Asal Sayılar
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1den büyük tamsayılara asal sayı denir. 1 den büyük olup asal olmayan tamsayılara da bileşik sayı denir.
11 in pozitif bölenlerinin kümesi {1, 11 } dir. Dolayısıyla, 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmadığından 11 asal sayıdır. Kolayca görüleceği gibi 2 dışında çift olan asal sayı yoktur. Yani 2 hariç bütün asal sayılar tek sayıdır. Asal sayıların bazıları 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, … dir.
Bir sayının pozitif bölenlerinden asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir. Örnek olarak, 30 un pozitif bölenlerinin kümesi {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} olur. Bu kümenin elemanlarından 2, 3 ve 5 sayıları 30 un asal çarpanlarıdır.
Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması:
Bir sayı asal çarpanlarına ayrılırken; bu sayıyı bölen en küçük asal sayıdan başlayarak bölme yapılır. Elde edilen bölüm yine kendisini bölenen küçük asal sayıya bölünür. Bu sekilde bölme işlemine, bölüm 1 oluncaya kadar devam edilir.
Örnek olarak 480 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\[ \begin{array}{r|l}480 & 2 \\240 & 2 \\120 & 2 \\60 & 2 \\30 & 2 \\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \\\end{array} \]
$$2, 3, \quad ve \quad 5\quad, 480 \text{ in asal çarpanları ve 480 in asal çarpanlarına ayrılmış şekli}$$
$$480 = 2^5 \cdot3\cdot5 \quad tir.$$
Aralarında Asal Sayılar:
1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örnek olarak,
$$7\quad ile \quad11$$
$$11 \quad ile \quad15 $$
$$8\quad ile \quad21 $$
sayıları aralarında asaldır.
Bir sayı grubunun aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Örneğin 8 ve 21 asal sayı olmadığı halde 8 ile 21 aralarında asal sayılardır.
Uyanrı: Aralarında asal sayılar kendi aralarında sadeleştirilemezler. Buna göre, bir kesir en sade şekilde ise bu kesrin pay ve paydası aralarında asaldır. Örneğin, \( \frac{8}{14} \) kesri \(\frac{4}{7}\) kesrine denktir ve \(\frac{8}{14}\)’ün en sade şekli \(\frac{4}{7}\} ´dir. Burada 4 ile 7 aralarında asaldır.
Örnek:
2x-y ile x-y ile aralarında asal sayılardır \[\frac{2x-y}{x-y}=\frac{6}{10}\] olduğuna göre, \(x\cdot y\) çarpımının değerini bulalım.
2x-y ile x-y aralarında asal olduğundan $$\frac{2x-y}{x-y}$$ kesri en sade şeklinde olmalıdır.
O halde $$\frac{2x-y}{x-y}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$ olur.
Buradan $$2x-y =3$$ $$x-y=5$$ denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülürse, x = -2, y = -7 değerleri bulunur. Buradan x.y = (-2).(-7) = 14 olarak bulunur.
Soru 9:
a ve b aralarında asal iki sayıdır. \(a^b = 64\) olduğuna göre a.b çarpımının birbirinden farklı değerlerinin toplamı kaçtır?
\[A) 12\quad B) 24\quad C) 64\quad D) 70\quad E)76\quad\]
Çözüm:
64 satısını \(a^b\) şeklinde yazacak olursak
$$64 = (64)^1 \Rightarrow a= 64, \quad b=1 \quad \text{64 ile 1 aralarında asaladır.}$$
$$64 = (8)^2 \Rightarrow a= 8, \quad b=2 \quad\text{8 ile 2 aralarında asal değildir.}$$
$$64 = (4)^3 \Rightarrow a= 4, \quad b=3 \quad\text{4 ile 3 aralarında asaladır.}$$
$$64 = (2)^6 \Rightarrow a= 2, \quad b=6 \quad\text{64 ile 1 aralarında asal değildir.}$$
O halde soruda verilenlere uygun a ve b sayı çiftleriö (64 , 1) veya (4 , 3) tür. Buna göre, çarpımlarının değerleri toplamı,
$$a\cdot b=64.1+4.3=76$$ olur.
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 10:
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, \(90\cdot n\) çarpımının tam küp olması için n´in alabileceği en küçük değer kaçtır?
\[A) 100\quad B) 200\quad C) 300\quad D) 800\quad E)2400\quad\]
Çözüm:
90 sayisini asal çarpaniarina ayirirsak,
$$90 = 2 \cdot 3^2\cdot5 $$olur. Bu çarpımdan görülüyor ki 90 ı en az $$2^2\cdot3\cdot5^2$$ ile çarparsak bir tam küpe eşit olur. O halde n nin en küçük değeri, $$2^2 \cdot 3\cdot5^2=300\quad dür$$
\(\textbf{Cevab: C} \)
Bir Tamsayının Pozitif Bölenleri:
\(P_1\), \(P_2\), \(P_3\),…, \(P_n\) asal sayılar ve \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), …\(a_n\), \(a_n\in N^+\) olmak üzere, bir A tamsayının asal çarpanlarına ayrılmış şekli.
\(A= P_1^{a_1}\cdot P_2^{a_2}\cdot P_3^{a_3} \dots P_4^{a_4}\) ise A tamsayısının pozitif bölenlerinin sayısı
$$ (a_1+1)\cdot(a_2+1)\cdot(a_3+1)\dots(a_n+1) \quad dir.$$
Bu sayının pozitif bölenlerinin sayısı kadar da negatif bölenleri olduğundan A tamsayısının tüm bölenleri
$$ 2\cdot(a_1+1)\cdot(a_2+1)\cdot(a_3+1)\dots(a_n+1) \quad tanedir.$$
Örnekler:
- 72 nin pozitif bölenlerinin kümesi, {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Görüldüğü gibi 72 nin 12 tane pozitif böleni vardır. Bunu hesap yardımı ile,
$$ 72= 2^3\cdot3^2\quad ise\quad (3+1)\cdot(2+1)=12$$ şeklinde buluruz.
- 144 ün tüm bölenlerinin sayısını bulalım.
$$144= 2^4\cdot3^2 $$ şeklinde yazılırsa tüm bölenlerin sayısı, $$\quad 2\cdot(4+1)\cdot(2+1)=30$$ olarak bulunur.
- 360 ın asal olmayan bölenlerinin sayısını bulalım.
$$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5^1$$ ise 360 ın tüm bölenlerin sayısı $$ 2\cdot(3+1) \cdot(2+1) \cdot(1+1)= 48\quad olur$$
2,3 ve 5 sayıları 360 in asal bölenleri olduğundan, 360 ın asal olmayan bölenlerinin sayısı $$48- 3=45 $$tir.
Soru 11:
12 nin asal olmayan asal bölenlerinin sayısına oranı nedir?
\[A) 10\quad B) 9\quad C) 8\quad D) 5\quad E)4\quad\]
Çözüm:
\(112 = 2^4 . 7 \) ise 112 nin tüm bölenlerinin sayısı, 2 . (4 + 1) . (1 + 1) = 20 asal bölenlerinin sayısı 2 olduğundan, asal olmayan bölenlerinin sayısı 20 – 2 = 18 dir. O halde 112 nin asal olmayan bölenlerinin sayısının asal bölenlerinin sayısına oranı \(\frac{18}{2}=9 \quad olur\) $$\text{Cevap B}$$
Soru 12:
\(6^{4n}\) sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısısı 623 ise n kaçtır?
\[A) 3\quad B) 4\quad C) 5\quad D) 6\quad E)8\quad\]
Çözüm:
$$6^{4n} = (2 . 3)^{4n} = 2^{4n}\cdot 3^{4n}$$ dir. Buna göre \(6^{4n}\) sayısının 2 tane asal böleni vardır. Dolayısıyla bu sayının pozitif bölenlerinin sayısı,
623 + 2 = 625 tir. O halde,
$$625 = (4n+1)\cdot(4n+1)$$
$$ \Rightarrow (25)^2=(4n+1)^2$$
$$\Rightarrow (25)=|4n+1|, $$
$$4n+1>0 \quad olduğundan $$
$$25=4n\cdot+1\Rightarrow n=6 \quad dır $$
$$\text{Cevap D}$$
Soru 13:
\[ \frac{x^2 – 7x + 60}{x} \] kesrinin tamsayı olması için \(x\) yerine kaç tane doğal sayı yazılabilir?
\[A) 24\quad B) 16\quad C) 12\quad D) 10\quad E)8\quad\]
Çözüm:
\[ \frac{x^2 – 7x + 60}{x} = x – 7 + \frac{60}{x} \]
olduğundan bu ifadenin tamsayı olabilmesi için \(\frac{60}{x}\) kesri tamsayı olmalıdır. Yani 60 sayısı \(x\)’e tam bölünmelidir. \(x\) doğal sayı değerlerinin sayısını bulacağımızdan 60’ın pozitif bölenlerinin sayısını bulmamız yeterli olacaktır. Buna göre,
\[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad \text{60’ın pozitif bölenlerinin sayısı:} \] \[ (2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 12 \]
O halde \(x\) yerine yazılabilecek 12 tane doğal sayı değeri vardır.
$$\textbf{Cevap: C}$$
Bir Tamsayının Pozitif Bölenlerinin Toplamı ve Çarpımı:
Bir \(A\) tamsayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli, \[ A = P_1^{a_1} \cdot P_2^{a_2} \cdot P_3^{a_3} \cdots P_n^{a_n} \quad \text{ise} \]
- A tamsayısının Pozitif Bölenlerinin Toplamı:
\[ \frac{1 – P_1^{a_1 + 1}}{1 – P_1} \cdot \frac{1 – P_2^{a_2 + 1}}{1 – P_2} \cdot \frac{1 – P_3^{a_3 + 1}}{1 – P_3} \cdots \frac{1 – P_n^{a_n + 1}}{1 – P_n } \] ve
- A tamsayısının Pozitif Bölenlerinin Çarpımı:
\[ x = \frac{(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \cdots (a_n + 1)}{2} \quad olmak \quad üzere, \quad A^x tir. \]
Örnekler:
- 48 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı ve çarpımı sırasıyla, \(48 = 2^4 \cdot 3\) olduğundan
\[ \frac{1 – 2^5}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^2}{1 – 3} = 124 \quad \text{ve} \quad \left( 48 \right)^{\frac{(4+1) \cdot (1+1)}{2}} = (48)^5, \]
- 12 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı ve çarpımı sırasıyla, \(12 = 2^2 \cdot 3\) olduğundan
\[ \frac{1 – 2^3}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^2}{1 – 3} = 28 \quad \text{ve} \quad \left( 12 \right)^{\frac{(2+1) \cdot (1+1)}{2}} = (12)^3 \quad \text{tür.} \]
Örnek:
54 sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin toplamını bulalım.
\[ 54 = 2 \cdot 3^3 \quad \text{ise 54’ün pozitif bölenlerinin toplamı,} \] \[ \frac{1 – 2^2}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^4}{1 – 3} = 120 \] 54’ün asal bölenlerinin toplamı \(2 + 3 = 5\) olduğundan 54’ün asal olmayan pozitif bölenlerinin toplamı, \[ 120 – 5 = 115 \quad \text{olarak bulunur.} \]
Bir A Tam sayısından Küçük ve A ile Aralarında Asal Olan Sayılar:
olmak üzere, A dan küçük ve A ile aralarında asal olan sayılar
tanedir
Örnek:
44 ten küçük ve 144 ile aralarinda asal olan kaç tane sayi oldugunu bulalim.
\(144 = 2^4 . 3^2\) olduğundan 144 ten küçük ve 144 ile aralarında asal olan