Oran- Orantı
ORAN:
En az biri sıfırdan farklı, aynı birimdeki iki çokluğun bölümüne (karşılaştırılmasına) oran denir.
Örnek:
\[\frac{10 \;\; \text{kg} }{3\;\; \text{kg} } \] orandır fakat \[\frac{10 \;\;\text{kg}}{3 \;\; \text{cm}} \] oran değildir.
ORANTI:
iki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \) ikili orantı \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} =\frac{e}{f} =k \) üçlü orantı
k: orantı sabiti (katsayısı ) dır.
Örnek:
\( \large{\frac{10}{5} = \frac{6}{3} = \frac{-14}{-7} }\) \(= k \) ve \( k = 2 \) dir.
Uyarı:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} =\frac{e}{f} \) orantısı \( a\;:\;c\;:\;e = b\;:\;d\;:\;f\) şeklinde gösterilebilir.
Orantının Özellikleri:
\( 1. \quad \large \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) veya \( \overbrace{a : \underbrace{ b = c}_{\text{içler} } : d }^{\text{dışlar} } \)
ikili orantıda içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{ise} \quad b \cdot c = a \cdot d \]
Bu eşitlik bozulmayacağından,
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] orantısı,
\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \] içler yer değiştirebilir,
\[ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \] dışlar yer değiştirebilir,
\[ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \] iki tarafın çarpmaya göre tersi alınabilir,
şekillerinde yayılabilir.
\( 2. \quad \) Bir orantıda oranlar, sadeleştirilebilir veya genişletilebilir.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \text{ise } \quad \frac{m. a }{m. b} = \frac{n. c }{n.d }= \frac{r.e}{r.f} = k \]
\(\quad a) \;\;\) Bir orantıda payların toplamı, paydaların toplamına oranlandığında orantı sabiti değişmez.
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \text{ise } \quad \frac{a + c + e }{b + d + f } = k \]
veya
\[\frac{m. a}{m. b} = \frac{n. c}{n. d} = \frac{r. e}{r. f} = k \quad \text{ise } \quad \frac{m. a + n. c + r. e }{m. b + n. d +r. f } = k \]
Örnek:
\[ \bullet \quad \frac{3}{6}= \frac{-2}{-4} = \frac{7}{14} =\frac{1}{2} \quad \text{ve} \quad\frac{3-2+7}{6-4+14} = \frac{1}{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]
\(\quad b) \;\;\) \( \large{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} }=k \) ise \( \large{ \frac{a^n}{b^n} = \frac{c^n}{d^n} = \frac{e^n}{f^n} }=k^n \) dir.
ve
\[ \frac{a^n+ c^n + e^n}{b^d+ d^n+ f^n}= k^n \]
\( 3. \quad \)
\[ \frac{a}{b}= \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \] ise \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = k \cdot k \cdot k = k^3 \]
\( 4. \quad \) Bir orantının oranlarının herhangi birisinde, payın herhangi bir katı paydaya veya paydanın herhangi bir katı paya eklendiğinde, ayni işlem diğer oranlara da uygulanırsa eşitlik bozulmaz.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\]
ise
\[\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} = \frac{e+f}{e-f} = \frac{2a+3b}{a+b} = \frac{2c+3d}{c+d} = \frac{2e+ 3f}{e+f} = \frac{3a+b}{2b-a} = \frac{3c+d}{2d-c}= \frac{3e+f}{2f-e} \cdots \]
Soru 1
\[ \frac{x+ 3y + z}{x+2y-z} = \frac{3}{2} \quad \text{ise } \quad \frac{x+z}{2x-z} \] kesrinin değeri kaçtır?
\[
\text{A)} \frac{2}{3} \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } \frac{5}{2} \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } \frac{7}{2}
\]
Çözüm:
\[ \frac{x+ 3y + z}{x+2y-z} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 (x + 2y-z) = 2 (x + 3y + z)\]
\[ \Rightarrow 3x + 6y -3z = 2x + 6y + 2z\]
\[ \Rightarrow 3x -3z = 2x + 2z\]
\[ \Rightarrow x = 5z \quad \text{olduğundan} \]
\[ \frac{x+z}{2x-z} = \frac{5z + z }{2 \cdot 5z – z } = \frac{6z}{9z} = \frac{2}{3} \]
\(\textbf{Cevap: A} \)
Soru 2
\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \quad \text{ise } \quad \frac{a^3 + b^3 + c^3 }{abc} \] kesrinin değeri kaça eşittir?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } \frac{1}{2} \quad
\text{C) } \frac{10}{3} \quad
\text{D) } \frac{11}{2} \quad
\text{E) } \frac{33}{8}
\]
Çözüm:
\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} =\frac{c}{4} =k \Rightarrow a= 2k, \quad b= 3k, c= 4k, \quad \text{olur. } \] Buna göre
\[ \frac{a^3 \;+ \;b^3 \;+\; c^3 }{abc} = \frac{8k^3 \; + \; 27k^3 \;+\; 64k^3}{2k \cdot 3k \cdot 4k } \]
\[ = \frac{99k^3 }{24k^3} = \frac{33}{8} \]
\(\textbf{Cevap: E} \)
Soru 3
\[ ax= by = cz = 3 \quad \text{ve } \quad \frac{1}{x } + \frac{1}{y } + \frac{1}{z } = 6 \] ise, \(a\:+\: b\:+\: c \) toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} 12 \quad
\text{B) } 14 \quad
\text{C) } 16 \quad
\text{D) } 18 \quad
\text{E) } 20
\]
Çözüm:
\[ ax = by = cz = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{a}, \;\; y = \frac{3}{b}, \;\; z= \frac{3}{c} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{y} = \frac{1}{z} = 6 \Rightarrow \frac{1}{\frac{3}{a} } + \frac{1}{\frac{3}{b} } + \frac{1}{\frac{3}{c} } =6 \]
\[ \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = 6\]
\[ \Rightarrow a + b + c = 18\]
\(\textbf{Cevap: D} \)
Soru 4
Bir boya, ağırlıkları x, y ve z olan üç maddenin karışımından meydana gelmektedir. 430 gramlık boyadaki, bu maddenin ağırlıkları oranı
\[\frac{y}{x} =\frac{3}{2} \quad ve \quad \frac{z}{y} = \frac{6}{5} \quad \text{tir. } \]
Buna göre \( z – x\) kaç gramdır.
\[
\text{A)} 70 \quad
\text{B) } 80 \quad
\text{C) } 90 \quad
\text{D) } 100 \quad
\text{E) } 110
\]
Çözüm:
\[ \frac{y}{x} =\frac{3}{2} \quad ve \quad \frac{z}{y} = \frac{6}{5}\] orantıda içler yer değiştirilirse
\[ \frac{y}{3} = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{y}{5 \cdot 3} = \frac{x}{5 \cdot 2} \Rightarrow \frac{y}{15} = \frac{x}{10} \]
\[ \frac{z}{6} = \frac{y}{5} \Rightarrow \frac{z}{6 \cdot 3} = \frac{y}{5 \cdot 3} \Rightarrow \frac{z}{18} = \frac{y}{15} \quad \text{olur. } \]
\[ \frac{x}{10} = \frac{y}{15} = \frac{z}{18} = k \Rightarrow \frac{x + y + z }{10 + 15 + 18 } = k \]
\[ \frac{430}{43} = k \Rightarrow k = 10 \]
Buna göre,
\[ \frac{z- x}{18-10} = k = 10 \Rightarrow z – x = 80 \quad \text{gramdır} \]
\(\textbf{Cevap: B} \)
Soru 5
x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere \[ \frac{x + y }{ 2x\; -\; y } = \frac{3}{2} \quad \text{ise } 3x + y \] toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir.
\[
\text{A)} 9 \quad
\text{B) } 27 \quad
\text{C) } 57 \quad
\text{D) } 64 \quad
\text{E) } 72
\]
Çözüm:
\[ \frac{x + y }{2x- y} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 (2x- y ) = 2 (x + y )\]
\[ \Rightarrow 6x – 3 y = 2x + 2y \]
\[ \Rightarrow 4x = 5 y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{4} = \frac{5k}{4k} \]
\[ \Rightarrow x = 5k \quad \text{ve } y= 4k \]
\[ \Rightarrow 3x+ y = 3 \cdot 5k + 4k = 19k \quad \text{olur } \]
x ve y pozitif tam sayı olduğundan \( k \in Z^+\) dır. Buna göre 3x + y ifadesi 19’un katı olmalıdır. Cevap şıklarında 19’un tam katı olan 57 vardır.
\(\textbf{Cevap: C} \)
Soru 6
Bir çiftlikte, tavuklar, tavşanlar ve kuşlar bulunmaktadır. Bunların sayıları sırasıyla x, y ve z dir. \( x:y:z = 0,3 : 0,6 : 0,9\) olduğuna göre, \( x + y + z \) toplamı en az kaç olabilir
\[
\text{A)} 3 \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } 18 \quad
\text{D) } 21 \quad
\text{E) } 27
\]
Çözüm:
\[x:y:z = 0,3 : 0,6 : 0,9 \Rightarrow \frac{x}{0,3 } = \frac{y}{0,6} = \frac{z}{0,9} \] Bu orantıda, oranların paydaları genişletilirse
\[ \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k \quad \text{olur k = 1 seçilirse } \]
\[x = 1 , y = 2 , z = 3 \quad \text{ve } x+y+ z = 6 \]
\(\textbf{Cevap: B} \)
Soru 7
\[ \frac{a}{b } = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{2} \quad , 3a- c+ e = 40 \quad \text{ve } d- f = 1 \quad \text{ise } b \quad kaçtır? \]
\[
\text{A)} 9 \quad
\text{B) } 15 \quad
\text{C) } 21 \quad
\text{D) } 27 \quad
\text{E) } 33
\]
Çözüm:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{3a}{3b} = \frac{-c}{-d} =\frac{e}{f} = \frac{1}{2} \]
Payların toplamı, paydaların toplamına oranlandığında orantı sabiti değişmeyeceğinden,
\[ \Rightarrow \frac{3a – c + e }{3b -d + f } = \frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow \frac{40}{3b- (d-f)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{40}{3b- 1} = \frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow b = 27 \]
\(\textbf{Cevap: D} \)
Soru 8
\[ \frac{x-y}{a} = x + 2y = \frac{y+2z}{b} \; , \; x +y +z = 6 \quad \text{ve } \quad a +b = 2 \quad \text{ise } \quad x +2y \] toplamı kaça eşittir?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[ \frac{x-y}{a} = x + 2y = \frac{y+2z}{b} = k \] payların toplamını paydaların toplamına oranlarsak,
\[ \frac{x-y + x + 2y + y + 2z}{a + b+ 1} = k \Rightarrow \frac{2(x+y+z)}{2+1} = k \]
\[ \Rightarrow \frac{2 \cdot 6 }{3} = k \]
\[ \Rightarrow k= 4 \quad \text{tür } \]
Buna göre
\[ \Rightarrow \frac{x + 2y }{1} = k \Rightarrow x + 2y = k = 4 \quad \text{bulunur. } \]
\(\textbf{Cevap: D} \)
Soru 9
\[ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = k \quad \text{ise } \quad \left( \frac{a+b}{c} \right) \cdot \left(\frac{a}{b + c} \right) \] ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } k \quad
\text{C) } k^2 \quad
\text{D) } k^3 \quad
\text{E) } k4
\]
Çözüm:
\[ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = k \Rightarrow a= bk, \;\; b = ck \;\; , a= ck^2\]
\[ \Rightarrow \frac{a+b }{ c} \cdot \frac{a}{b+c } = \frac{ck^2+ ck}{c} \cdot \frac{ck^2 }{ck + c} \]
\[= \frac{ck (k+ 1 )}{c} \cdot \frac{ck^2 }{c(k+1)} = k^3 \]
\(\textbf{Cevap: D} \)
Soru 10
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \quad \text{ise } \quad (b-d) \cdot (b^2+bd+ d^2) \cdot e^3\] ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[
\text{A)} (a-c)f \quad
\text{B) } (a+c)f \quad
\text{C) } acf \quad
\text{D) } (a^3 + c^3 )f^3 \quad
\text{E) } (a^3- c^3) f^3
\]
Çözüm:
\[ (b-d) \cdot (b^2+bd+ d^2) \cdot e^3 \] ifadesini verilen orantıdan elde edelim. Pay ve Payda istenilen şekilde genişletilirse
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a^3}{b^3 } = \frac{-c^3}{-d^3} = \frac{e^3}{f^3} \]
\[ \Rightarrow \frac{a^3- c^3 }{b^3-d^3} = \frac{e^3}{f^3} \]
\[\Rightarrow (b^3- d^3) e^3 = (a^3 -c^3) f^3 \]
\[\Rightarrow (b-d)\; (b^2+ bd + d^2) \;e^3 = (a^3 -c^3) f^3 \]
\(\textbf{Cevap: E} \)