Dört İşlem Problemleri
Örnek:
2 katının 5 eksiğinin üçte biri 15 olan sayıyı bulalım. İstenen sayıya \( x \) diyelim. \[ \frac{2x-5}{3 } = 15 \Rightarrow x = 25 \] bulunur
Örnek:
Ardışık iki tek sayıdan, küçüğünün beşte biri, büyüğünün 7 eksiğinin altıda birinden 5 fazla olduğuna göre bu sayılardan küçük alanını bulalım. Ardışık iki tek sayıdan küçüğüne \(x \) denilirse büyüğü \( x + 2 \) olur. Buna göre, bu probleme ait denklem
\[\frac{x}{5} = \frac{(x+2) – 7}{6} +5 \] şeklinde yazılırsa küçük olan sayı, \(x = 125 \) bulunur.
Örnek:
Değeri \(\large \frac{2}{3} \) olan bir kesrin payından 1 çıkarılıp paydasına 1 eklendiği zaman kesrin değeri \( \large \frac{3}{5} \) oluyor. Bu kesrin paydasının payından kaç fazla oldugunu bulalım.
Bu kesir \(\large \frac{2x}{3x} \) şeklinde olduğuna göre, \(3x – 2x = x \) değerini bulalım. Verilen probleme ait denklem \[ \frac{2x-1}{3x+1 } = \frac{3}{5} \] şeklinde yazılırsa \( x = 8 \) bulunur.
Soru 1
Negatif bir sayının 3 katından bu sayının çarpmaya göre tersinin 2 katı çıkartıldığında sonuç 1 olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
\[
\text{A)} -3 \quad
\text{B) } -\frac{3}{2} \quad
\text{C) } -2\quad
\text{D) } -\frac{2}{3} \quad
\text{E) } -1
\]
Çözüm:
İstenen sayıya \( x \) denilirse, bu probleme ait denklem \(3x-2 \cdot \large{ \frac{1}{x}} = 1 \) şeklinde yazılır.
Eşitliğin iki yanı \( x \) ile çarpılıp denklem düzenlenirse,
\[ 3x^2 -x- 2 = 0 \Rightarrow (3x+2 ) (x-1) = 0 \]
\[\Rightarrow 3x+2 = 0 \] veya \[ x-1 = 0 \]
\[\Rightarrow x= -\frac{2}{3} \quad \text{veya } \quad x= 1 \]
olduğundan istenen sayı \[ x = -\frac{2}{3} \]
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 2
Bir sınıftaki ögrenciler, sıralara üçer üçer oturduklarında 11 öğrenci ayakta kalıyor. Dörder dörder oturduklarında ise 3 kişilik boş yer kaldığına göre, bu sınıfta kaç ögrenci vardır?
\[
\text{A)} 55 \quad
\text{B) } 53 \quad
\text{C) } 50\quad
\text{D) } 48 \quad
\text{E) } 45
\]
Çözüm:
Sınıftaki sıra sayısına x denilirse, sınıftaki öğrenci sayısı \(3x + 11 \) veya \( 4x – 3 \) olur. Buna göre, bu probleme ait denklem \[ 3x + 11 = 4x – 3 \] şeklinde yazılırsa \[ x = 14 \] bulunur. O halde sınıftaki öğrenci sayısı
\[ 3 . 14 + 11 = 53 \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 3
Sait, elindeki cevizlerin dörtte birini Sinan’a, geriye kalanların üçte ikisini de Özcan’a veriyor. Sait’in elinde 25 tane ceviz kaldığına göre, başlangıçta kaç cevizi vardır?
\[
\text{A)} 25 \quad
\text{B) } 40 \quad
\text{C) } 60\quad
\text{D) } 80 \quad
\text{E) } 100
\]
Çözüm:
Sait’in \(x \) tane cevizi olsun. Cevizlerinin \(\large \frac{1}{4} \) ini Sinan’ a verirse geriye \( \large \frac{3x}{4} \) tane cevizi kalır. Kalan cevizlerin \(\frac{3x}{4} \) tane cevizin üçte ikisini Özcan’ a verirse, en son elinde \[\frac{3x}{4 } \cdot \frac{1}{3 } = 25 \] tane ceviz kalır. Buna göre Sait’in başlangıçta elinde bulunan cevizlerin sayısı \( x = 100 \) dür.
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 4
Uğur’un bilyelerinin sayısı, Selim’in bilyelerinin sayısının üçte birinden 18 fazladır. Selim’in bilyelerinin sayısı ise Uğur’un bilyelerinin sayısının üçte birinden 10 fazladır. Buna göre, Uğur ile Selim’in toplam kaç tane bilyesi vardır?
\[
\text{A)} 32 \quad
\text{B) } 36 \quad
\text{C) } 38\quad
\text{D) } 40 \quad
\text{E) } 42
\]
Çözüm:
Selim’in bilyelerinin sayısına \( 9x\) denilirse, Uğur’un bilyelerinin sayısı \( 3x + 18 \) olur. Buna göre, verilen probleme ait denklem
\[9x = \frac{3x+ 18}{3} + 10 \] şeklinde yazılırsa, \[9x = x + 6 + 10 \Rightarrow x= 2 \] bulunur. Uğur ile Selim’in bilyelerinin sayısının toplamı
\[9x + (3x +18 ) = 42 \] bulunur.
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 5
15 kişilik bir kafilede bazı şahıslar misafir olduğu için yemek yedikleri lokantada hesap ödememişlerdir. Bu sebeple misafir olmayan şahıslar 62 500 er lira daha fazla vererek 312 500 er lira hesap ödemişlerdir.
Buna göre, kafiledeki misafir sayısı kaçtır?
\[
\text{A)} 7 \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } 5\quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]
Çözüm:
Kafiledeki misafir sayısına \( x\) denilirse, \(15\;-\; x \) kişi 312 500 er lira vererek toplam \( 312 500 \cdot (15 \;- \;x) \) lira hesap ödemiştir. Kafiledeki herkes hesap ödeyecek olsaydı kişi başına
\[ 312\; 500 \;-\; 62 \; 500 = 250\; 000 \]
lira hesap ödeyeceklerdi. Buna göre, verilen probleme ait denklem
\[15\; 2500\; 000 = (15\;-\;x) \cdot 312500 \] şeklinde yazılırsa, kafiledeki misafir sayısı \( x = 3 \) tür.
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 5
Uğur, cebindeki paranin beste biri ile kalem, geriye kalan parasının üçte ikisi ile de kitap alınca cebinde 40 lirası kalıyor.
Buna göre Uğur’un başlangıçta cebinde kaç lirası vardır?
\[
\text{A)} 100 \quad
\text{B) } 120 \quad
\text{C) } 150 \quad
\text{D) } 200 \quad
\text{E) } 250
\]
Çözüm:
Uğur’un başlangıçta cebinde bulunan paraya \(x \) denilirse, parasının beşte biri ile kalem aldığına göre kalem aldıktan sonra cebinde kalan para \(x \cdot \large{ \frac{4}{5} } \) tir. Cebinde Kalan paranın \( (\large \frac{4x}{5} )\), \(\large \frac{2}{3} \) ü ile kitap aldığına göre geriye kalan parası, bu paranın \( \large \frac{4x}{5} \) in \(\large \frac{1}{3} \) ü dür. Buna göre, Uğur’un cebinde kalan para \( \large \frac{4x}{5} \cdot \frac{1}{3} \) tür. Cebinde 40 lirası kaldığından
\[40= \frac{4x}{5} \cdot \frac{1}{3} \] eşitliği yazılırsa \( x= 150 \) liradır
\(\textbf{Cevab: C} \)