Bölünebilme, Bölünebilme Kuralları

Bölüm İçeriği
BÖLÜNEBiLME
BÖLME – KALAN ÖZELLiKLERi:
BÖLÜNEBiLME KURALLARI

BÖLÜNEBİLME, BÖLME- KALAN ÖZELLİKLERİ

$B \neq 0 $ ve A, B, C, K tamsayılar olmak üzere,

\[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{c} A \\
_\_\quad \vdots \\
\hline
K
\end{array} &
\begin{array}{c}
\quad B \\
\hline \\ C
\end{array}
\end{array} \]

şeklinde verilen bir bölme işleminde,

A ya bölünen,
B ye bölen,
C ye bölüm,
K ya kalan denir. Burada

$A = B. C + K$ eşitliğine bölme özdeşliği denir.
Kalan, bölenden küçüktür. (K<B)
K=0 ise A, B ye tam bölünür
Kalan, bölümden de küçük ise bölenle bölüm yer değiştirilirse kalan değişmez. Yani K<B ve K<C ise

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B \\
\hline
\quad C
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve \;\; \;\; \;\; \;\; \;\;
\end{array}
\begin{array}{C}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad C \\
\hline
\quad B
\\
\\
\end{array}
\end{array} \]

olur.

Örnek:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 13 \\
\hline
\quad 17
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=13\cdot17+9
\end{array}
\end{array} \]

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 17 \\
\hline
\quad 13
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=17\cdot13+9
\end{array}
\end{array} \]

Kalan, bölümden de küçük ise bölen le bölüm yer değiştirilirse kalan değişmez.

Örnek:

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad \vdots \;\; \\
\hline
\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad A \\
\hline
\quad 11
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Yandaki bölme işleminde K<11 olduguna göre A+K toplamını bulalım.

Çözüm:

Kalan bölümden küçük olduğundan bölenle bölüm yer değiştirebilir. Bu şekilde işlem yapılırsa,
\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad 132 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad 2 \rightarrow K \\
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 11 \\
\hline
\quad 12 \rightarrow A
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

\[ A= 12 \quad \text{ ve} \quad K= 2 \text{ dir}\] O halde $A+ K=14$ olarak bulunur.

Kalan Özellikleri:

1. Bir A sayısının x sayısına bölümünden kalan a ve bir B sayısının x sayısına bölümünden kalan b ise

a) A + B toplamının x sayısına bölümünden kalan a + b,

b) A . B çarpımının x sayısına bölümünden kalan a . b dir.

Uyarı: Yukarıda verilen özellikler için a + b veya a . b sayısı x sayısından büyük olursa, bu degerler x sayısına tekrar bölünerek kalan bulunur.

Örnekler:

$357984$ ve $1996$ sayılarının toplamının ve çarpımının 9 a bölümünden kalanı bulalım.

$\to$ $2357984 + 1996$ toplamının 9´a bölümünden kalan $2+7=9$ ve buradan 9 un 9 ´a bölümünden kalan 0 olduğundan bu toplamın 9´a bölümünden kalan 0 olur.

$2357984 \cdot 1996$ çarpımının 9 a bölümünden kalanı bulalım.

$\to$ $2 \cdot7 = 14$ ve buradan 14 ün 9 a bölümünden kalan 5 olduğundan bu çarpımın 9 a bölümünden kalan 5 olarak bulunur.

Uğur, elindeki şekerleri 7 şer gruplandırdığında 5 şeker, kardeşi Melek, şekerlerini 7 şer gruplandırdığında 4 şeker artıyor. Uğur şekerlerini kardeşi Melek’e veriyor. Bu durumda Melek, elindeki şekerleri 7 şer gruplandırırsa kaç seker artacağını bulalım.

$\to$ Melek, kardeşinin şekerlerini aldıktan sonra, elindeki bütün şekerleri 7 şer gruplandırırsa 5 +4 = 9 şeker artar. 9 un 7 ye bölümünden kalan 2 olduğundan son durumda, Melek elindeki şekerleri 7 şer gruplandırırsa 2 şeker artar.

2. Bir A sayısı $x \cdot y$ çarpımına bölünebiliyorsa, x ve y sayılarına da ayrı ayrı bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı her zaman doğru değildir. Yani, A sayısı hem x, hem de y sayısına bölünebiliyorsa $x \cdot y$ çarpımına her zaman bölünmeyebilir. Ancak bu durumda A sayısı x ile y sayılarının en küçük ortak katına bölünebilir. O halde,

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,l,l}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x\cdot y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad dir \\
\end{array}
\end{array}
\]
Fakat

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,c,r}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x \cdot y} \in Z\quad \text{her zaman tam sayı olmayabilir. Ancak,} \\
\end{array}
\end{array}
\]

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,c,r}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{(x \cdot y)}_{okek} \in Z\quad \text{dir} \\
\end{array}
\end{array}
\]

Örnek:

320 sayısı 80 sayısına bölünebilir. Dolayısıyla 80 in bütün çarpanlarına da bölünebilir.

$\Rightarrow$ 320 sayısı 32 ye ve 20 ye bölünebilir fakat $32\cdot 20$ çarpımına bölünemez. (32 ve 20 sayılarının aralarında asal olmadığına dikkat edilmelidir.) Fakat $(32, 20)_{okek}$ = 160 olduğundan 320 sayısı 160 a bölünebilir.

BÖLÜNEBiLME KURALLARI

2 ile Bölünebilme:

Çift sayılar 2 ile bölünebilir.

Örneğin, 230, 272, 1994, 456, 118 bölünebilir. Sayıları 2 ile bölünebilir

Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalandır. Veya bir sayı tek sayı ise bu sayının 2 ile bölümünden kalan 1, eğer sayı çift sayı ise bu sayının 2 ile bölümünden kalan 0 dır.

Örneğin, 2001, 123, 1995, 987, 456789 sayılarının 2 ile bölümünden kalan 1;

2000, 102,124, 376, 99998 sayılarının 2 ile bölününden kalan 0 dır.

3 ile Bölünebilme:

Rakamları toplamı 3 ün kati olan sayılar 3 ile bölünebilir.

Örneğin, 123456 sayısının rakamları toplamı $ 1+2 +3 +4 +5 +6 =21$ 3 ün kati olduğundan bu sayı 3 e bölünebilir.
Bir sayının 3 e bölümünden kalan, bu sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalandır.
Örnegin, 23518 sayısının rakamları toplamının (19 un) 3 ile bölümünden kalan 1 oldugundan, bu sayının 3 e bölümünden kalan 1 dir.

Örnekler:

5a31 bes basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre a yerine yazılabilecek rakamları bulalım.

$\to$ 25a31 sayısının rakamları toplamı 3 ün kati olmalıdır. O halde,

\[2 + 5 + a + 3 + 1 = 3k \quad(k \in Z)\]

$11 + a = 3k$ elde edilir. Buradan $11 + a$ toplamının 3 ün katı olması için a yerine yazılabilecek rakamlar 1, 4, 7 olarak bulunur. (a rakam olduğundan 0 dan 9 a kadar değer alabilir)

İki basamaklı ab sayısı ve 5 basamaklı ab8cd sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, c ve d rakamlarının toplamının alabileceği değerleri bulalım.

$\to$ $ab$ ve $ab8cd$ sayıları 3 ile bölünebildiğinden $a+b=3k \quad (k \in Z)$ ve $a+b+8+c+d=3p \quad (p \in Z)$ dir. Buradan büyük sayıdan küçük sayı çıkarılırsa $8+c+d=3(p- k)$ olur. O halde $8 + c + d$ toplamının 3 ün kati olabilmesi için c + d toplamı 1, 4, 7, 10, 13, 16 olmalıdır.

Dört basamaklı 238a sayısının 3 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, a yerine yazılabilecek en büyük rakamı bulalım.

$\to$ $238a$ sayısı $3$ ile bölündüğünde $2$ kalanını verdiğine göre, $2 + 3 + 8 + a = 3k+2 \quad (k \in Z)$ dir. Buradan, $13- 2+a=3k \Rightarrow 11+a=3k$ olur. $11 + a$ toplamının $3$ ün katı olabilmesi için a yerine yazılabilecek en büyük rakam $7$ dir.

a, b birer çift sayı ve beş basamaklı 2ab30 sayısının 3 e bölümünden kalan 1 dir. a < b olduğuna göre a ve b yerine yazılabilecek (a, b) ikililerinin sayısını bulalım.

$ \to $ $2 + a + b + 3 + 0 = 3k + 1 \quad (k \in Z) $ olduğundan $4+a+b=3k$ olur. Buna göre $a+b$ toplamı $2, 5, 8, 11, 14 \quad ve \quad 17$ olabilir. Ancak a ve b çift sayı olduğundan toplamları da çift sayıdır. O halde $a + b$ toplamı 2, 8, 14 olacak şekilde seçilebilecek (a, b) ikilileri (0, 2), (0, 8), (2, 6), (6, 8) olmak üzere, dört tanedir.

Uyarı: Bir sayının 3 e bölünüp bölünmediğinin kontrol edilmesinde rakamlar toplamı hesaplanırken elde edilen 3 ün katlarını toplama işleminde hesaba katmaya gerek yoktur. Bu şekilde rakamlar toplamının büyük bir sayı olmasının önüne geçilmiş olur.

Örnek:

$796824983$ sayısının 3 e bölümünden kalanı bulalım.

\[ \begin{array}{c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c@{\!\!}c} 7 & 9 & 6 & 8 & 2 & 4 & 9 & 8 & 3 \\ \uparrow & & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & \\ 7 + 8 = 15 & & & & 4 + 8 = 12 \\ \end{array} \]

rakamlar toplamı bulunurken 3, 6 ve 9 rakamları dışında toplamları 15 (= 7 + 8) ve 12 (= 4 + 8) olan dört rakam da göz önüne alınmazsa sadece 2 kalır. Buna göre verilen bu sayının 3 e bölümünden kalan 2 dir.

4 ile Bölünebilme:

Onlar ve birler basamağındaki rakamların (son iki rakamın) belirttiği iki basamaklı sayı 4 ün kati olan sayılar 4 e bölünebilir.

Örneğin, 140352, 7424, 35408, 1996 sayılarının son iki rakamının belirttiği iki basamaklı sayılar, sırasıyla 52, 24, 08, 96 dır. Bu sayılar da 4 ile bölünür.

Bir sayının 4 e bölümünden kalan, bu sayının son iki rakamının belirttiği iki basamaklı sayının 4 e bölümünden kalandır.

Örneğin, $$20514$$ sayısının son iki rakamının belirttiği iki basamaklı sayının (14 ün) 4 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 20514 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 dir. $$384217$$ sayısının son iki rakamının belirttiği iki basamaklı sayının (17 nin) 4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan 384217 sayısının 4 ile bölümünden kalan da 1 dir.

Örnek:

5 basamaklı 7a35b sayısı 3 ve 4 ile bölünebildiğine göre a yerine yazılabilecek farklı değerlerin toplamını bulalım.

$7a35b$ sayısının 4 ile bölünebilmesi için iki basamaklı 5b sayısı 4 ile bölünebilmelidir. O halde b yerine 2 veya 6 yazılabilir. Bu iki değer için a yerine yazılabilecek rakamları bulalım.

Verilen sayı 3 ile bölünebildiğine göre rakamları toplamı 3 ün kati olmalıdır. Buna göre

$$7a352$$ $b=2$ için sayısının rakamları toplamından elde edilen a+5 toplamı 3 ün katı olmalıdır. Bu durumda a yerine 1, 4, 7 rakamları yazılabilir.

$$7a356$$ $b=6$ için $7a356$ sayısının rakamları toplamından $a=3k \quad (k \in Z) $ olmalıdır. Bu durumda a yerine 0, 3, 6, 9 rakamları yazılabilir. O halde a yerine yazılabilecek rakamları toplamı $ 1 + 4 +7+0+3+6+9=30$ olur.

5 ile Bölünebilme:

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile bölünebilir.

Örneğin, 1990, 2005 sayıları 5 ile bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalandır.

Örneğin, 101, 1993, 384217, 2619 sayılarının 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 3, 2, 4 tür.

Örnek:

Dört basamaklı 18ab sayısı 3 ve 5 ile bölünebilen bir sayıdır. $a < b$ olduğuna göre a nın en büyük değerini bulalım.

Verilen sayı 5 e bölünebildiğine göre b rakamı 0 veya 5 olmalıdır. a < b olduğundan b yerine 5 yazılabilir. Bu sayı 3 ile de bölünebildiğine göre rakamları toplamı 3 ün kati olmalıdır. Buna göre,

$$1+8+a+5=3k \quad (k \in Z)$$ olduğundan a yerine yazılabilecek değerler 1, 4, 7 dir. a < 5 olduğuna göre, a yerine yazılabilecek en büyük değer 4 tür.

Örnek:

Dört basamaklı 87ab sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Bu sayının 4 ile bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek en küçük rakamı bulalım.

Verilen sayının 4 ile bölünebilmesi için iki basamaklı $ab$ sayısı 4 ün kati olmalıdır. O halde $87ab$ sayısı çift sayıdır. Bu durumda bu sayının 5 ile bölümünden kalanın 2 olması için b yerine 2 yazılmalıdır. Birler basamağı 2 olan 4 ün katı en küçük iki basamaklı sayı 12 dir. O halde a yerine yazılabilecek en küçük değer 1 dir.

6 ile Bölünebilme:

3 ile bölünebilen çift sayılar 6 ile bölünebilir.

Örneğin, 234 sayısının rakamlar toplamı 9 (3 ün katı) ve sayı çift sayı; 38472 sayısının rakamlar toplamı 24 (3 ün katı) ve sayı çift sayı olduğundan bu sayılar 6 ya bölünebilir.

Bir sayının 6 ya bölümünden kalan, sayının 6 ya tam bölünen kısmı ayrıldıktan sonraki artandır.

Örnek:

$22643$ sayısının 6 ya bölümünden kalanı bulalım.

Sayısının rakamları toplamının 3 e bölümünden kalan 2 dir. O halde $22643$ ten $3k + 2 \quad (k \in Z) $ sayısı çıkarılarak elde edilecek çift sayi 6 ya bölünebilir.

Buna göre, $22641 + 2$ için 22641, 3 e bölünebilir fakat çift sayı olmadığından 6 ya bölünemez. O halde bu sayıdan 3 eksilterek çift sayı elde edilebilir. Bu durumda

$$22643 = 22638 + 5$$ olur. 22638, 3 ile bölünebilen çift sayı oldugundan 6 ya bölünür. O halde 22643 sayısının 6 ya bölümünden kalan 5 tir

Örnek:

568 sayısının 6 ya bölümünden kalanı bulalım.

568 in 3 ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre bu sayıdan 3k + 1 $k \in Z$ sayısı çıkarılarak elde edilecek çift sayı 6 ya bölünebilir. O halde,

$$568 = 564 + 4$$ olduğundan 564, 6 ya bölünebilir. Dolayisiyla 568 in 6 ya bölümünden kalan 4 tür.

Örnek:

Dört basamaklı 574a sayısının 6 ya bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek rakamlar toplamını bulalım.

$$5+7+4+a=3k \quad (k \in Z) $$ ve a çift sayı olacağından a yerine 2 ve 8 (= 2 + 6) rakamları yazılabilir. O halde bu değerlerin toplamı 2 + 8 = 10 olarak bulunur.

Örnek:

Dört basamaklı 687a sayısının 4 ve 6 ile kalansız bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek kaç rakam oldugunu bulalım.

\[6+8+7+a=3k \quad (k \in Z)\] ve a çift sayı olduğu taktirde bu sayı 6 ile bölünebilir. Aynı zamanda 4 ile de bölünebildiğine göre, iki basamaklı 7a sayısı 4 ün katı olmalıdır. Buna göre a yerine 2 veya 6 yazılırsa bu sayı 4 ile bölünür. Ancak a = 2 için verilen sayı 3 ile bölünemez. Dolayısı ile a yerine sadece 6 yazılırsa sayı 6 ve 4 ile bölünebilir.

7 ile Bölünebilme:

$r_0, r_1 r_2, \cdots, r_n$ birer rakam olmak üzere, n+1 basmaklı $r_0, r_1 r_2, \cdots, r_n$ sayısının 7 ye bölünebilmesi için $ k \in Z$ olmak üzere;

$$(1\cdot r_0 + 3\cdot r_1+2\cdot r_2) – (1\cdot r_3 + 3\cdot r_4+2\cdot r_5)+ \cdots= 7k$$ olmalıdır

Örnek:

252 sayısının 7 ye bölünebildiğini gösterelim.

\[
\begin{array}{c c c c}
2 & 5 & 2 & \Rightarrow 1 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 21 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
2 & 3 & 1 \\
\end{array}
\]

olur. 21, 7 nin katı olduğundan 252 sayısı 7 ye bölünür.

Örnek:

172046 sayısının 7 ye bölünebildiğini gösterelim.

\[
\begin{array}{c c c c c c c c}
1 & 7 & 2 & 0 & 4 & 6 &\Rightarrow (1 \cdot 6 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 )- (1 \cdot 2 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1)= \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 &\\
\end{array}
\]

Örnek:

17482591 sayısının 7 ye bölünebildiğini gösterelim.

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
1 & 7 & 4 & 8 & 2 & 5 & 9 & 1\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\\
3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1\\
\end{array}
\]

\[
\Rightarrow (1 \cdot 1 + 3 \cdot 9 + 2 \cdot 5)- (3\cdot 8 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 4)+ (7\cdot 1 + 3 \cdot 1)= \\
38-34+10=14 \quad olur
\]
14,7 nin katı olduğundan 17482591 sayısı 7 ye bölünür.

Bir sayının 7 ye bölümünden kalan bulunurken, yapılan bu işlemin aynısı uygulanır. Sonuçta elde edilen sayının 7 ye bölümünden kalan, verilen sayının 7 ye bölümünden kalandır.

Örnek:

2518 sayısının 7 ye bölümünden kalanı bulalım.

\[
\begin{array}{c c c c}
2 & 5 & 1 & 8 & \Rightarrow (8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5) -1 \cdot 2 =21-2=19 \quad olur.\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{array}
\]

19 un 7 ye bölümünden kalan 5 olduğundan 2518 sayısının 7 ye bölümünden kalan da 5 tir.

8 ile Bölünebilme:

Yüzler, onlar, birler basamağındaki rakamların (son üç rakamının) belirttiği üç basamaklı sayı 8 in katı olan sayı 8 e bölünebilir.

Örneğin, 2024, 1992, 384112 sayılarının son üç rakamından meydana gelen üç basamaklı sayılar (sırasıyla 024, 992, 112) 8 in katı olduğundan 2024, 1992 ve 384112 sayıları 8 ile bölünebilir.

Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, bu sayının son üç rakamının belirttiği üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalandır.

Örneğin, 19012 sayısının 8 ile bölümünden kalan 012; nin 8 ile bölümünden kalan 4 olduğundan, 4;

384122 sayısının 8 ile bölümünden kalan; 122 nin 8 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 2 dir.

Örnek:

Beş basamaklı 3205a sayısı 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren bir çift sayı olduğuna göre, bu sayının 8 ile bölümünden kalanı bulalım.

Verilen sayı 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren bir çift sayı olduğundan a = 2 dir. O halde 32052 sayısının 8 ile bölümünden kalan, 052 nin 8 ile bölümünden kalan 4 olduğundan, 4 olarak bulunur.

Örnek:

Beş basamaklı 39a08 sayısı 8 ile bölüne bildiğine göre a yerine yazılabilecek rakamların sayısını bulalım.

39a08 sayısı 8 ile bölünebildiğine göre, üç basamaklı a08 sayısı 8 in katıdır. Bu durumda a yerine yazılabilecek rakamlar, 0, 2, 4, 6 ve 8 dir. Buna göre, a yerine yazılabilecek 5 tane rakam vardır.

9 ile Bölünebilme:

Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile bölünebilir.

Örnegin, 11827296 sayısının rakamları toplamı, $$(1+1+8+2+7+2+9+6=36)$$ 9 un katı olduğundan bu sayı 9 ile bölünebilir.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, bu sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalandır.

Örneğin, 217996 sayısının rakamları toplamının (34 ün) 9 ile bölümünden kalan 7 olduğundan, bu sayının 9 ile bölümünden kalan 7 dir.

Örnekler:

Beş basamaklı 3a627 sayısı 9 ile bölünebildiğine göre a nın alabileceği değerleri bulalım.

3a627 sayısının rakamları toplamı 9 un katı olmalıdır. O halde,

$$3+a+6+2+7 = 9k \quad (k \in Z)$$

$$\Rightarrow18+a=9k$$ olur. Buna göre a yerine yazılabilecek rakamlar $0,9 $ dir

4 basamaklı 4a5b sayısı 9 ile bölünebildiğine göre, a + b toplamının alabileceği değerleri bulalım.

4a5b sayısının rakamları toplamı 9 un kati olacağından $$4+a+5+b= 9k \quad (k \in Z)$$

$$\Rightarrow 9+ (a+b)= 9k$$ olur. O halde a+b toplamının alabileceği değerler 0, 9 ve 18 dir.

11 basamaklı 34343434343 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

Verilen sayının rakamları toplamının $(3.6+4.5=38$ in 9 a bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, 34343434343 sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olarak bulunur.

Beş basamaklı 65a38 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre a yerine yazılabilecek rakamları bulalım.

65a38 sayısının rakamları toplamı 9 un katlarının 4 fazlası olmalıdır. O halde $$6+5+a+3+8=9k+4 \quad (k \in Z) $$

$$\Rightarrow 18 +a= 9k $$ olur. Buna göre a yerine yazılabilecek rakamlar 0 ve 9 olur.

Uyarı:

Bir sayının 9 ile bölünüp bölünmediğinin kontrol edilmesinde sayının rakamlarının toplamı hesaplanırken elde edilen 9 un katlarını toplama işleminde hesaba katmaya gerek yoktur.

Örnek:

25 basamaklı 7272727272727272727272727 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

$\Rightarrow$Verilen sayıda art arda 7 ve 2 lerin toplamı 9 olduğundan, bu sayının ilk 24 basamağındaki rakamları hesaba katmazsak geriye 7 kalır. Dolayisiyla bu sayının 9 ile bölümünden kalan 7 dir.

Örnek:

Beş basamaklı 346ab sayısı, 5 ile bölündüğünde 4 kalanını veren bir tek sayıdır. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre a ve b rakamlarının çarpımını bulalım.

$\Rightarrow$ Verilen sayının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, bu sayının birler basamağındaki rakam 4 veya 9 dur. Bu sayı tek sayı olduğundan b = 9 olur. Ayni zamanda bu sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 346a9 sayısının rakamları toplamı 9 un katlarından 2 fazla olmalıdır. Toplamları 9 olan 3 ve 6 rakamı ile birler basamağındaki 9 rakamını hesaba katmazsak,

\[ 4+a = 9k+2(k \in Z) \Rightarrow 2+a =9k \quad olur.\] O halde a=7 ve a ve b rakamalarının çarpımı $7 \cdot 9 = 63$ olarak bulunur.

10 ile Bölünebilme:

Birler basamağındaki rakam 0 olan sayılar 10 ile bölünebilir. Örneğin, 190, 2000, 1235789460 sayıları 10 ile bölünebilen sayılardır. Bir sayının birler basamağındaki rakam, bu sayının 10 a bölümünden kalandır.

Örneğin, 235, 1996, 18223, 217940 sayılarının 10 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 5, 6, 3, 0 dır.

Örnek:

6 ya bölünebilen 5 basamaklı 3a27b sayısının 10 ile bölümünden kalan 4 tür. Buna göre a yerine yazılabilecek rakamların toplamını bulalım.

Verilen sayının 10 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, bu sayının birler basamağındaki rakam, b = 4 tür. Bu sayı aynı zamanda 6 ya bölünebildiğine göre sayının rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır. Burada toplamları 3 ün kati olan 3, 2 ve 7 rakamlarını hesaba katmazsak,

$$a+b = a+4=3k (k \in Z) $$ olmalıdır. O halde a yerine yazılabilecek rakamlar 2, 5 (= 2 + 3) ve 8 (= 5 + 3) dir. Bu sayıların toplami $$2+5+8=15 $$ olarak bulunur.

11 ile Bölünebilme:

$r_0, r_1, r_2, \cdots , r_n$ birer rakam olmak üzere, n + 1 basamaklı $r_n, r_{n-1}, \cdots , r_2, r_1, r_0$ sayısının 11 ile bölünebilmesi için, $k \in Z $ olmak üzere;

$$( r_0+r_2+r_4+ \cdots ) – (r_1+r_3+r_5+ \cdots )= 11\cdot k$$ veya $$( r_1+r_3+r_5+ \cdots ) – (r_0+r_2+r_4+ \cdots )= 11\cdot k$$ olmalıdır

Örneğin, 8272671 sayısının 11 ile bölünebildiğini gösterelim.

Yukarıda verilen kuralı, sayının rakamlarını sırasıyla bir (+), bir eksi (-) veya bir (-), bir (+) şeklinde; ister en sağdan ister en soldan başlayarak; işaretleyerek uygulayalım.

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
8 & 2 & 7 & 2 & 6 & 7 & 1 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + & – & + \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (8 + 7 + 6 + 1) – (2 + 2 + 7) = 22 – 11 = 11 \quad \text{olur}
\]

veya

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
8 & 2 & 7 & 2 & 6 & 7 & 1 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
– & + & – & + & – & + & – \\
\end{array}
\]
\[
\to \, (2 + 2 + 7 ) – (8 + 7 + 6+1) = 11 – 22 = -11 \quad \text{olur}
\]

11 ve -11 sayıları 11 in katı olduğundan 8272671 sayısı 11 e bölünebilir.

Buradan sayının rakamları (+) ile veya (-) ile işaretlenmeye başlanması; sonucu sadece işaret yönünden değiştirmektedir. Dolayisiyla sayı ilk olarak; ister (+) ile isterse de (-) ile işaretlenebilir.

Örneğin, 3851650594 sayısının 11 ile bölünebildiğini gösterelim.

Sayının rakamlarını sırasıyla bir (+), bir (-) ile işaretleyelim.

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 8 & 5 & 1 & 6 & 5 & 0 & 5 & 9 & 4 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow& \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + & – & + & -&+&- \\
\end{array}
\]

\[
\to \, (3 + 5 + 6+0+9 ) – (8 + 1 + 5+5+4) = 23-23= 0 \quad \text{dır}
\]

0,11 in katı olduğundan 3851650594 sayısı 11 e bölünebilir.

Bir sayının 11 ile bölümünden kalan bulunurken, sayının rakamları, birler basamağındaki rakamdan başlamak şartıyla, sağdan sola doğru + 1, – 1, + 1, – 1, … ile çarpılarak toplanır. Bulunan toplam 11 den küçük pozitif bir sayı ise bu değer sayının 11 ile bölümünden kalandır. Elde edilen toplam sıfırdan küçük veya 11 den büyük ise bu toplama 11 in katları eklenerek 11 den küçük pozitif bir değer elde edilir. Elde edilen bu değer sayının 11 ile bölümünden kalandır.

Örneğin,

32741, 7251803 ve 9170 Sayılarını inceleyelim;

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 2 & 7 & 4 & 1 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + & \\
\end{array}
\]

\[
\to \, (3 + 7 + 1) – (2 + 4) = 5 \\
\]

olduğundan 32741 sayısının 11 ile bölümünden kalan 5

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
7 & 2 & 5 & 1&8 & 0& 3 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + &-&+ \\
\end{array}
\]

\[
\to \, (7 + 5 + 8 + 3) – (2 + 1 + 0) = 20
\]
\[
20 > 11 \quad \text{olduğundan}
\]
\[
20 + 11 \cdot (-1) = 9 \quad \text{ve} \quad 9 < 11 \quad \text{olur}
\]

O halde, 7251803 sayısının 11 ile bölümünden kalan 9;

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
9 & 1 & 7 & 0 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
– & + & – & + & \\
\end{array}
\]

\[
\to \, (1+ 0 ) – (9 + 7) = -15 \\
\]

\[
-15 < 0 \quad \text{olduğundan}
\]

\[
-15 + 11 \cdot 2 = 7 \quad \text{elde edilir}
\]

ve, 9170 sayısının 11 ile bölümünden kalan 7 dir;

Örnek:

5 basamaklı 39a71 sayısı 11 ile bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek rakamı bulalım .

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
3 & 9 & a & 7 & 1 &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&\\
\end{array}
\]

\[
\to \, (3+a+ 1 ) – (9 + 7) = 11\cdot k \in Z\\
\]

\[
\Rightarrow a-12= 11\cdot k\\
\]

\[
\begin{array}{ll}
k = -1 \quad \text{seçilirse} & \Rightarrow a – 12 = -11 \Rightarrow a = 1 \, \text{(rakam)} \\
k = 0 \quad \text{seçilirse} & \Rightarrow a – 12 = 0 \Rightarrow a = 12 \, \text{(rakam değildir)} \\k = 1 \quad \text{seçilirse} & \Rightarrow a – 12 = 11 \Rightarrow a = 23 \, \text{(rakam değildir)}
\end{array}
\]k = – 1 dışında, k nın herhangi bir değeri için a ya karşılık gelebilecek rakam bulunamayacağından a yerine yazılabilecek rakam 1 dir.

\[
\\
\]

Örnek:

\[
\\
\]
6 basamaklı 2a4576 sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, a yerine yazılabilecek rakamı bulalım.

2a4576 sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, $2a4576 – 5 = 2a4571$ sayısı 11’e bölünebilir. O halde $k \in Z$ olmak üzere,

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
2 & a & 4 & 5 & 7 & 1&\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&-&\\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l l}
\to (2+4+7)-(a+5+1) = 11\cdot k\\
\Rightarrow 7-a=11\cdot k
\end{array}
\]

$k=0$, için $7-a=0\, \Rightarrow a=7$ bulunur. $k$’nin başka değerleri için herhangi bir a rakamı bulunamaz.

Örnek:

5 basamaklı a3b73 sayısının 11 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre a ve b rakamlarının toplamının kaç farklı değer alabileceğini bulalım.

Verilen sayının 8 eksiği 11 ile bölünebileceğinden, $a3b73 – 8 = a3b65$ sayısı 11 e bölünebilir. O halde,

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & 3 & b & 6 & 5 &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & +&\\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l l}
\to (a+b+5)-(3+6) = 11\cdot k\\
\Rightarrow a+b-4=11\cdot k \quad \text{olur} \quad
\end{array}
\]
$k = -1$ için $a+b= -7$ (iki rakamın toplamı negatif olamaz.)
$k = 0$ için $a + b = 4$
$k = 1$ için $a + b = 15$
$k = 2$ için $a + b = 26$ (k = 2 için a + b = 26 (iki rakamın toplamı 18 den büyük olamaz.)
Buna göre a ve b rakamlarının toplamının alabileceği farklı değerler (4 ve 15) iki tanedir.

Örnek:

6 basamaklı 7a836b sayısının 11 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre a + b toplamının alabileceği farklı değerler toplamını bulalım.

$\to$ Verilen sayının rakamlarını, birler basamağından başlayarak, sola doğru artı bir, eksi bir, artı bir, eksi bir, artı bir, eksi bir ile çarpıp elde edilen değerleri topladığımızda elde edilen toplam on birin katlarının yedi fazlası olmalıdır. Buna göre, k tam sayı olmak üzere,

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
7 &a & 8 & 3 & 6 & b &\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
– & + & – & +& -&+&\\
\end{array}
\]

\[ \begin{array}{ll} \rightarrow (a+b+3) – (7+8+6) = 11 \cdot k + 7 \\ \Rightarrow a+b = 11 \cdot k + 25 \\ \Rightarrow a+b = 11 \cdot k + 3 \quad \text{(25’in 11 bölümünden kalan)} \end{array} \]

$k=- 1 $ için $a+b=- 8$ (olamaz)

$k=0$ için $a+b=3$ (olabilir)

$k= 1$ için $a+b= 14$ (olabilir)

$k=2 $ için $a+b= 25$ (olamaz)

Buradan a + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı $3+14=17$ olarak bulunur.

Uyarı: Aralarında asal sayılardan her birine bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da bölünebilir. Buna göre:

2 ve 3 ile bölünebilen bir sayı 6 ile,
3 ve 4 ile bölünebilen bir sayı 12 ile,
2 ve 9 ile bölünebilen bir sayı 18 ile,
3 ve 8 ile bölünebilen bir sayı 24 ile,
4 ve 9 ile bölünebilen bir sayı 36 ile,
3 ve 10 ile bölünebilen bir sayı 30 ile,
5 ve 6 ile bölünebilen bir sayı 30 ile,
3 ve 10 ile bölünebilen bir sayı 30 ile, (5 ve 6 ile bölünebilen bir sayı 30 ile)
3, 4 ve 5 ile bölünebilen bir sayı 60 ile

bölünebilir.

Örnek:

5 basamaklı a235b sayısı 12 ye bölünebildiğine göre, a rakamı yerine yazılabilecek değerlerin kümesini bulalım.

Verilen sayı 12 ye bölünebildiğine göre, $12 = 3 \cdot4$ ve 3 ile 4 aralarında asal olduğundan,
3 ve 4 ile de bölünebilir. Buna göre bu sayının son iki rakamından meydana gelen sayı 52 veya 56 (4 e bölünebilmesi için) olmalıdır. Sayı 3 ile bölünebildiğine göre, rakamları toplamı3 ün kati olmalıdır.

o halde, a2352 sayısı için,

$a+2+5+2= 3\cdot k \quad (k\in Z) $

$\Rightarrow a+ 9= 3\cdot k$ olur.

a yerine yazılabilecek rakamlar 0, 3, 6 ve 9 olabilir. Ancak a yerine 0 yazılırsa bu sayı 5 basamaklı olmaz. Bu durumda a nın alabileceği değerler 3, 6 ve 9 dur.

$a2356$ sayısı için,

$a+2+5= 3\cdot k\,\,\,\, (k \in Z)$

$\Rightarrow a+7= 3\cdot k $ olur.

a yerine yazılabilecek rakamlar 2, 5, 8 dir. Buna göre a rakamı yerine yazılabilecek degerler kümesi { 2, 3, 5, 6, 8, 9 } olarak bulunur

Örnek:

5 basamaklı a235b sayısı 12 ye bölünebildiğine göre, a rakamı yerine yazılabilecek değerlerin kümesini bulalım.

$\to$ Verilen sayı 12 ye bölünebildiğine göre,

$12 = 3 \cdot 4$ ve 3 ile 4 aralarında asal olduğundan, 3 ve 4 ile de bölünebilir. Buna göre bu sayının son iki rakamından meydana gelen sayı 52 veya 56 (4 e bölünebilmesi için) olmalıdır. Sayı 3 ile bölünebildiğine göre, rakamları toplamı 3 ün kati olmalıdır.

O halde, a2352 sayısı için,

$a+2+5+2= 3\cdot k \,\, (k \in Z) \,\, \Rightarrow a+9= 3k$ olur.

a yerine yazılabilecek rakamlar 0, 3, 6 ve 9 olabilir. Ancak a yerine 0 yazılırsa bu sayı 5 basamaklı olmaz. Bu durumda a nın alabileceği değerler 3, 6 ve 9 dur.

a2356 sayısı için,

$a+2+5= 3\cdot k \,\, (k \in Z) \,\, \Rightarrow a+7= 3\cdot k $ olur. a yerine yazılabilecek rakamlar 2, 5, 8 dir. Buna göre a rakamı yerine yazılabilecek değerler kümesi { 2, 3, 5, 6, 8, 9 } olarak bulunur.

25 ile Bölünebilme:

Onlar ve birler basamağındaki rakamların belirttiği iki basamaklı sayı 25 in kati olan sayılar 25 ile bölünebilir.

Örneğin, 300, 1425, 26750, 1975 sayıları 25 ile bölünebilir.

Soru 32:

a ve b birer rakam, ab iki basamaklı bir sayıdır.

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &ab \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad 2 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad b \\
\hline
\quad 3
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

olduğuna göre, ab sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

\[ \text{A)} 29 \quad \text{B) } 41 \quad \text{C) } 43 \quad \text{D) } 55 \quad \text{E) } 64 \]

Çözüm:

Verilen bölme işlemine göre b > 2 dir. Bölme özdeşliğini yazarsak,

\[
ab=3\cdot b +2 \Rightarrow 10\cdot a + b = 3\cdot b+ 2
\Rightarrow 5\cdot a= b+1
\]
dir. Elde edilen bu eşitliği sağlayan a ve b rakamlarını tespit edip ab sayılarını bulalım.
\[
a= 1 \quad \text{için}\quad b= 4 \quad ve \quad ab \rightarrow 14
\]
\[
a= 3 \quad \text{için}\quad b= 14 \quad \text{rakam değil}
\]
O halde ab sayılarının alabileceği değerlerin toplamı, $14 + 29 = 43$ tür.

${\textbf{Cevap: C}}$

Soru 33:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &x \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad y \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 11 \\
\hline
\quad 13
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Yukarıda verilen bölme işleminde, x doğal sayısının 10 ile bölümünden kalan 8 dir. Buna göre, x . y çarpımının 9 ile bölümünden kalan nedir?

\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]

Çözüm:

x in 10 ile bölümünden kalan 8 olduğundan x doğal sayısının birler basamağındaki rakam 8 dir. Ayrıca y kalanı 11 den küçüktür. Verilen bölme işlemine göre bölme özdeşliği yazılırsa,

$x=11\cdot 13 + y \Rightarrow$ $ x = 143+ y $ olur

x in birler basamağının 8 olabilmesi için y = 5 olmalıdır. O halde x = 148 dir. x. y = 740 sayısının 9 a bölümünden kalan, bu sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalandır. Yani 7+ 4+ 0 = 11 in 9 ile bölümünden kalan 2 dir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 34:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &65\dots \;\;\\
\quad &\vdots\\
-\;\; \\
\hline
&\quad .. \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 3x \\
\hline
\quad 1\dots
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Yukarıdaki bölme işleminde x bir rakamdır. Buna göre, x in degeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

\[ \text{A)} 2 \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 6 \]

Çözüm:

x yerine 2 yazalım ve bölümü araştıralım.

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &65\dots \;\;\\
\quad &64\;\;\;\;\;\;\; \\
-\;\; \\
\hline
&\quad 1.. \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 32 \\
\hline
\quad 2.
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Görüldüğü gibi x yerine 2 yazıldığında bölümün ilk rakamı (en soldaki ilk bulunan rakam) 2 olmaktadır. Halbuki verilen bölme işleminde bölümün ilk rakamı 1 dir. Bunun için x in 2 den büyük bir sayı olmasi gerekir. O halde x yerine 2 yazılamaz.

${\textbf{Cevap: A}}$

Soru 35:

B1 iki basamaklı bir sayı olmak üzere,

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad A \;\;\\
-\quad \vdots \;\; \\
\hline
\quad 4 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B1 \\
\hline
\quad 6
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

bölme işlemi veriliyor.

Buna göre, A doğal sayısının 12 ye bölümünden kalan nedir?

\[ \text{A)} 7 \quad \text{B) } 8 \quad \text{C) } 9 \quad \text{D) } 10 \quad \text{E) } 11 \]

Çözüm:

Verilen bölme işleminden bölme özdeşliği yazılırsa,

$A=6\cdot B1 +4 \Rightarrow A=6\cdot (10\cdot B+ 1)+4$

$A= 60\cdot B+10 $ elde edilir.

$A= 60\cdot B$, 12 ye tam bölündüğünden A doğal sayısının 12 ye bölümünden kalan 10 dur.

${\textbf{Cevap: D}}$

Soru 36:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad 2 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B+1 \\
\hline
\quad 3
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve \;\; \;\; \;\; \;\; \;\;
\end{array}
\begin{array}{C}
\quad &B \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad 1 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 5 \\
\hline
\quad C-1
\\
\\
\end{array}
\end{array} \]

Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, C nin A cinsinden eşiti nedir?

\[ \text{A)} \frac{A-7}{15} \quad \text{B) } \frac{A+7}{15} \quad \text{C) } \frac{A-5}{7} \quad \text{D) } \frac{A+11}{15} \quad \text{E) } \frac{A-3}{15} \]

Çözüm:

Verilen bölme işlemlerinde bölme özdeşlikleri yazılırsa,\[
A=3\cdot (B+1)+2\\
\quad ve \quad
B=5\cdot (C-1)+1
\]
\[
A=3\cdot B +5\\
\quad ve \quad
B=5\cdot C-4
\]
\[
B=5\cdot C-4 \quad \text{değeri} \quad A=3\cdot B +5 \quad \text{eşitliğinde yerine yazılırsa}
\]
\[
A=3\cdot (5.C-4) +5 \Rightarrow A=15.C-7 \quad \text{olur.}
\]
\[
\text{Buradan} \quad C= \frac{A+7}{15} \text{ tir}
\]
${\textbf{Cevap: B}}$

Soru 37:

Üç basamaklı a2b sayısı 12 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

\[ \text{A)} 3 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 7 \quad \text{D) } 8 \quad \text{E) } 9 \]

Çözüm:

$12 = 3 \cdot 4$ (3 ve 4 aralarında asal olduğundan ) 12 ye bölünebilen sayılar 3 ve 4 ile de bölünebilir. Buna göre, a2b sayısının 4 e bölünebilmesi için b yerine 0, 4 veya 8 yazılabilir. a2b sayısının 3 ile bölünebilmesi için a + 2 + b toplamı 3 ün kati olmalıdır. Burada a nın alabileceği değerler

$b = 0 \quad için \quad 1, 4, 7$

$b = 4 \quad için \quad 3, 6, 9$

$b = 8 \quad için \quad 2, 5, 8$

O halde a nın alabileceği değerler kümesi ${ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }$ dur. Yani a yerine 9 farklı değer yazılabilir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 38:

Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı 3ab sayısı 15 ile bölünebilmektedir. Buna göre, 3ab sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük degerin toplamı nedir?

\[ \text{A)} 665 \quad \text{B) } 675 \quad \text{C) } 690 \quad \text{D) } 705 \quad \text{E) } 735 \]

Çözüm:

15 = 3 . 5 (3 ve 5 aralarında asal) olduğundan 15 ile bölünebilen sayılar 3 ve 5 ile de bölünebilir. Buna göre, 3ab sayısının 5 ile bölünebilmesi için b = 0 veya b = 5 olmalıdır.

Bu sayının 3 ile bölünebilmesi için 3 + a + b toplamı 3 ün kati olmalıdır. Bu şartları sağlayan, rakamları birbirinden farklı en büyük ve en küçük sayıları a değerlerini seçerek araştıralım.

b = 0 için en büyük sayı 390, en küçük sayı 360

b = 5 için en büyük sayı 375, en küçük sayı 315 tir

O halde bu dört sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 390 + 315 = 705 tir.

${\textbf{Cevap: D}}$

Soru 39:

Dört basamaklı 53ab sayısı, 4 ve 5 e bölündüğünde 2 kalanını veren bir sayıdır. Buna göre, a yerine yazılabilecek değerler toplamı kaçtır?

\[ \text{A)} 11 \quad \text{B) } 14 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 18 \quad \text{E) } 20 \]

Çözüm:

53ab sayısı 4 ve 5 ile bölündüğünde 2 kalanını verdiğine göre, bu sayının 2 eksiği 4 ve 5 ile bölünebilir.

53ab sayısının 5 e bölümünden kalan 2 olduguna göre b değeri 2 veya 7 olabilir. 53ab sayısının 2 eksiği hem 4 hem de 5 ile bölünebildiğine göre, bu sayının 2 eksiği bir çift sayı olmalıdır. O halde b degeri sadece 2 olabilir. Bu durumda verilen sayı 53a2 ve bunun 2 eksiği 53a0 dir.

Buna göre 53a0 sayısının 4 ile bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek değerler, 0, 2, 4, 6, 8 ve bu değerlerin toplamı 20 dir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 40:

Rakamları birbirinden farklı, 6 ya bölünebilen en büyük üç basamaklı sayı ile, rakamları birbirinden farklı, 4 ile bölünebilen üç basamaklı en küçük sayının farki kaçtır?

\[ \text{A)} 878 \quad \text{B) } 880 \quad \text{C) } 882 \quad \text{D) } 884 \quad \text{E) } 886 \]

Çözüm:

İstenen şartlara uygun iki sayı, 984 ve 104 olduğundan bu iki sayının farki 880 olur.

${\textbf{Cevap: B}}$

Soru 41:

Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 7a0b4 sayısı 8 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. Buna göre, 7a0b4 sayısının en büyük değeri için a + b toplamı kaça eşittir?

\[ \text{A)} 17 \quad \text{B) } 16 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 14 \quad \text{E) } 12 \]

Çözüm:

Soruda verilenlere göre 7a0b2 sayısı 8 ile bölünebilen bir sayı olur.

Bu sayının 8 ile bölünebilmesi için 0b2 üç basamaklı sayısı 8 in katı olmalıdır. O halde b yerine 3 veya 7 yazılabilir. Sayının rakamları birbirinden farklı olduğuna göre b yerine 7 yazılamaz. O halde bu sayı 7a034 şeklindedir.

Bu sayının en büyük degeri için a = 9 olmalıdır. Buna göre, verilen şartlara uygun a+b toplamı 9+3 = 12 dir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 42:

a ve b birer rakam olmak üzere, altı basamaklı 672a5b sayısı 5 ve 9 ile bölündüğünde 1 kalanını veren bir çift sayıdır. Buna göre, a kaçtır?

\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 2 \quad \text{E) } 1 \]

Çözüm:

Verilen sayı 5 e bölündüğünde 1 kalanını veren bir çift sayı olduğundan b değeri 6 dir. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan da 1 olduğundan, bu sayının rakamları toplamı 9 un katlarından 1 fazladır. O halde $k \in Z $ olmak üzere,

$6 + 7 + 2 + a + 5 + 6 \equiv 9k+1 \Rightarrow 7+a \equiv 9k $

O halde k = 1 için a = 2 dir.

${\textbf{Cevap: D}}$

Soru 43:

Bes basamaklı baa4b sayısı 5 ile bölündüğünde kalan a dır. Bu sayı 4 ile bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı nedir?

\[ \text{A)} 12 \quad \text{B) } 10 \quad \text{C) } 7 \quad \text{D) } 6 \quad \text{E) } 4 \]

Çözüm:

baa4b sayısı 4 ile bölünebildiğine göre, b yerine 0, 4 ve 8 değerleri yazılabilir. Ancak, b = 0 için bu sayı beş basamaklı olmayacağından b yerine 4 veya 8 yazılabilir.

a yerine yazılabilecek değerler, bu sayının 5 ile bölümünden kalanlar olduğuna göre, b değerlerine göre a nın alabileceği değerler b = 4 için a = 4 ve b = 8 için a = 3 tür. Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı 4 + 3 = 7 dir.

${\textbf{Cevap: C}}$

Soru 44:

Bir A tamsayısı 111 ile bölünebildiğine göre, aşağıdakilerden hangisine her zaman bölünebilir?

\[ \text{A)} 2 \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 6 \]

Çözüm:

A nın 111 ile bölümü x olsun.

\[\frac{A}{111} = x \in Z \Rightarrow A = 111 \cdot x \quad \text{olur}\]

111 sayısı 3 e daima bölünebildiğine göre, A = 111 . x sayısı da 3 ile her zaman bölünebilir.

${\textbf{Cevap: B}}$

Soru 45:

İki basamaklı xy sayısı 9 ile bölünebilen bir sayıdır. Buna göre, dört basamaklı 7x6y sayısının 9 a bölümünden kalan kaçtır?

\[ \text{A)} 4 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 7 \quad \text{E) } 8 \]

Çözüm:

xy sayısı 9 ile bölünebildiğine göre x + y toplamı 9 un katıdır. Buna göre 7x6y sayısının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan olduğundan,

7 + 6 + x + y = 4 + 9 + (x + y) dir. O halde, bu sayının 9 a bölümünden kalan 4 tür.

${\textbf{Cevap: A}}$

Soru 46:

2a55a sayısı, 3 ile bölündüğünde 2 kalanını veren beş basamaklı çift sayıdır. Buna göre, yirmi basamklı aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

\[ \text{A)} 4 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 7 \quad \text{E) } 8 \]

Çözüm:

2a55a sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,

$12+2\cdot a =3\cdot k +2 \Rightarrow 10+2a= 3\cdot k \quad (k \in Z) $ olur.

Buna göre, a yerine yazılabilecek değerler 1, 4, 7 dir. Verilen sayı çift sayı olduğundan a = 4 tür. O halde, yirmi basamaklı

44444444444444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan (rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan) 20.4 çarpımının 9 ile bölümünden kalandır. Buna göre 20.4 (2. 4 = 8) bu sayının 9 a bölümünden kalandır.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 47:

11 ile bölünebilen 7 basamaklı a25b38c sayısının 10 ile bölümünden kalan 4 tür.

Buna göre, a – b farkinin alabileceği farklı değerler kaç tanedir?

\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]

Çözüm:

Verilen sayının 10 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, bu sayının birler basamağındaki rakam (c) 4 tür. a25b384 sayısı 11 ile bölünebildiğinden, 11 e bölünebilme kuralına göre işlem yapılırsa,

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & 2 & 5 & b & 3 & 8 & 4 & \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\
+ & – & + & – & + & – & + \\
\end{array}
\]

\[
\to (a+5+3+4)-(2+b+8)= 11\cdot k\Rightarrow a-b+2=11\cdot k \quad (k \in Z)
\] olur.

$k = -1 \quad için \quad a-b= -13 \rightarrow $ olamaz.

$k = 0 \quad için \quad a-b= -2 \rightarrow $olabilir.

$k = 1 \quad için \quad a-b= 0 \rightarrow $olabilir.

$k = 2 \quad için \quad a-b= 20 \rightarrow $olamaz.

iki rakamın farkinin en küçük değerinin – 9, en büyük değerinin ise 9 olduğuna dikkat edilmelidir. O halde a – b farkının alabileceği farklı değerler iki tanedir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 48:

Beş basamaklı abcd8 sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 ve d – a = 3 tür. Buna göre, b – c farkının değeri kaçtır?

\[ \text{A)} -2 \quad \text{B) } -1 \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } 1 \quad \text{E) } 2 \]

Çözüm:

abcd8 sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, bu sayının 5 eksiği (abcd3 sayısı) 11 ile kalansız bölünebilir.

O halde 11 ile bölünebilme kuralına göre işlem yapılırsa,

\[
\begin{array}{l l l l l l l l}
a & b & c & d & 3 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+ & – & + & – & + \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}
\to (a+c+3)-(b+d)= 11\cdot k \quad (k\ in Z)\\
\Rightarrow a-d+3+c-b=11\cdot k \\
\Rightarrow -3+3+c-b= 11\cdot k \\
\Rightarrow b-c= -11 \cdot k
k = 1\quad için \quad b- c= – 11 \to olamaz \\
k = 0\quad için \quad b- c= 0 \to olabilir \\
k = -1\quad için \quad b- c= 11 \to olamaz \\
\end{array}
\] olur.

Buna göre b – c farkinin degeri 0 dır.

${\textbf{Cevap: C}}$

Soru 49:

a ve b birer rakam olmak üzere,

\[\frac{a0b}{30}+ \frac{3}{5}\]

ifadesi bir doğal sayıya eşit olduğuna göre, b kaçtır?

\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 3 \quad \text{E) } 2 \]

Çözüm:

\[\frac{a0b}{30}+ \frac{3}{5} = \frac{a0b+18}{30} \in N\]

O halde, a0b + 18 sayısı 30 bölünebilen bir sayı olmalıdır. 30 = 3. 10 olduğundan bu sayı 3 ve 10 ile bölünmelidir. Buna göre a0b + 18 sayısının birler basamağındaki rakam 0 olmalıdır. Bunun için b = 2 olması gerekir.

${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 50:

Dört basamaklı $aaa0$ sayısı aşağıdakilerden hangisine her zaman bölünebilir?

\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 12 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 18 \quad \text{E) } 20 \]

Çözüm:

$aaa0$ sayısının son rakamı 0 olduğundan bu sayı 5 ve 10 ile daima bölünür. Verilen sayının rakamlarının toplamı 3a olduğuna göre 3 ile de her zaman bölünür. Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı bu iki sayının çarpımına da bölünebileceğinden (3 ve 5 aralarında asal sayılar olduğundan) aaa0 sayısı 15 ile de her zaman bölünür.

${\textbf{Cevap: C}}$

Bölüm İçeriği BÖLÜNEBiLME BÖLME – KALAN ÖZELLiKLERi: BÖLÜNEBiLME KURALLARI

Örnek:

Örnek:

Çözüm:

Kalan Özellikleri:

Örnekler:

Örnek:

BÖLÜNEBiLME KURALLARI

2 ile Bölünebilme:

3 ile Bölünebilme:

Örnek:

4 ile Bölünebilme:

5 ile Bölünebilme:

6 ile Bölünebilme:

7 ile Bölünebilme:

8 ile Bölünebilme:

9 ile Bölünebilme:

10 ile Bölünebilme:

11 ile Bölünebilme:

25 ile Bölünebilme:

Bölüm İçeriği
BÖLÜNEBiLME
BÖLME – KALAN ÖZELLiKLERi:
BÖLÜNEBiLME KURALLARI