n-(n +4)].[n-(n+2)]^3.[n+2-(n+4)]=$$

$$(-4).(-2)^3.(2-4)=-64$$ olduğundan

$$(-8)+(-64)=-72$$

Bu örneğin çözümünde n değeri sonucu etkilemeyeceğinden a , b , c sayıları için verilen şartları sağlayan sayı değerleri seçilerek de aşağıdaki gibi çözüm yapılabilir.

$$a=1, b=3, c=5 $$seçilirse,

$$=(c- a).(b- c)+(a- c).(a- b)^3.(b- c)$$

$$=(5- 1).(3- 5)+(1- 5).(1- 3)^3.(3- 5)$$

$$= – 72 $$ olarak bulunur.

Örnek:

Ardışık beş tane tek sayının toplamı k ise bu sayılardan en büyüğünün k cinsinden eşitini bulalım.

Ardışık iki tane tek sayı arasındaki fark 2 oldugundan bu sayılardan en küçüğüne x dersek bu sayılar,

$$x, x+2, x+4, x+6, x+8$$ olur. Bunların toplamı k ise,

$$5x +20 = k\implies x=\dfrac{k-20}{5}= \dfrac{k}{5}-4$$ olur Buna göre en büyük tek sayı

$$x+8=\dfrac{k}{5}-4+8\implies x+8=\dfrac{k+20}{5} $$olarak bulunur.

ikinci bir yoldan çözüm yapalım. Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan sonlu bir sayı dizisinde ortadaki sayı, bu sayıların aritmetik ortalamasına eşittir. Buna göre, bu beş sayıdan ortada olanı, x + 4, \(\dfrac{k}{5}\) e eşittir. O halde en büyük sayı, ortadaki sayıdan 4 fazla olduğundan

$$ x+8= \dfrac{k}{5}+4\implies x+8=\dfrac{k+20}{5}$$ olarak bulunur.

Soru 7:

Ardışık üç tane tamsayının çarpımı 120’dir. Buna göre, bu üç sayının toplamı kaçtır?

\[ A) 9\quad B) 12\quad C) 15\quad D) 18\quad E) 2\quad \]

Çözüm:

120 sayısını üç tane tamsayının çarpımı şeklinde yazarak, bunlardan çarpanları ardışık olanı tespit edelim:

$$120 = 1 \cdot 2 \cdot 60 \quad \quad 120 = 2 \cdot 3 \cdot 20 \quad \quad 120 = 3 \cdot 4 \cdot 10 \quad \quad 120 = 4 \cdot 5 \cdot 6$$
Soruda verilen şartlara uygun çarpanlar (4, 5, 6) olduğuna göre bu sayıların toplamı:

$$4 + 5 + 6 = 15$$

\(\textbf{Cevab: C} \) 

Terim: Bir ifadede artı (+) veya eksi (-) işaretleriyle birbirlerinden ayrılan, tek başına, çarpan halinde, bir parantez içinde veya bir kesir ya da bir kök altında bulunan çokluklardan her birine terim denir. Örneğin,

$$3.x^3+2.x^2y-(2x+y)+\dfrac{x^2-1}{y+1}-\sqrt[3]{1-x^2}$$ ifadesinde

$$3, \quad x^3, \quad2x^2y,\quad(2x+y),\quad\dfrac{x^2-1}{y+1}, \quad\sqrt[3]{1-x^2}$$ çoklukları birer terimdir.

Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları:

Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan sayı dizilerinin (aritmetik sayı dizilerinin) terimlerinin toplamı

$$\dfrac{ \textbf{(ilk terim + son terim)}}{2}\cdot\textbf{terim sayısı}$$ formülü ile bulunabilir. Terim sayısı ise,

$$\dfrac{\textbf{(son terim – ilk terim)}} {\textbf{ardışık iki terimin farkı}}+\textbf{1}$$ dir.

Burada,

ilk terim: m, son terim: n ardışık iki terim arasında ki fark (ortak fark): k, terim sayısı: t, terimlerin toplamı: T ile gösterilerek yukarıda ki formüller düzenlenirse,

$$  \textbf{t}= \dfrac{\textbf{n-m}} {\textbf{k}}+\textbf{1}  $$

$$  \textbf{T}= \dfrac{\textbf{(n+m)}}{\textbf{2}}.\textbf{t}  $$ aynı zamanda

$$ \textbf{T}= \dfrac{\textbf{(n+m)}.\textbf{(n-m+k)}}{\textbf{2k}} $$ elde edilir.

Örnek:

27, 29, 31, 33, … , 125 sayi dizisini meydana getiren kaç terim oldugunu bulalim.

Terim sayısı :$$ \dfrac{125- 27}{2} + 1 = 50$$ olarak bulunur.

Örnek:

T = 44 + 48 + 52 +… + 200 toplamının kaça eşit olduğuna bulalım.

Bu toplamı meydana getiren terimlerin tümü 4 ün katı oldugundan 4 parantezine alırsak,

$$ T= 4. (11+ 12+ 13+ ….+ 50)$$ elde edilir. Buna göre m = 11, n = 50, k = 1 değerleri toplam formülünde yerine yazılırsa

\[ T = 4 \cdot \dfrac{(50+11) \cdot (50-11+1)}{2 \cdot 1} = 4\cdot\dfrac{61\cdot40}{2} =4880\]

Örnekler:

 

• 1 + 2 + 3 + 4 +… + n toplamını bulalım.

\[ 1+2+3+4+\dots +n = \dfrac{(n+1)(n-1+1)}{2.1} = \dfrac{n\cdot(n+1)}{2} \]

• 2 + 4 + 6 + 8 +… + 2n toplamını bulalım.

\[ 2+4+6+8+\dots +2n = \dfrac{(2n+2)(2n-2+2)}{2.2} = {n\cdot(n+1)} \]

 

• • 1 + 3 + 5 + 7 +… + 2n-1 toplamını bulalım.

\[ 1+3+5+7+\dots+2n-1 =\dfrac{(2n-1+1)(2n-1-1+2)}{2.2} =n^2 \]

Yukarıdaki örneklerde, çok karşılaşılan aritmetik sayı dizilerinin terimlerinin toplamlarını veren formülleri elde ettik. Bu formüller,

• \[ \begin{aligned} &1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{n (n + 1)}{2} \\ &2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n = n (n + 1) \\ &1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n – 1) = n^2 \end{aligned} \]

Burada, terim sayısı (n), sayı dizisinin genel teriminin (n , 2n, 2n – 1) son terime eşitlenmesiyle bulunur.

1+3+5+7+…+119=T olduğuna göre T nin kaç oldugunu bulalım. n değeri,

$$119=2n- 1 \implies n= 60$$ olur. O halde T değeri,

$$1+3+5+7+\dots+119=T =60^2=3600$$ olarak bulunur

• • • 26+28+30+32+… +2n = 900 olduğuna göre verilen ifadenin kaç terimden meydana geldiğini bulalım.

Verilen ifadeye 2 + 4 + 6 + …+ 24 toplamını eklersek

\[ 2 + 4 + 6 +\dots+ 24 + 26 + 28 + \dots+ 2n = \]

\[ 12\cdot13+900=1056\]

$$\implies n\cdot(n+1)=32\cdot33$$

$$n=32$$bulunur. O halde 26 + 28 + 30 + … + 2.32 toplamındaki terim sayısı,

$$\dfrac{64-26}{2}+1 = 20 $$

• • • 7 + 11 + 15 + 19 +…+ 83 toplamının değerini bulalım.

$$ 7 + 11 + 15 + 19 +\dots+ 83 = \dfrac{(83+7)\cdot(83-7+4)}{(2.4)}=900$$ olarak bulunur

Soru 8:

9  ile 37 arasındaki çift doğal sayıların toplamı a, 39  ile 75 arasındaki çift doğal sayıların toplamı b,  1 ile 75 arasındaki çift doğal sayıların toplamı x ile gösterilirse,  x’in a ve b cinsinden eşiti nedir?

$$ \textbf{A)}\ 20 + a + b \quad \textbf{B)}\ 58 + a + b \quad \textbf{C)}\ a + b – 20 \quad \textbf{D)}\ a + b – 58 \quad \textbf{E)}\ a + b – 38$$

Çözüm: