Üslü İfadeler

Üslü İfadeler

 

• \( \large 2^5 = 2 \cdot2\cdot2 \cdot2 \cdot 2 =32   \)

 

• \(  \large (-2)^3 = (-2) \cdot  (-2) \cdot  (-2) =-8  \quad  \text{dir}   \)

 

Uyarı: 

$$  {\Large a+a+a+a + \cdots +a= n \cdot  a  } \quad  \text{dir  }$$

Örnekler: 

• \(  \large \underbrace{  7 + 7  + 7 + 7 \cdots 7}_{19} = 19 \cdot  7 =133    \)

 

• \(  \large  (-\frac{1}{5})  +  (-\frac{1}{5}) + (-\frac{1}{5}) + (-\frac{1}{5}) + (-\frac{1}{5}) = 5 \cdot  (-\frac{1}{5}) =-1  \)

 

 

1)  Sıfır hariç, her sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir. \( a\neq0  \)  olmak üzere,

\[\Large {a^0 = 1} \]

\[\ 0^0 \; \text{tanımsızdır} \]

Örnek: 

\[ (-2)^0 = 1, \quad \left( -\frac{1}{7} \right)^0 = 1, \quad (0,0007)^0 = 1 \text{ dir} \]

Soru 1

\[ \left( \frac{3}{4} \right)^{\large x^3 – 1} = 1 \quad \text{ise } x \text{ kaçtır?} \]

\[ \text{A)} -1 \quad \text{B) } 0 \quad \text{C) } 1 \quad \text{D) } 2 \quad \text{E)}  3 \]

Çözüm: 

\[ \left( \frac{3}{4} \right)^{x^3 – 1} = 1 \quad \text{olduğundan} \Rightarrow x^3 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: C} \)

 

 

\( \Rightarrow (5)^{10} \cdot (32)^2 = 5^{10 }\cdot  (2^5)^2= 5^{10 } \cdot  2^{10} = (5 \cdot  2 ) ^{10}= 10^{10} \)

Soru 6

\[   (2^6 + 2^6 +2^6 +2^6  )^2 \cdot  (25)^8 \quad \text{işleminin sonucu nedir?} \]

\[ \text{A)} 10^{12}  \quad \text{B) } 10^{13}  \quad \text{C) } 10^{14 } \quad \text{D) } 10^{15} \quad \text{E)}  10^{16}  \]

Çözüm: 

\[ (2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6)^2 \cdot (25)^8 = (4 \cdot 2^6)^2 \cdot (5^2)^8 \] \[ = (2^2 \cdot 2^6)^2 \cdot 5^{16} \] \[ = (2^8)^2 \cdot 5^{16} \] \[ = 2^{16} \cdot 5^{16} \] \[ = (2 \cdot 5)^{16} \] \[ = 10^{16} \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: E} \)

Soru 7

\[  \frac{(-27)^3 \cdot (81)^{-2}}{2^{13} \cdot 5^{13} \cdot 10^{-12}} \quad \text{işleminin sonucu nedir?} \]

\[ \text{A)} -1  \quad \text{B) } -\frac{3}{5}   \quad \text{C) } \frac{3}{5}  \quad \text{D) } -\frac{3}{10}  \quad \text{E)}  \frac{3}{10}  \]

Çözüm: 

\[ \frac{(-27)^3 \cdot (81)^{-2}}{2^{13} \cdot 5^{13} \cdot 10^{-12}} = \frac{- (3^3)^3 \cdot (3^4)^{-2}}{(2 \cdot 5)^{13} \cdot 10^{-12}} \] \[ = \frac{- 3^9 \cdot 3^{-8}}{10^{13} \cdot 10^{-12}} \] \[ = \frac{- 3^{9-8}}{10^{13 + (-12)}} = \frac{- 3}{10} = -\frac{3}{10}  \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: D} \)

Soru 8

\[ \frac{3^{1+x} + 5 \cdot  3^x }{3^{2+x}- 3^x}   \quad \text{işleminin sonucu nedir?} \]

\[ \text{A)} -2  \quad \text{B) } -1   \quad \text{C) }1  \quad \text{D) } 2 \quad \text{E)}  3  \]

Çözüm: 

\[ \frac{3^{1+x} + 5 \cdot 3^x}{3^{2+x} – 3^x} = \frac{3^1 \cdot 3^x + 5 \cdot 3^x}{3^2 \cdot 3^x – 3^x} \] \[ = \frac{3^x (3 + 5)}{3^x (9 – 1)} = \frac{8}{8} = 1 \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: C} \)

6)  İki üslü ifadenin bölümünde:  Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır, üsler aynı ise tabanlar bölünür

$$ \Large{ \frac{a^n}{a^m}      = a^{n-m}}$$

$$ \Large{ \frac{a^n}{b^n}      = \left(\frac{a}{b} \right)^n    }$$

Örnekler: 

$$ \Rightarrow \frac{(49)^5}{7^3}  =   \frac{(7^2)^5}{7^3} = \frac{7^{10}}{7^3}  =7^{10-3}=7^7 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$

$$ \Rightarrow \frac{(10)^6}{(25)^3}  = \frac{10^6}{(5^2)^3} = \frac{10^6}{5^6} =\left(\frac{10}{5} \right)^6= 2^6=64  \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$

Soru 9

\[ \frac{4^{x+5}}{2^{2x}} \cdot \frac{(25)^y}{5^{2y – 10}} \quad \text{işleminin sonucu kaçtır?} \]

\[ \text{A)} 10^7  \quad \text{B) } 10^8   \quad \text{C) }10^9  \quad \text{D) } 10^{10} \quad \text{E)}  10^{11}  \]

Çözüm: 

\[ \frac{4^{x+5}}{2^{2x}} \cdot \frac{25^y}{5^{2y – 10}} = \frac{4^{x+5}}{4^x} \cdot \frac{5^{2y}}{5^{2y-10}} \] \[ = 4^{(x+5) – x} \cdot 5^{2y – (2y – 10)} \] \[ = 4^5 \cdot 5^{10} \] \[ = (2^2)^5 \cdot 5^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} \] \[ = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10} \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: D} \)

Soru 10

\[ \frac{6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7}{2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6} \quad \text{işleminin sonucu kaçtır?} \]

\[ \text{A) } 3^7 \quad \text{B) } 3^8 \quad \text{C) } 3^9 \quad \text{D) } 3^{10} \quad \text{E) } 3^{11} \]

Çözüm: 

\[ \frac{6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7 + 6^7}{2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6} = \frac{6 \cdot 6^7}{4 \cdot 2^6} \] \[ = \frac{6^8}{2^2 \cdot 2^6} \] \[ = \frac{6^8}{2^8} = \left( \frac{6}{2} \right)^8 \] \[ = 3^8 \quad \text{dir.} \]

Soru 11

\(2^{x-2} = 3  \) ise \(4^{x-1}  \)  kaçtır?

\[ \text{A) } 12 \quad \text{B) } 18 \quad \text{C) } 24 \quad \text{D) } 32 \quad \text{E) } 36 \]

Çözüm: 

\[ 2^{x-2} = 3 \Rightarrow \frac{2^x}{2^2} = 3 \Rightarrow 2^x = 12 \quad \text{olur.} \]  \[ 4^{x-1} = \frac{4^x}{4} = \frac{(2^2)^x}{4} = \frac{(2^x)^2}{4} \] \[ = \frac{(12)^2}{4} = 36 \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: E} \)

7) Üslü Denklemler:

a) Üslü ifadelerin eşitliğinde, tabanlar aynı ise üsler de bir birine eşit olmalıdır. \( a \neq 0, \; a\neq -1 \) ve \(a \neq 1  \) 

$$ \Large{ a^n = a^m \; \; \; ise  \; \; \;  n= m}$$

Soru 12

\(2^{x+2}+ 2^x+2^{x-2} =84  \)  ise x kaçtır?

\[ \text{A) } 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E) } 5 \]

Çözüm: 

\[ 2^{x+2} + 2^x + 2^{x-2} = 84 \]

\[ \Rightarrow 2^{x-2} \left( 2^4 + 2^2 + 1 \right) = 84 \]

\[ \Rightarrow 2^{x-2} = \frac{84}{21} = 4 \Rightarrow 2^{x-2} = 2^2 \] \[ \Rightarrow x-2 = 2 \Rightarrow x = 4 \quad \text{tür.} \]

\(\textbf{Cevab: D} \)

b) Üslü ifadelerin eşitliğinde, üsler aynı ve tek sayı ise tabanlar da birbirine eşit olmalıdır. \( n \in Z\) olamak üzere,

$$ \Large{ a^{2n-1} = b^{2n-1} \; \; \; ise  \; \; \;  a= b}$$

Soru 13

\( (x+1)^{14} = (x^2+5)^7 \)  ise x kaçtır?

\[ \text{A) } 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E) } 5 \]

Çözüm: 

\[ (x+1)^{14} = (x^2 + 5)^7 \Rightarrow ((x+1)^2)^7 = (x^2 + 5)^7 \]

\[ \Rightarrow (x+1)^2 = x^2 + 5 \] \[ \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = x^2 + 5 \]

\[ \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: B} \)

c) Üslü ifadeleri eşitliğinde, üsler aynı ve çift sayı ise tabanlar mutlak değerce birbirine eşit olmalıdır. \( n \in Z \;\; ve \;\; n\neq 0  \) olmak üzere 

\[ \Large { a^{2n} = b^{2n} \quad \text{ise} \quad |a| = |b|} \]

Soru 14

\( (x^2-8)^4 = x^8 \)  ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

\[ \text{A) } -2 \quad \text{B) } -1 \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } 1 \quad \text{E) } 2 \]

Çözüm: 

\[ (x^2 – 8)^4 = x^8 \Rightarrow (x^2 – 8)^4 = (x^2)^4 \] \[ \Rightarrow |x^2 – 8| = |x^2| \quad \text{dir. Buradan,} \] \[ x^2 – 8 = x^2 \Rightarrow -8 \neq 0 \] \[ \text{olduğundan bu eşitliği sağlayan x değeri yoktur. Veya} \] \[ x^2 – 8 = -x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \] \[ \Rightarrow x^2 = 4 \] \[ \Rightarrow x = -2 \quad \text{veya} \quad x = 2 \quad \text{dir.} \]

Buna göre x in alabileceği değerler toplamı -2 + 2 = 0 dır.

\(\textbf{Cevab: C} \)

d) Üslü ifadeler de  

\[ \Large { \begin{array}{l} a^n = 1 \text{ ise,} \\ a \neq 0 \text{ ve } n = 0 \quad \text{veya} \\ a = 1 \text{ ve } n \in \mathbb{R} \quad \text{veya} \\ a = -1 \text{ ve } n \text{ çift sayı ise sonuç 1 olur} \end{array} } \]

Soru 15

\[ (x-5)^{x-2} = 1 \text{ ise, } x \text{ in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?} \]

\[ \text{A) } 12 \quad \text{B) } 10 \quad \text{C) } 8 \quad \text{D) } 6 \quad \text{E) } 4 \]

Çözüm: 

\[ a = x-5 \neq 0 \quad \text{ve} \quad n = x-2 = 0 \] \[ \Rightarrow x \neq 5 \quad \text{ve} \quad x = 2 \] \[ a = x-5 = 1 \Rightarrow x = 6 \quad \text{veya} \] \[ a = x-5 = -1 \quad \text{ve} \quad n = x-2 \text{ çift sayı olmalı} \] \[ \Rightarrow x = 4 \quad \text{ve} \quad n = 4 – 2 = 2 \text{ (çift sayı olduğuna göre)} \] \[ \text{Buna göre } x \text{ in alabileceği değerlerin toplamı, } 2 + 6 + 4 = 12 \quad \text{dir.} \]

\(\textbf{Cevab: A} \)

Soru 16

x ve y tam sayı olmak üzere,

\[ (3)^{x+y -1} = 2^{x-y+5} \;\; \text{ise}  \]

ise \( \large{\frac{x-y}{x+y} }   \)  oranı kaça eşittir?

\[ \text{A) } -\frac{1}{5}  \quad \text{B) } -5 \quad \text{C) } \frac{1}{5}  \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 25 \]

Çözüm: 

 

 

a bir rakam olmak üzere,

$$\Large a\underbrace{0000\cdots0}_{n\; \text{tane} } = a \cdot  10^n  $$

$$\Large 0,\underbrace{0000\cdots0a}_{n\; \text{tane} } = a \cdot  10^{-n}  $$