Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
\(a , b \in R \) ve \( a \neq 0\) olmak üzere, \( ax +b = 0 \) şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
\( ax +b = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x = \large{ -\frac{b}{a} } \) sayısına bu denklemin kökü denir ve denklemin çözüm kümesi,
\( \bullet \quad \large {\frac{2x-1}{3} + \frac{3x+2}{6} }= 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[ \frac{2x-1}{3} + \frac{3x +2}{6} = 2 \]
\[ \Rightarrow \frac{2(2x-1) }{2 \cdot 3} + \frac{3x+2}{6} = 2 \]
\[\Rightarrow \frac{4x -2 + 3x+ 2 }{6} = 2 \]
\[ \Rightarrow 7x = 12 \]
\[ \Rightarrow x = \frac{12}{7} \]
\[ \Rightarrow Ç = \left\{\frac{12}{7} \right\} \quad \text{bulunur. } \]
Uyarı:
\[\frac{ P(x)}{Q(x)} = 0 \] şeklindeki rasyonel denklemlerde, \( P(x) =0 \) ve \( Q(x) \neq 0 \) olmalıdır. Paydayı sıfır yapan \(x \) değerleri, kesri tanımsız yapacağından çözüm kümesinin elemanı olamaz.
\[ P(x) \cdot Q(x) = 0 \] şeklindeki denklemlerde, \( P(x) =0 \) veya \( Q(x) =0 \) olmalıdır.
Soru 1
\[ \frac{x}{x-2} + \frac{1}{2x-1} = \frac{4}{x^2-4} + \frac{2x}{2x-1} \]
denkleminin çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A)} \{ 0,2 \} \quad
\text{B) } \{ 2 \} \quad
\text{C) } \{ 0 \} \quad
\text{D) } \{ 1,2 \} \quad
\text{E) } \{ 3 \}
\]
Çözüm:
\[ \frac{x}{x-2} + \frac{1}{2x-1} = \frac{4}{x^2-4} + \frac{2x}{2x-1} \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{x-2} =\frac{4}{x^2-4} + \frac{2x-1}{2x-1} \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{4 + x^2- 4}{x^2-4} \]
\[ \Rightarrow x(x^2-4) = (x-2)x^2 \]
\[\Rightarrow 2x (x-2) =0 \]
\[ \Rightarrow x = 0 \quad \text{veya } \quad x= 2 \]
Burada,
\[ x = 2 \Rightarrow \frac{x}{x-2} \quad \text{ve } \quad \frac{4}{x^2-4} \]
kesirlerinin paydası 0 olduğundan, 2 sayısı çözüm kümesinin elemanı degildir. O halde,
\[ Ç = \{ 0 \} \] dır.
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 2
\[ \large \frac{\frac{x}{x-1}+ \frac{1}{1-x} }{x} = \frac{x}{2-x} \]
denkleminin çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A)} \{ 1,2 \} \quad
\text{B) } \{ -1, 2 \} \quad
\text{C) } \{ -2, -1 \} \quad
\text{D) } \{ -2 \} \quad
\text{E) } \{ -1 \}
\]
Çözüm:
\[\large \frac{\frac{x}{x-1}+ \frac{1}{1-x} }{x} = \frac{x}{2-x} \Rightarrow \frac{\frac{x}{x-1}- \frac{1}{x-1} }{x} = \frac{x}{2-x} \]
\[ \Rightarrow \large \frac{\frac{x-1}{x-1} }{x} = \frac{x}{2-x} \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{x}{2-x} \]
\[\Rightarrow x^2 = 2-x \]
\[\Rightarrow x^2 +x-2 = 0 \]
\[\Rightarrow (x-1) \cdot (x+2 )= 0 \]
\( \Rightarrow x = 1 \) veya \( \Rightarrow x = -2 \) bulunur. Burada \( x = 1 \) için \( \frac{x}{x-1 } \) kesrinin paydası \(0 \) olduğundan \( 1\) sayısı çözüm kümesinin elamanı değildir. O halde
\[ Ç = \{ -2 \} \] dir.
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 3
\[ x = \frac{3}{m+1} \quad \text{ve } \quad y = \frac{2m+3 }{m+1 } \]
ise y nin x cinsinden eşiti nedir?
\[
\text{A)} \frac{2+x}{5} \quad
\text{B) } \frac{6+x}{3} \quad
\text{C) } \frac{2x+1}{3} \quad
\text{D) } \frac{x+1}{5} \quad
\text{E) } x-3
\]
Çözüm:
\[ y= \frac{2m+ 3 }{m+1 } = \frac{2 (m+1 ) +1}{m+1 } = 2+ \frac{1}{m+1} \]
\[ x = \frac{3}{m+1 } \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{1}{m+1 } \quad \text{olduğundan} \]
\[y =2 + \frac{x}{3} \Rightarrow y = \frac{6+x }{3} \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 4
\[ \frac{1+ \frac{x}{x-1} }{\frac{1}{x-1}+ \frac{1}{x+1} } = x+a \]
denkleminin çözüm kümesi \( \{ -\frac{1}{5} \} \) ise, a reel sayının değeri nedir?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[ \frac{1+ \frac{x}{x-1} }{\frac{1}{x-1}+ \frac{1}{x+1} } = x+a \Rightarrow \frac{ \frac{2x-1}{x-1} }{\frac{2x}{(x-1)(x+1)} } =x +a \]
\[ \Rightarrow \frac{(2x-1) (x+1)}{2x} = x+a \]
\[\Rightarrow 2x^2+ x-1 = 2x^2+ 2ax \]
\[ \Rightarrow x-1 = 2ax \]
Ç= \( \{ -\frac{1}{5} \} \) olduğundan \( x= -\frac{1}{5} \) değeri yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa,
\[ – \frac{1}{5} \;- \;1 = 2a \;(-\frac{1}{5} ) \]
\[\Rightarrow a= 3 \]
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 5
\(a \neq b \) olmak üzere
\[ \frac{x}{a} + \frac{a-1}{2} = \frac{x}{b} + \frac{b-1}{2} \]
denkleminin sağlayan x değeri nedir?
\[
\text{A) } a+b \quad
\text{B) } ab \quad
\text{C) } \frac{a+b}{2} \quad
\text{D) } \frac{-ab}{2} \quad
\text{E) } \frac{ab}{2}
\]
Çözüm:
\[\frac{x}{a} + \frac{a-1}{2} = \frac{x}{b} + \frac{b-1}{2} \]
\[ \Rightarrow \frac{x}{a} \;- \; \frac{x}{b} = \frac{b-1}{2} \;-\; \frac{a-1}{2} \]
\[ \Rightarrow \frac{x (b-a)}{ab} = \frac{b-a}{2} \Rightarrow x = \frac{ab}{2} \]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 6
\[ \displaystyle \frac{6}{4 – \Large \frac{3}{2 + \frac{1}{x+1}}} = 2 \]
ise x değeri nedir?
\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Çözüm:
\[ \frac{6}{4 – \frac{3}{2 + \frac{1}{x+1}}} = 2 \Rightarrow 4 – \frac{3}{2 + \frac{1}{x+1}} = 3 \]
\[ \frac{3}{2 + \frac{1}{x+1}} = 1 \Rightarrow 2 + \frac{1}{x+1} = 3 \]
\[ \frac{1}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1 = 1 \Rightarrow x = 0 \]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Uyarı:
\(a, b \in R \) olmak üzere \(ax+ b = 0 \) şeklindeki eşitliklerde:
- \( a= 0 \) ve \( b= 0 \) ise \( 0 \cdot x + 0 = 0 \) olduğundan x yerine yazılabilecek her reel sayı değeri bu eşitliği sağlar.
- \( a = 0 \) ve \( b \neq 0\) ise \( 0 \cdot x + b=0 \) olduğundan x yerine yazılabilecek hiçbir reel sayı değeri bu eşitliği sağlamaz.
Soru 7
\(a, b \in R \) olmak üzere
\[ \frac{2x-1}{3} = \frac{x-a}{b} \]
eşitliğini her reel sayı değeri sağladığına göre, \(a + b \) toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[ \frac{2x-1}{3} = \frac{x-a}{b} \Rightarrow 3 (x-a) = b (2x-1) \]
\[ \Rightarrow (3-2b)x +b -3a = 0\]
eşitliğini \( x \) in her reel sayı değerinin sağlaması için \( 3- 2b =0 \) ve \( b- 3a=0 \) olmalıdır. Buradan,
\[ b = \frac{3}{2 }, \quad a = \frac{1}{2} \] ve
\[a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} =2 \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 8
\(a, b \in R \) olmak üzere
\[ 2ax-b^2 = \frac{x-b^2+1}{3} \]
eşitliğini sağlayan hiçbir reel sayı değeri olmadığına göre, \(a \) kaçtır?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } \frac{1}{2} \quad
\text{D) } \frac{1}{3} \quad
\text{E) } \frac{1}{6}
\]
Çözüm:
\[ 2ax-b^2 = \frac{x-b^2+1}{3} \Rightarrow 3 (2ax-b^2) = x-b^2+1 \]
\[ \Rightarrow (6ax -1)x -2b^2 -1 = 0 \]
eşitliğini sağlayan hiçbir \( x \) reel sayı değerinin olmaması için,
\[6a – 1 = 0 \] ve \[-2b^2-1 \neq 0 \] olmalıdır, buradan
\[ a = \frac{1}{6} , \quad b^2 \neq -\frac{1}{2} \]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 9
\(a, b \in R \) olmak üzere
\[ (1-a)x + \frac{1}{x} = \frac{bx-c^2}{x} \]
eşitliğini sağlayan hiçbir \(x\) reel sayı değeri olmadığına göre, \(a + b \) kaçtır?
\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Çözüm:
\[ (1-a)x + \frac{1}{x} = \frac{bx-c^2}{x} \Rightarrow (1-a) x^2 +1 = bx-c^2 \]
\[ \Rightarrow (1-a)x^2-bx + 1 +c^2 = 0 \]
eşitliğini sağlayan hiç bir reel sayı değerinin olmaması için,
\[1-a = 0 \] ve \[ -b= 0 \] ve \[ 1+ c^2 \neq 0 \] olmalıdır
Buradan,
\( a=1 \), \(- b=0\) , ve \( 1 +c^2 \neq 0\) olmalıdır.
Buradan,
\( a =1 \), \( b=0 \) ve \(c^2 \neq -1\) olur. O halde, \( a+b= 1 + 0 = 1 \)
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 10
\[ \frac{2x+1}{2} = \frac{3x-2}{3} +2 \]
denkleminin çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A) } \{ 1,3\} \quad
\text{B) } \{ 0,2\} \quad
\text{C) } \{ -1,2\} \quad
\text{D) } \{ 1\} \quad
\text{E) } \{ Ø \} \]
Çözüm:
\[ \frac{2x+1}{2} = \frac{3x-2}{3} +2 \]
\[ \Rightarrow \frac{2x}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{3x}{3} – \frac{2}{3} +2 \]
\[ \Rightarrow x-x + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} -2 = 0 \]
\[ 0 \cdot x \;- \; \frac{5}{6 } =0 \]
olduğundan \( Ç= Ø \)
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 11
\[ 1+ \frac{x-5}{2} = \frac{x-3}{2} \]
denkleminin çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A) } \{ 0\} \quad
\text{B) } \{ -1\} \quad
\text{C) } \{ 1\} \quad
\text{D) } R \quad
\text{E) } \{ Ø \}
\]
Çözüm:
\[1+ \frac{x-5}{2} = \frac{x-3}{2} \Rightarrow \frac{2 + x-5}{2} = \frac{x-3}{2} \]
\[\Rightarrow x-3 = x-3 \]
\[ x-x-3+3 =0 \]
\[0 \cdot x + 0 =0 \]
olduğundan \( Ç= R\) dir.
\(\textbf{Cevab: D} \)