Bağıntı
Bağıntı Nedir?
Matematikte bağıntı (ilişki), iki küme arasındaki belirli bir kurala göre tanımlanan ilişkidir. Eğer \( A \) ve \( B \) herhangi iki küme ise, \( A \) kümesinden \( B \) kümesine bir bağıntı, \[R \subset A \times B \Rightarrow R\; (Relation) : İlişki, Bağıntı \] şeklinde tanımlanır.
Örneğin, eğer
\[
A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{4, 5, 6\}
\]
kümesi verilmişse, \( R\) bağıntısı şu şekilde olabilir:
\[
R= \{(1,4), (2,5), (3,6)\}
\]
\( A \) ve \( B \) boş olmayan iki küme olmak üzere,
\( A \times B \) nin her bir alt kümesine A dan B ye bir bağıntı,
\( B \times A \) nın her bir alt kümesine B den A ya bir bağıntı,
\( A \times A \) nın her bir alt kümesine A dan A ya bir bağıntı (A da bir bağıntı) denir.
Örnekler:
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \) ve \( B = \{ a, b, c \} \) kümeleri verilsin.
\( \bullet \) \( R_1 = \{ (1, a) , (2,a), (3,b) \} \) ise \( R_1 \subset A \times B \) dir. O halde \(R_1, \) \(A \) dan \(B \) ye bir bağıntıdır.
\( \bullet \) \( R_2 = \{ (2, a) , (3,b), (1,c) , (a, 1)\} \) ise \( (a, 1 ) \) \( \notin A \times B\) olduğundan \( R_2 \not\subset A \times B \) dir.
\( \bullet \) \( R_3 = \{ (a, a) , (a,b), (b,c) \} \) ise \( R_3 \subset B \times B \) dir. O halde \( R_3\), \(B \) den \(B \) ye bir bağıntıdır.
Uyarı:
Verilen bağıntı:
\[
R \subset A \times B \text{ olsun.}
\]
Eğer \((x, y) \in R\) ise, bunu
\[
y \, R \, x
\]
şeklinde gösterip, \( x \) elemanı \( R \) bağıntısı ile \( y \)’ye eşlenmiştir (\( y \) elemanı \( R \) bağıntısı ile \( x \)’e bağlanmıştır) denir.
Sıralı İkili
\(a \) ve \( b \) gibi herhangi iki elemanı, aralarında bir sıra gözeterek \((a, b) \) şeklinde yazmakla elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir. \((a, b) \) sıralı ikilisinde \(a\) ya birinci bileşen \(b \) ye ikinci bileşen denir.
Bir sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir. Bileşenlerin sırası değişirse başka bir ikili elde edilir. O halde, \( (a, b) ≠(b,a) \) dır. Ayrıca
\[
\begin{aligned}
&(x_1, x_2, x_3) \quad \text{sıralı üçlü} \\
&(x_1, x_2, x_4)\quad \text{sıralı dörtlü}\\
&\cdots \cdots\\
&\cdots \cdots\\
&(x_1, x_2, x_4, \cdots x_n)\quad \text{sıralı n li adını alır.}\\
\end{aligned}
\]
Sıralı İkililerin Eşitliği:
Sıralı ikililerin eşit olması için, bu ikililerin aynı numaralı bileşenleri, karşılıklı olarak birbirine eşit olmalıdır.
\[ (a, b) = (x,y ) \Rightarrow a = x \quad \text{ve } \;\; y= b \;\; \text{dir} \]
Soru 1
\[ (2^x, 2^{y+1} )= (8, 2^{x-1}) \] ise \(y \) kaçtır?
\[
\text{A)} 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Çözüm:
\[ (2^x, 2^{y+1} )= (8, 2^{x-1}) \] olduğuna göre
\[ 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x= 3 \;\; \text{ve} \]
\[ 2^{y+1} = 2^{x-1} \Rightarrow y+1= x -1 \]
\[ \Rightarrow y+1= 3 -1 \Rightarrow y= 1 \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 2
\[ (\frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{4}{z} )= (y^2, z^2, x^2) \] ise \( xyz \) çarpımı kaçtır?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Çözüm:
Sıralı üçlülerin birbirine eşit olması için aynı numaralı bileşenleri karşılıklı birbirine eşit olmalıdır. Buna göre,
\[ \frac{1}{x} = y^2 \Rightarrow 1 = xy^2 \]
\[ \frac{2}{y} = z^2 \Rightarrow 2 = yz^2 \]
\[ \frac{4}{z} = x^2 \Rightarrow 4 = zx^2 \]
\[
\begin{aligned}
&1 = xy^2\\
&2 = yz^2\\
\times \quad &4 = zx^2 \\
\hline
\quad &8= x^3y^3z^3 \Rightarrow xyz= 2
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Bağıntının Kullanım Alanları
Bağıntılar, matematikte fonksiyonlar, graf teorisi, küme teorisi ve veri tabanları gibi birçok alanda kullanılır.
- Matematik → Eşdeğerlik bağıntıları, sıralamalar, fonksiyonlar.
- Mantık ve Küme Teorisi → Elemanlar arasındaki ilişkileri gösterir.
- Veritabanları (SQL) → Tablolar arası bağlantılar bağıntılarla modellenir.
- Graf Teorisi → Düğümler arasındaki bağlantıları tanımlar.