Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler
\( 1. \quad |\; f(x) | \; ≤ \; A \) ise fonksiyon \(f(x)\), \( A ≥ 0\) olmak üzere
$$ -A \;≤ \;f(x) \; ≤ \; A $$ dır.
\( 2. \quad |\; f(x) | \; ≥ \; A \) ise fonksiyon \(f(x) ≥ A \), veya \( f(x) ≤ -A \) dır.
Örnekler:
\( \bullet \quad \large {\left |\frac{2x- 1}{3} \right|} ≤ 1 \)
\[\Rightarrow-1 ≤ \frac{2x-1}{3} ≤ 1 \]
\[ \Rightarrow -3 ≤ 2x-1 ≤ 3 \]
\[ \Rightarrow -3+1 ≤ 2x-1 ≤ 3 +1 \]
\[ \Rightarrow -2 ≤ 2x ≤ 4 \]
\[ \Rightarrow -1 ≤ x ≤ 2 \]
\( \bullet \quad |3x-1 | > 4 \)
\[\Rightarrow 3x -1 > 4 \quad \text{veya } \quad 3x -1 < -4 \]
\[\Rightarrow 3x > 4+1 \quad \text{veya } \quad 3x < -4+1 \]
\[\Rightarrow x > \frac{5}{3} \quad \text{veya } \quad x < -1 \quad\quad\quad\quad \]
Soru 1
\[ \frac{|2x- 2 |\;+ \; | 1-x| }{1 \;+\; |x-1|} <2 \] eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\( |1 -x | = |1 +x |\) olduğuna göre
\[ \frac{|2x-2| + | 1- x |}{1 \;+\; |x-1|} < 2 \Rightarrow \frac{|2 (x-1)| + | x-1|}{1+ |x-1|} < 2 \]
\( 1 + |x-1 | > 0 \) olduğundan
\[ \Rightarrow \frac{ 3 | x- 1 |}{ 1 + |x-1 |} < 2 \]
\[ \Rightarrow 3\; | x-1 | < 2 \;(1+ | x-1 | ) \]
\[ \Rightarrow |x-1 | < 2 \]
\[ \Rightarrow -2 < x-1 < 2 \]
\[ \Rightarrow -1 < x < 3 \]
bulunur. Buna göre x in alabileceği tam sayı değerleri \( 0, 1 , 2 \) olup 3 tanedir.
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 2
\[ | \; |x| – \; x \; | + x \; < \; 3 \] eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\( x > 0 \) için \( |x | = x \) olduğundan
\[ | \; |x| – \; x \; | + x \; < \; 3 \Rightarrow | x -x | + x < 3\]
\[ \Rightarrow x < 3 \]
\( x > 0 \) olduğuna göre \(0 ≤ x < 3 \) olur.
\( x < 0 \) için \( |x | = -x \) olduğundan
\[ | \; |x| – \; x \; | + x \; < \; 3 \Rightarrow | -x -x | + x < 3\]
\[ \Rightarrow |-2x| +x < 3 \]
\[ \Rightarrow -2x +x < 3 \]
\[ \Rightarrow -x < 3 \]
\[ \Rightarrow -x < 3 \Rightarrow x >- 3\]
\( x < 0 \) olduğuna göre \( -3 < x <0 \) olur. Buradan \( -3 < x < 3 \) olur. O halde x in alabileceği tam sayı değerleri \( -2, -1, 0, 1 , 2 \) olup beş tanedir.
\(\textbf{Cevab: E} \)