Özdeşlikler
1. İki Kare Farkı:
\[
a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad x^2 – y^4 = x^2 – (y^2)^2 = (x – y^2)(x + y^2) \)
\( \bullet \quad x – y^2 = (\sqrt{x})^2 – y^2 = (\sqrt{x} – y)(\sqrt{x} + y) \)
\( \bullet \quad x^{2a} – 1 = (x^a)^2 – 1^2 = (x^a – 1)(x^a + 1) \)
\( \bullet \quad 4^x – 4^{-x} = (2^2)^x – (2^2)^{-x} = (2^x)^2 – (2^{-x})^2 \)
\[
= (2^x – 2^{-x}) (2^x + 2^{-x}) \quad \text{dir.}
\]
2. İki Küp Farkı:
\[ a^3 – b^3 = (a – b) (a^2 + ab + b^2) \]
Örnekler:
\( \bullet \quad 8^x – (27)^x = (2^3)^x – (3^3)^x = (2^x)^3 – (3^x)^3 \)
\[
= (2^x – 3^x)(2^{2x} + 2^x \cdot 3^x + 3^{2x})
\]
\[
= (2^x – 3^x)(4^x + 6^x + 9^x)
\]
\( \bullet \quad x^6 – y^6 = (x^2)^3 – (y^2)^3 \)
\[
= (x^2 – y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)
\]
\[
= (x – y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \quad \text{tür.}
\]
3. İki Küp Toplamı:
\[
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 – ab + b^2)
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \)
\( \bullet \quad 8x^3 + 125 = (2x)^3 + 5^3 \)
\[
= (2x + 5)(4x^2 – 10x + 25) \quad \text{dir.}\]
4. \( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere:
\[ a^n – b^n = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1}) \]
Örnekler:
\( \bullet \quad 16 – x^4 = 2^4 – x^4 = (2 – x)(2^3 + 2^2x + 2x^2 + x^3) \)
\[
= (2 – x)(8 + 4x + 2x^2 + x^3)
\]
\( \bullet \quad x^7 – 1 = (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \quad \text{dir.} \)
5. \( n \in \mathbb{Z}^+ \) ve \( n \) tek sayı olmak üzere,
Dördüncü özdeşlikte \( b \) yerine \( -b \) yazılırsa,
\[
a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 – \dots + b^{n-1})
\]
elde edilir.
Örnek:
\[
32 + x^5 = 2^5 + x^5 = (2 + x) (2^4 – 2^3 x + 2^2 x^2 – 2x^3 + x^4)
\]
\[
\Rightarrow (2 + x) (16 – 8x + 4x^2 – 2x^3 + x^4) \quad \text{tür.}
\]
6. İki Terimin Toplamının Karesi
\[
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\[
= x^2 + \frac{1}{x^2} + 2
\]
\( \bullet \quad(\sqrt{x} + x)^2 = (\sqrt{x})^2 + x^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot x \)
\[
= x + x^2 + 2x\sqrt{x}
\]
7. İki Terimin Farkının Karesi:
\[
(a – b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad (2^x – 3^x)^2 = (2^x)^2 + (3^x)^2 – 2 \cdot 2^x \cdot 3^x \)
\[
= 4^x + 9^x – 2 \cdot 6^x
\]
\( \bullet \quad \left( \sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 = (\sqrt{x})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 – 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \)
\[
= x + \frac{1}{x} – 2
\]
Uyarı:
Tam kare olduğu tahmin edilen üç terimli bir ifadenin tam kare olup olmadığı şu şekilde araştırılabilir.
\[
\begin{array}{c l l l c}
& a^2 &\pm & 2ab & + & b^2 & = &(a \pm b)^2 \\
& \downarrow &\downarrow& & \swarrow & & \\
( & a &\pm & \phantom{a} \phantom{a} & b )^2 & \\
&\searrow && \swarrow & \\
&&2ab
\end{array}
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad 9x^2 – 30x + 25 = (3x – 5)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
9x^2& – \;\; 30x & + 25\\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(3x & -& 5)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\\
\end{array}\]
\( \bullet \quad x^2 + x + \frac{1}{4} = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
x^2 & + x& +\frac{1}{4} \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(x & + &\frac{1}{2} )^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x\\
\end{array}
\]
\( \bullet \quad 4^x – 2^{x+2} + 4 = (2^x)^2 – 4 \cdot 2^x + 4 = (2^x – 2)^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
4^x & – 2^{x+2} &+ 4 \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(2^x & -& 2)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot 2^x \cdot 2 = 4 \cdot 2x\\
\end{array}
\]
\( \bullet \quad a + 6 \sqrt{ a} + 9 = ( \sqrt{ a} + 3 )^2 \)
\[
\begin{array}{c c }
a &+ 6 \sqrt{ a}& + 9 \\
\downarrow &\quad \quad& \downarrow\\
(\sqrt{a } & +& 3)^2\\
\searrow &\quad \quad & \swarrow &\\
&2 \cdot \sqrt{a } \cdot 3 = 6 \cdot \sqrt{a } \\
\end{array}
\]
8. Üç Terimin Toplamının Karesi:
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + ac + bc)
\]
Uyarı:
Eşitliğin sağındaki parantez içine, karesi alınan ifadenin terimlerinin ikişerli çarpımları gelmektedir.
Örnekler:
\( \bullet (a – b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ac – ab – bc) \)
\( \bullet \left( x + 2 \;-\; \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 4 + \frac{1}{x^2} + 2 (2x\; – \;x \cdot \frac{1}{x} \;- \;2 \cdot \frac{1}{x}) \)
\[
= x^2 + 4 + \frac{1}{x^2} + 2 (2x\; – \;1 \;- \;\frac{2}{x})
\]
9. İki Terimin Toplamının Küpü:
\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
\]
Örnekler:
\( \bullet \quad (2 + a)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot a^2 + a^3 \)
\[
= 8 + 12a + 6a^2 + a^3
\]
\( \bullet \quad 8^a + 3 \cdot 4^a + 3 \cdot 2^a + 1 = (2^a)^3 + 3(2^a)^2 + 3(2^a) + 1 \)
\[
= (2^a + 1)^3
\]
\( \bullet \quad x\sqrt{x} + 3x\sqrt{y} + 3\sqrt{x}y + y\sqrt{y} \)
\[
= (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2 \sqrt{y} + 3\sqrt{x} (\sqrt{y})^2 + (\sqrt{y})^3
\]
\[
= (\sqrt{x} + \sqrt{y})^3 \quad \text{tür.}
\]
10. İki Terimin Farkının Küpü:
\[
(a – b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b^3 \]
Örnekler:
\( \bullet (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \)
\( \bullet 8^a – 3 \cdot (12)^a + 3 \cdot (18)^a – (27)^a \)
\[
= (2^3)^a – 3 \cdot 4^a \cdot 3^a + 3 \cdot 2^a \cdot 9^a – (3^3)^a
\]
\[
= (2^a)^3 – 3(2^a)^2 \cdot 3^a + 3(2^a) (3^a)^2 – (3^a)^3
\]
\[
= (2^a – 3^a)^3 \quad \text{tür.}
\]
Uyarı:
\((a + b)^n\) ifadesinin açılımında, katsayılar, aşağıdaki üçgen yardımıyla bulunur.
\[
\begin{array}{c}
n = 0 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \\
n = 1 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 1 \\
n = 2 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\
n = 3 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
n = 4 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
n = 5 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
n = 6 \quad \quad \quad \quad \quad 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1\\
\cdots
\end{array}
\]
\( (a + b)^n \) ifadesinin açılımında, terimler (katsayıları yukarıdaki üçgenden yazılmak üzere) sırasıyla,
\[
a^n, a^{n-1}b, a^{n-2}b^2, a^{n-3}b^3, \dots, ab^{n-1}, b^n
\]
dir.
\((a – b)^n\) ifadesinin açılımında, \( b \) çarpanının üssünün tek sayı olduğu terimlerin işareti eksi (-) dir.
11. İki Terimin Dördüncü Kuvveti:
\[
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
\]
Örnek:
\[
(2 + x)^4 = 2^4 + 4 \cdot 2^3 \cdot x + 6 \cdot 2^2 \cdot x^2 + 4 \cdot 2 \cdot x^3 + x^4
\]
\[
= 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4 \quad \text{tür.}
\]
12. On birinci özdeşlikte \( b \) yerine \( -b \) yazılırsa,
\[
(a – b)^4 = a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4
\]
elde edilir.
13. İki Terimin Beşinci Kuvveti:
\[
(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
\]
tür.
14. On üçüncü özdeşlikte \( b \) yerine \( -b \) yazılırsa,
\[
(a – b)^5 = a^5 – 5a^4b + 10a^3b^2 – 10a^2b^3 + 5ab^4 – b^5
\]
elde edilir.
SORU 6
\[
1 – a^2 – 2ax – x^2
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A)} 1-a-x \quad
\text{B) } 1-a \quad
\text{C) } x-a \quad
\text{D) } 1-a+x \quad
\text{E) } x+a
\]
Çözüm:
\[
1 – a^2 – 2ax – x^2 = 1 – (a^2 + 2ax + x^2)
\]
\[
= 1^2 – (a + x)^2
\]
\[
= (1 – (a + x))(1 + a + x)
\]
\[
= (1 – a – x)(1 + a + x)
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 7
\[
(a – b + c)^2 – (a + b – c)^2
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } a \quad
\text{B) } b \quad
\text{C) } c \quad
\text{D) } a-b \quad
\text{E } b+c
\]
Çözüm:
\[
(a – b + c)^2 – (a + b – c)^2
\]
\[
= (a – b + c – (a + b – c))(a – b + c + a + b – c)
\]
\[
= (a – b + c – a – b + c) (2a)
\]
\[
= (2c – 2b) \cdot 2a = 4a(c – b)
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 8
\[
x^5 – 9x^3 + 8x^2 – 72
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } x-1 \quad
\text{B) } x+1 \quad
\text{C) } x-2 \quad
\text{D) } x+2 \quad
\text{E } x-4
\]
Çözüm:
\[
x^5 – 9x^3 + 8x^2 – 72 = x^3(x^2 – 9) + 8(x^2 – 9)
\]
\[
= (x^2 – 9) (x^3 + 8)
\]
\[
= (x – 3)(x + 3)(x + 2)(x^2 – 2x + 4) \quad \text{tür.}
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 9
\[
a^3 + 3a^2 + 3a + 2
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } a \quad
\text{B) } a+1 \quad
\text{C) } a+2 \quad
\text{D) } a^2+1 \quad
\text{E } a^2+2
\]
Çözüm:
\[
a^3 + 3a^2 + 3a + 2 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 1
\]
\[
= (a + 1)^3 + 1^3
\]
\[
= (a + 1 + 1)((a + 1)^2 – (a + 1) + 1)
\]
\[
= (a + 2)(a^2 + a + 1) \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 10
\[
x^3 + x^2y – xy^2 – y^3 + (x + y)^2
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } x+y+1 \quad
\text{B) } x-y \quad
\text{C) } x-y+1 \quad
\text{D) } x \quad
\text{E } y
\]
Çözüm:
\[
x^3 + x^2y – xy^2 – y^3 + (x + y)^2
\]
\[
= x^3 – y^3 + xy (x – y) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y)(x^2 + xy + y^2) + xy (x – y) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y) (x^2 + xy + y^2 + xy) + (x + y)^2
\]
\[
= (x – y) (x + y)^2 + (x + y)^2
\]
\[
= (x + y)^2 (x – y + 1) \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 11
\[
x – \frac{1}{x} = 2
\]
ise
\[
x^3 – \frac{1}{x^3}
\]
ifadesinin değeri kaçtır?
\[
\text{A) } 10 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 14 \quad
\text{D) } 16 \quad
\text{E } 18
\]
Çözüm:
\[
x \;- \; \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \left( x\; – \;\frac{1}{x} \right)^3 = 2^3
\]
\[
\Rightarrow x^3\; – \;3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^2} \;-\; \frac{1}{x^3} = 8
\]
\[
\Rightarrow x^3 \;-\; \frac{1}{x^3} \;- \;3\left(x \;-\; \frac{1}{x} \right) = 8
\]
\[
\Rightarrow x^3\; – \;\frac{1}{x^3}\; -\; 3 \cdot 2 = 8
\]
\[
\Rightarrow x^3\; – \;\frac{1}{x^3} = 14 \quad \text{tür.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
Soru 12
\[
\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 4
\]
ise
\[
\sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}}
\]
ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
\[
\text{A) } \sqrt{ 2} \quad
\text{B) } 2\sqrt{ 2} \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E } 4\sqrt{ 2}
\]
Çözüm:
\[
A = \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} \Rightarrow A^2 = x + \frac{4}{x} – 4
\]
ve
\[
\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 4 \Rightarrow \left( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \right)^2 = 4^2
\]
\[
\Rightarrow x + \frac{4}{x} + 4 = 16 \Rightarrow x + \frac{4}{x} = 12
\]
Bu değeri
\[
A^2 = x + \frac{4}{x} – 4
\]
ifadesinde yerine yazarsak,
\[
A^2 = 12 – 4 = 8
\]
\[
\Rightarrow A = \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} = \pm 2\sqrt{2}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 13
\[
a + b + c = 6, \quad a^2 + b^2 + c^2 = 14
\]
ve
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 33
\]
ise,
\[
a \cdot b \cdot c
\]
çarpımı kaçtır?
\[
\text{A) } \frac{1}{3} \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } \frac{1}{2} \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E } 4\sqrt{ 2}
\]
Çözüm:
\[
a + b + c = 6
\]
\[
\Rightarrow (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]
\[
\Rightarrow 36 = 14 + 2(ab + ac + bc)
\]
\[
\Rightarrow ab + ac + bc = 11
\]
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 33 \Rightarrow \frac{bc + ac + ab}{abc} = 33
\]
\[ \frac{11}{abc} = 33 \Rightarrow abc= \frac{1}{3} \]
\(\textbf{Cevab: A} \)
SORU 14
\( \quad \quad\quad\quad \sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b} = 1 \) ve \(\quad\quad\quad a – b = 37 \) ise, \( \quad\quad a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
\[
\text{A) } 2^9 \quad
\text{B) } 3^9 \quad
\text{C) } 10^3 \quad
\text{D) } (11)^3 \quad
\text{E } (12)^3
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[3]{a} \;- \;\sqrt[3]{b} = 1 \Rightarrow (\sqrt[3]{a} \;- \;\sqrt[3]{b})^3 = 1^3
\]
\[
\Rightarrow a \;- \;3\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{b} + 3\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b^2}\; -\; b = 1
\]
\[
\Rightarrow a \;-\; b \;- \;3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}\; -\; \sqrt[3]{b}) = 1
\]
\[
\Rightarrow 37\; – \;3\; \sqrt[3]{ab} \cdot (1) = 1
\]
\[
\Rightarrow 3\sqrt[3]{ab} = 36
\]
\[
\Rightarrow \sqrt[3]{ab} = 12 \Rightarrow ab = (12)^3 \quad \text{tür.}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 15
\[
A = 2x^2 + y^2 – 2xy + 4x + 7
\]
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E } 5
\]
Çözüm:
\[
A = 2x^2 + y^2 – 2xy + 4x + 7
\]
\[
= x^2 + y^2 – 2xy + x^2 + 4x +4+ 3
\]
\[
= (x – y)^2 + (x + 2)^2 + 3 \quad \text{tür.}
\]
Burada \( (x – y)^2 \geq 0 \) ve \( (x + 2)^2 \geq 0 \) olduğuna göre \( A \) nın alabileceği en küçük değer,
\[
\underbrace{(x – y)^2}_{0} + \underbrace{ (x + 2)^2}_{0} + 3 = 3 \quad \text{tür.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 16
\[
x (x – 1) = a – 1 \quad \text{ve} \quad x + 1 = b
\]
ise, \( x^3 \) ün \( a \) ve \( b \) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } ab \quad
\text{B) } ab-1 \quad
\text{C) } ab+1 \quad
\text{D) } a+b-1 \quad
\text{E } a+b+1
\]
Çözüm:
\[
x (x – 1) = a – 1 \Rightarrow x^2 – x + 1 = a
\]
\[
x + 1 = b
\]
\[
(x + 1)(x^2 – x + 1) = ab
\]
\[
\begin{aligned}
x^2-x +1 = a \\
x+ 1= b\\
\times \phantom{aaaaaaaaaaaaaa} \\
\hline \\
(x+1 )(x^2-x+1) = ab
\end{aligned}
\]
\[\Rightarrow x^3+1 = ab \Rightarrow x^3= ab-1 \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 17
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad A = 2^{10} + 3^{10} + 2^6 \cdot 3^5 \) ise \( \sqrt{A} \) kaçtır?
\[
\text{A) } 271 \quad
\text{B) } 272 \quad
\text{C) } 273 \quad
\text{D) } 274 \quad
\text{E } 275
\]
Çözüm:
\[
A = 2^{10} + 3^{10} + 2^6 \cdot 3^5 = (2^5)^2 + (3^5)^2 + 2 \cdot 2^5 \cdot 3^5
\]
\[
\Rightarrow A = (2^5 + 3^5)^2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{A} = 2^5 + 3^5 = 275
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 18
\( x^2 + x – 1 = 0 \) ise \( x^5 \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[
\text{A) } 5x-3 \quad
\text{B) } 5x+3 \quad
\text{C) } 3x-5 \quad
\text{D) } 3x+5 \quad
\text{E } x
\]
Çözüm:
\[
x^2 + x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 – x
\]
\[
\Rightarrow x^5 = x (x^2)^2
\]
\[
= x (1 – x)^2
\]
\[
= x (1 – 2x + x^2)
\]
\[
= x (1 – 2x + 1-x)
\]
\[= x \cdot (2- 3x) \]
\[= 2x – 3x^2 \]
\[= 2x – 3 (1-x) = 5x -3 \]
\(\textbf{Cevab: A} \)