Rasyonel Sayılarda Toplama – Çıkarma

 

Rasyonel sayılarda toplama çıkarma yapabilmek için kesirlerin paydaları eşit olmalıdır. Paydaları eşit olmayan kesirler arasında toplama çıkarma yapabilmek için önce kesirlerin paydaları paydaların okek inde eşit olacak şekilde, kesirler genişletilir veya sadeleştirilir.

Paydaları eşit kesirler toplanırken (veya çıkarılırken) paylar toplamı (veya farki) bulunup paya, ortak olan payda da paydaya yazılır.

$$\frac{a}{b} ± \frac{c}{b} = \frac{a±c}{b} \,\, dir $$

Örnekler:

1)

 

$$\frac{13}{5} + \frac{19}{5} – \frac{7}{5} = \frac{25}{5} = 5 $$

 

2)

 

$$ (\frac{1}{3} + \frac{12}{5} ) -(\frac{1}{3}+ \frac{9}{5} )+3
=\frac{1}{3}+ \frac{12}{5}-\frac{1}{3} -\frac{9}{5} +3\\
=\frac{1-1}{3}+\frac{12-9}{5}  +3=\frac{3}{5}  +3 =3 \frac{3}{5}$$

 

3)

 

$$\frac{1}{2}+1+ \frac{3}{2}  +2 =\frac{1+3}{2} +1 +2= \frac{4}{2} +3 =2+3=5, $$

 

 

4)

 

$$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} +\frac{3}{3}+ \cdots + \frac{20}{3} $$
$$= \frac{1+2+3+4+\cdots +20}{3} = \frac{\frac{20 \cdot 21}{2}}{3}$$
$$=\frac{10 \cdot 21}{3} = 10 \cdot 7 =70,$$

 

5)

 

$$= \frac{1}{5} – \frac{2}{5} + \frac{3}{5} – \frac{4}{5} + \cdots + \frac{49}{5} – \frac{50}{5} $$
$$ = \frac{1+3+ \cdots + 49}{5}\quad -\quad \frac{2+4+ \cdots + 50}{5} $$
$$t_1 \quad \text{ve} \quad t_2 \quad \text{terim sayıları olmak üzere}$$
$$49=2t_1-1 \Rightarrow t_1=25 \quad ve \quad 50= 2t_2 \Rightarrow t_2=25$$
$$=\frac{(25)^2}{5} -\frac{25.26}{5} =\frac{25 \cdot  (25-26)}{5}  =5 \cdot  (-1)= -5$$

 

6)   $$a+1= 2 \frac{1}{2}-\frac{1}{4}  $$ olduğuna göre a yı bulalım.

$$a +1=\frac{5}{2} -\frac{1}{4} \Rightarrow a+1 = \frac{10-1}{4} = \frac{9}{4} $$
$$ \Rightarrow a= \frac{9}{4} -1=\frac{(9-1 \cdot 4)}{4} $$
$$\Rightarrow a= \frac{5}{4} $$ bulunur

Uyarı:

$$\frac{a}{b}± \frac{c}{d} = \frac{ a \cdot  d ± b \cdot  c }{b \cdot  d}   $$

$$ a \frac{b}{c}= a+ \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c+b}{c}   $$

$$ -a \frac{b}{c} =-(a+ \frac{b}{c} )= -\frac{a \cdot c+b}{c} $$ dir

Örnekler:

  •  \(2 \frac{2}{5} = n+1 \frac{3}{5}  \) işleminde n nin kaç olduğunu bulalım.

$$2 \frac{2}{5}   = n+1 \frac{3}{5}  \Rightarrow 2+ \frac{2}{5}= n+1 + \frac{3}{5} $$
$$ \Rightarrow 1 + \frac{2}{5} – \frac{3}{5} =n  $$
$$\Rightarrow \frac{4}{5} =n  $$

 

  •  \( 3-1 \frac{1}{3} = x+ \frac{2}{3}   \) eşitliğinde x in kaç olduğunu bulalım.

$$3-1 \frac{1}{3} = x+ \frac{2}{3} \Rightarrow 3 -(1+ \frac{1}{3} ) = x+ \frac{2}{3}  $$

$$\Rightarrow 2- \frac{1}{3}- \frac{2}{3}  = x $$

$$\Rightarrow x = 1 \quad dir$$