Terim Ekleme – Çıkarma
Verilen yöntemlerle çarpanlara ayrılamayan ifadelere, uygun terimler eklenip çıkarılarak, ifade bilinen özdeşliklere benzetilir.
Örnek:
\(x^4 + x^2y^2 + y^4\) ifadesini çarpanlara ayıralım. Bu ifadeye \(x^2y^2 \) eklenip çıkarılırsa,
\[
x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 – x^2y^2
\]
\[
= (x^2 + y^2)^2 – (xy)^2
\]
\[
= (x^2 + y^2 – xy)(x^2 + y^2 + xy)
\]
elde edilir.
SORU 19
\( x^4 + x^2 + 1 \) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } x+1 \quad
\text{B) } x-1 \quad
\text{C) } x^2+1 \quad
\text{D) } x^2+x+1 \quad
\text{E) } x^2-x-1
\]
Çözüm:
Verilen ifadeyi tam kare yapabilmek için \(x^2\) eklenip çıkarılırsa,
\[
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 – x^2
\]
\[
= (x^2+1)^2 – x^2
\]
\[
= (x^2+1-x)(x^2+1+x)
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 20
\(a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3 \) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } a-b-3 \quad
\text{B) } a+b+2 \quad
\text{C) } a-b+2 \quad
\text{D) } a+b+1 \quad
\text{E) } a-b-1
\]
Çözüm:
Verilen ifadeye \(1 \) sayısı eklenip çıkarılırsa,
\[
a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3 = a^2 – b^2 + 2a – 4b – 3 + 1 – 1
\]
\[
= a^2 + 2a + 1 – (b^2 + 4b + 4)
\]
\[
= (a+1)^2 – (b+2)^2
\]
\[
= (a+1-(b+2))(a+1+b+2)
\]
\[
= (a-b-1)(a+b+3)
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
Sadeleştirme
\( B(x) \neq 0 \) olmak üzere \(\frac{A(x)}{B(x)}\) şeklindeki rasyonel ifadeler Rasyonel ifadelerde, pay ve payda çarpanlara ayrılır. Daha sonra pay ve paydanın ortak olan çarpanları sadeleştirilir.
SORU 21
\[
\frac{2x^3 + 16}{(x^2 – 4)(x^2 – 2x + 4)}
\]
ifadesinin en sade şekli nedir?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } \frac{2}{x-2} \quad
\text{C) } \frac{2}{x+2} \quad
\text{D) } \frac{1}{x} \quad
\text{E) } x
\]
Çözüm:
\[
\frac{2x^3 + 16}{(x^2 – 4)(x^2 – 2x + 4)}
= \frac{2(x^3 + 2^3)}{(x-2)(x+2)(x^2 – 2x + 4)}
\]
\[
= \frac{2(x+2)(x^2 – 2x + 4)}{(x-2)(x+2)(x^2 – 2x + 4)}
\]
\[
= \frac{2}{x-2} \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 22
\[
\left( \frac{1}{x-1} + x^2 + x + 1 \right) : \frac{x^2}{x-1}
\]
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli nedir?
\[
\text{A) } x^2 \quad
\text{B) } \frac{1}{x-1} \quad
\text{C) } x-1\quad
\text{D) } \frac{1}{x} \quad
\text{E) } x
\]
Çözüm:
\[
\left( \frac{1}{x-1} + x^2 + x + 1 \right) \div \frac{x^2}{x-1}
\]
\[
= 1 + \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2}
\]
\[
= \frac{1 + x^3 – 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} = x \quad \text{tir.}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 23
\[
\frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{1-x}
\]
işleminin sonucu nedir?
\[
\text{A) } 2x+3 \quad
\text{B) } 2x-3 \quad
\text{C) } x-3\quad
\text{D) } x+3 \quad
\text{E) } x+1
\]
Çözüm:
\[
\frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{1-x} = \frac{2x^2}{x-1} + \frac{5x-3}{-(x-1)}
\]
\[
= \frac{2x^2}{x-1} – \frac{5x-3}{x-1}
\]
\[
= \frac{2x^2 – 5x + 3}{x-1}
\]
\[
= \frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}
\]
\[
= 2x – 3
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 24
\[
\frac{b^2 x^2 – 4}{b} \cdot \frac{ax-1}{abx^2 + (2a – b)x -2} + \frac{2}{b}
\]
işleminin sonucu nedir?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } x\quad
\text{D) } -x \quad
\text{E) } b
\]
Çözüm:
\[
\frac{b^2 x^2 – 4}{b} \cdot \frac{ax – 1}{abx^2 + (2a – b)x – 2} + \frac{2}{b}
\]
\[
= \frac{(bx – 2)(bx + 2)}{b} \cdot \frac{ax – 1}{(ax – 1)(bx + 2)} + \frac{2}{b}
\]
\[
= \frac{bx – 2}{b} + \frac{2}{b} = \frac{bx – 2 + 2}{b}
\]
\[
= \frac{bx}{b} = x \quad \text{tir.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 25
\[
\frac{x – \frac{1}{x}}{x+1} : \frac{x – \frac{1}{x^2}}{x^2 + x + 1}
\]
işleminin sonucu nedir?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } x \quad
\text{C) } x^2\quad
\text{D) } x^3 \quad
\text{E) } x^4
\]
Çözüm:
\[
\frac{x – \frac{1}{x}}{x+1} : \frac{x – \frac{1}{x^2}}{x^2 + x + 1}
\]
\[
= \frac{x^2 – 1}{x(x+1)} : \frac{x^3 – 1}{x^2(x^2 + x + 1)}
\]
\[
= \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} \cdot \frac{x^2 (x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}
\]
\[
= \frac{x^2}{x} = x \quad \text{tir.}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 26
\[
\frac{x \sqrt{y} – y \sqrt{x}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{1 – xy}{\sqrt{xy} – 1}
\]
işleminin sonucu nedir?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1-x\quad
\text{D) } x-1 \quad
\text{E) } y
\]
Çözüm:
\[
\frac{x \sqrt{y} – y \sqrt{x}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{1 – xy}{\sqrt{xy} – 1}
\]
\[
= \frac{\sqrt{xy} (\sqrt{x} – \sqrt{y})}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} + \frac{(1 – \sqrt{xy})(1 + \sqrt{xy})}{-(1 – \sqrt{xy})}
\]
\[
= \sqrt{xy} – (1 + \sqrt{xy}) = -1
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 27
\[
\frac{4^x + 2^{x+y+1} + 4^y}{4^x – 4^y} = \frac{3}{2}
\]
ise \(2^{x-y}\) nin değeri kaçtır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
\frac{4^x + 2^{x+y+1} + 4^y}{4^x – 4^y} = \frac{3}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^y + (2^y)^2}{(2^x)^2 – (2^y)^2} = \frac{3}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{(2^x + 2^y)^2}{(2^x – 2^y)(2^x + 2^y)} = \frac{3}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{2^x + 2^y}{2^x – 2^y} = \frac{3}{2}
\]
\[
\Rightarrow 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^y = 3 \cdot 2^x – 3 \cdot 2^y
\]
\[
\Rightarrow 5 \cdot 2^y = 2^x
\]
\[
\Rightarrow 5 = \frac{2^x}{2^y} \Rightarrow 2^{x-y} = 5
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
\(Ax^2 + Bx + C \) Üç Terimlisini Tam Kareye Tamamlama
1) A = 1 ise
Üç terimliğe, \( \left(\frac{B}{2}\right)^2 \) eklenip çıkarılarak tam kare elde edilir.
\[
x^2 + Bx + C = x^2 + Bx + C + \left(\frac{B}{2}\right)^2 – \left(\frac{B}{2}\right)^2
\]
\[
= \left(x + \frac{B}{2} \right)^2 + C \;-\; \frac{B^2}{4} \quad \text{tür.}
\]
Örnek:
\( x^2 + x + 1 \) üç terimlisini tam kare yapalım.
\( B = 1 \) olduğundan verilen üç terimliye \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) eklenip çıkarılırsa,
\[
x^2 + x + 1 = x^2 + x + 1 + \frac{1}{4} – \frac{1}{4}
\]
\[
= \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 1 – \frac{1}{4}
\]
\[
= \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \quad \text{tür.}
\]
1) A ≠ 1 ise
\[
Ax^2 + Bx + C = A \left(x^2 + \frac{B}{A} x + \frac{C}{A} \right)
\]
şeklinde üç terimli \( A \) parantezine alınarak, parantez içerisi tam kare yapılır.
Örnek:
\( 2x^2 – 3x + 4 \) üç terimlisini tam kare yapalım.
\[
2x^2 – 3x + 4 = 2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + 2\right)
\]
\( B = -\frac{3}{2} \) olduğundan \( \left(-\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{16} \) parantez içerisine eklenip çıkarılırsa,
\[
2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + 2 \right) = 2 \left(x^2 – \frac{3}{2} x + 2 + \frac{9}{16} – \frac{9}{16} \right)
\]
\[
= 2 \left(\left(x – \frac{3}{4}\right)^2 + 2 – \frac{9}{16} \right)
\]
\[
= 2 \left(x – \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{8} \quad \text{dir.}
\]