Bir Sayının Mutlak Değeri

$a \in R $ olmak üzere, a = 0 ise 0 (sıfır) sayısına, a ≠0 ise a veya – a dan pozitif olanın a nın mutlak değeri denir. a nın mutlak degeri |a| şeklinde gösterilir. Buna göre,

$$\left| a \right| =
\begin{cases}
-a, & \text{eğer } a < 0 \\ 0, & \text{eğer } a = 0 \\a, & \text{eğer } a > 0
\end{cases}$$

Şeklinde ifade edilir.

$\left| -2\right|=-(-2)=2, \quad\left| 3\right|= 3, \quad\left|0\right|=0$

$\left| -\dfrac{3}{2} \right|= -(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}, \quad \left| \dfrac{4}{7} \right| =\dfrac{4}{7}$

$x<y$ ise $x-y<0$ olduğundan $\left| x-y\right|=-(x-y)=y-x$

$x<0<y$ ve $\left| x\right|>y$ ise $x+y<0$ olduğundan $\left|x+y\right|=-x-y$ dir

$x<0$ ise $x^7<0$ olduğundan $\left| x^7\right|= -x^7$

$\left|x^4+1\right|=x^4+1$

Örnek:

x < y < z < 0 olduğuna göre $\dfrac{\left| x\right|}{x}-\dfrac{\left| y\right|}{y}+\dfrac{\left| z\right|}{z}$ toplamının değerini bulalım x < 0, y < 0 ve z < 0 olduğundan

$$\dfrac{\left| x\right|}{x}-\dfrac{\left| y\right|}{y}+\dfrac{\left| z\right|}{z}=\dfrac{-x}{x}-\dfrac{-y}{y}+\dfrac{-z}{z}$$

$$=-1-(-1)+(-1)=-1$$ bulunur.

SORU 6

$x, y, z \in \mathbb{R} \quad \text{ve} \quad x \cdot y \cdot z \neq 0 \quad \text{olmak üzere,}$

$$\dfrac{|x|}{x} + \dfrac{|y|}{y} + \dfrac{|z|}{z}$$

$\text{toplamının alabileceği birbirinden farklı kaç değer vardır?}$

$\text{A) } 8 \quad \text{B) } 7 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 4$

Çözüm:

Verilen ifade:

$S = \frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z}$

Burada $(\dfrac{|a|}{a}) $ifadesi (a > 0) için (+1), (a < 0) için ise (-1) değerini alır. Bu yüzden (S) ifadesini çözmek için (x, y, z) değerlerinin pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak 8 farklı kombinasyon oluşabilir:

$(x > 0, y > 0, z > 0 \implies S = 1 + 1 + 1 = 3)$
$(x > 0, y > 0, z < 0 \implies S = 1 + 1 – 1 = 1) $

$(x > 0, y < 0, z > 0 \implies S = 1 – 1 + 1 = 1)$
$(x > 0, y < 0, z < 0 \implies S = 1 – 1 – 1 = -1) $

$(x < 0, y > 0, z > 0 \implies S = -1 + 1 + 1 = 1)$
$(x < 0, y > 0, z < 0 \implies S = -1 + 1 – 1 = -1) $

$(x < 0, y < 0, z > 0 \implies S = -1 – 1 + 1 = -1)$
$(x < 0, y < 0, z < 0 \implies S = -1 – 1 – 1 = -3)$

Bu durumda (S) toplamının alabileceği birbirinden farklı değerler:

$S \in \{3, 1, -1, -3\}$

Yani, (S) toplamının alabileceği birbirinden farklı 4 değer vardır.

Cevap:
$\boxed{4}$