İç İçe Kökler

İç İçe Kökler

\( 1. \quad \sqrt{x \;+ \;2\sqrt{y  } } \)   veya  \( \sqrt{x\; -\; 2\sqrt{y  } } \) şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,

\[ \begin{cases} x = a + b \\ y = a \cdot b \end{cases} \quad \text{olmak üzere,} \]

\[ \sqrt{\underbrace{x}_ {a+b}\;+ \;2\sqrt{\underbrace{y}_{a . b}}} = \sqrt{(\sqrt{a}\; +\; \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} \;+ \;\sqrt{b}| \]

Uyarı:  

İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.

Örnekler:  

\( \bullet \quad \sqrt{\underbrace{4}_{3+1}\; – \;2{\sqrt{\underbrace{3}_{3.1}}}} = \sqrt{3  } \;- \;1   \)

 

\( \bullet \quad \sqrt{\underbrace{7}_{4+3} \;- \; 2{\sqrt{\underbrace{12}_{4.3}}}} =  |\sqrt{4} – \sqrt{3}| ={2  }\; -\; \sqrt{3  }    \)

 

Soru 15

\[ \sqrt{3 – \sqrt{ 8}  }  – \sqrt{2  } \] işleminin sonucu nedir?

\[
\text{A) } -1  \quad
\text{B) } 0   \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } \sqrt{2  } \quad
\text{E) } 2
\]

Çözüm: 

İçteki  kökün çarpanını 2 yapalım.

\[\begin{array}{l l }
\sqrt{3 – \sqrt{ 8}  } \; -\; \sqrt{2  }  = \sqrt{\underbrace{3}_{2\;+\;1} – \underbrace{2}_{2.1}\sqrt{ 2}  } \; -\; \sqrt{2  }
\end{array}\]

\[ |\sqrt{2}\; – \;\sqrt{1}| \;-  \; \sqrt{2  } =\sqrt{2  }\; -\; 1 -\;\sqrt{2  }  \]

\[ = -1 \]

\(\textbf{Cevab: A} \)

Soru 16

\[ \sqrt{15 – 6\sqrt{ 6}  }  + \sqrt{6  } \] işleminin sonucu nedir?

\[
\text{A) } 1  \quad
\text{B) } 2   \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

Çözüm: 

İçteki  kökün çarpanını 2 yapalım.

\[ \sqrt{15 – 6\sqrt{ 6}  }  + \sqrt{6  } = \sqrt{15 – 2 \cdot  3 \sqrt{ 6}  }  + \sqrt{6  }  \]

\[ = \sqrt{15 – 2 \cdot  3 \sqrt{ 6}  }  + \sqrt{6  } = \sqrt{15 – 2  \sqrt{ 3^2 \cdot  6}  }  + \sqrt{6  }  = \sqrt{\underbrace{15}_{9+ 6} – 2  \sqrt{ \underbrace{54}_{9. 6}}  }  + \sqrt{6  }  \]

\[ = |\sqrt{9  }\; -\; \sqrt{ 6}  | + \sqrt{ 6} = 3\;- \;\sqrt{ 6} \;+ \; \sqrt{ 6} = 3  \]

\(\textbf{Cevab: C} \)

 

Soru 17

\[ \sqrt{4  + \sqrt{7  } }   \] işleminin sonucu nedir?

\[
\text{A) } \frac{\sqrt{3  } +1 }{ \sqrt{ 2}  }   \quad
\text{B) } \frac{\sqrt{2  } +1 }{ 2 }    \quad
\text{C) } \frac{\sqrt{7  } +1 }{ \sqrt{ 2}  }  \quad
\text{D) } \frac{\sqrt{7  } }{ 2  }  \quad
\text{E) } \frac{1}{2}
\]

Çözüm: 

 

Uyarı: 

\( a> 0 , b> 0 \; ve \; a^2> b \)     olmak üzere

\[ \sqrt{ a\; + \; \sqrt{b  } }   = \sqrt \frac{{ a\; +\; \sqrt{ a^2 \;-\; b} }  }{2}\; +\; \sqrt \frac{{ a \;-\; \sqrt{ a^2 \;-\; b} }  }{2}    \]

\[ \sqrt{ a \;- \; \sqrt{b  } }   = \sqrt \frac{{ a\; +\; \sqrt{ a^2 \;-\; b} }  }{2}\; -\; \sqrt \frac{{ a \;-\; \sqrt{ a^2 \;-\; b} }  }{2}    \]

Örnek:

\[\sqrt{2 + \sqrt{ 3}   }  =  \sqrt \frac{{ 2 \;+\; \sqrt{ 4 \;-\; 3} }  }{2}  + \sqrt \frac{{ 2 \;-\; \sqrt{ 4 \;-\; 3} }  }{2} \]

\[ = \frac{\sqrt{ 3} }{\sqrt{2  } } + \frac{1}{\sqrt{2  } } = \frac{\sqrt{ 3}+ 1 }{\sqrt{ 2} }   \]

 

\( 2. \quad \large  \sqrt[m]{ \sqrt[n]{ \sqrt[t]{a } } } \;    = \;  \Large\sqrt[ {m.n.t } ]{ a}        \)  dır.

Örnek:

\( \large \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{2}}} = \sqrt[3 \cdot 4 \cdot 2]{2} = \sqrt[24]{2} \)

Soru 19

\[  \sqrt{ 2\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}} \] işleminin sonucu nedir?

\[
\text{A) } \sqrt[5]{ 8}   \quad
\text{B) } \sqrt[5]{ 4}    \quad
\text{C) } \sqrt[5]{ 2} \quad
\text{D) } \sqrt[10]{ 128}  \quad
\text{E) } \sqrt[10]{ 8}
\]

Çözüm: 

Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.

\[  \sqrt{ 2\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}} =  \sqrt[2]{ \sqrt[3]{ 2^3 \cdot  2 \sqrt[5]{2  } } } = \sqrt[2]{ \sqrt[3]{ \sqrt[5]{ 2^{20} \cdot  2}  } }  \]

\[ \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 5]{2^{21}} = \sqrt[10]{2^7} = \sqrt[10]{128} \]

\(\textbf{Cevab: D} \)

Soru 20

\[  a = 2^{\frac{12}{11} } \quad \text{ise }  \sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a  }   }   }  \] işleminin sonucu nedir?

\[
\text{A) } 1   \quad
\text{B) } 2   \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 8 \quad
\text{E) } 16
\]

Çözüm: 

$$ \sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a  }   }   } =  \sqrt{\underbrace{}_{a \to a^3} \sqrt[3]{a^3 \cdot a^2 \sqrt{a  }   }   }=  \sqrt{\sqrt[3]{a^5 \cdot  \sqrt{a}}} $$

$$ \sqrt{\sqrt[3]{a^5 \cdot  \sqrt{a}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\underbrace{}_{a^3 \to a^{5 \cdot   2}} \cdot  \sqrt{ a^{10} \cdot  a}}} = \sqrt[2. 3. 3 ]{ a^{11}}  $$

$$ a^{\frac{11}{12} } = \left( 2^{\frac{12}{11} } \right)^{\frac{11}{12} } = 2$$

\(\textbf{Cevab: B} \)