İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
a, b, c sayılarından en az biri sıfırdan farklı ve \( a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\[
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
\]
şeklindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli en az iki denklemin meydana getirdiği sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Bu denklem sistemini sağlayan \( (x, y) \) reel sayı ikililerinin kümesine de denklem sisteminin çözüm kümesi adı verilir.
Bu tür denklem sistemlerini çözerken, verilen denklemlerden faydalanılarak bir bilinmeyenli denklem elde edilerek çözüme gidilir.
Örnek:
\[
x^2 + xy + y^2 = 21
\]
\[
x + y = 3\sqrt{3}
\]
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
\[ x + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y = 3\sqrt{3} – x \] olur.
Birinci denklemde yerine yazılırsa,
\[
x^2 + xy + y^2 = 21
\]
\[
\Rightarrow x^2 + x (3\sqrt{3} – x) + (3\sqrt{3} – x)^2 = 21
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 3\sqrt{3}x + 6 = 0
\]
\[
\Rightarrow (x – \sqrt{3}) (x – 2\sqrt{3}) = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \sqrt{3} \quad \text{veya} \quad x_2 = 2\sqrt{3}
\]
Bu değerleri ikinci denklemde yerine yazalım.
\( x + y = 3\sqrt{3} \) denkleminde \( x_1 = \sqrt{3} \) için
\[
\sqrt{3} + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y_1 = 2\sqrt{3}
\]
\( x_2 = 2\sqrt{3} \) için
\[
2\sqrt{3} + y = 3\sqrt{3} \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}
\]
\[
Ç = \{ (\sqrt{3}, 2\sqrt{3}), (2\sqrt{3}, \sqrt{3}) \}
\]
Örnek:
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
x^2 + y^2 = 5
\]
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. İkinci denklemin her iki yanını -2 ile çarpalım.
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
+ (-2x^2 – 2y^2 = -10)
\]
\[
x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{veya} \quad x_2 = 2
\]
Bu değerleri ikinci denklemde yerine yazarsak,
\[
x^2 + y^2 = 5 \text{ de } x_1 = -2 \text{ için } 4 + y^2 = 5
\]
\[
\Rightarrow y_1 = -1 \quad \text{veya} \quad y_2 = 1
\]
\[
x_2 = 2 \text{ için } 4 + y^2 = 5
\]
\[
\Rightarrow y_3 = -1 \quad \text{veya} \quad y_4 = 1
\]
\[
Ç = \{ (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1) \}
\]
Örnek:
\[
3x^2 + 2y^2 = 14
\]
\[
x^2 + y^2 = 5
\]
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
İkinci denklemin her iki yanını -2 ile çarpalım.
\[\begin{aligned}
3x^2 + 2y^2 = 14 \\
+ \quad \quad -2x^2 – 2y^2 = -10 \\
\hline \\
x^2 = 4 \\
\Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{veya} \quad x_2 = 2
\end{aligned}
\]
Bu değerleri ikinci denklemde yerine yazarsak,
\[
x^2 + y^2 = 5 \;\; \text{ de } \quad x_1 = -2 \quad \text{ için } \quad 4 + y^2 = 5
\]
\[
\Rightarrow y_1 = -1 \quad \text{veya} \quad y_2 = 1
\]
\[
x_2 = 2 \quad \text{ için } \quad 4 + y^2 = 5
\]
\[
\Rightarrow y_3 = -1 \quad \text{veya} \quad y_4 = 1
\]
\[
Ç = \{ (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1) \}
\]
Örnek:
\[
|x + 2y| = 1
\]
\[
x + y = 2
\]
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
\[
x + y = 2 \Rightarrow x = 2 – y \quad \text{olduğuna göre }
\]
\[
|x + 2y| = 1 \Rightarrow |2 – y + 2y| = 1
\]
\[
\Rightarrow |2 + y|^2 = 1^2
\]
\[
\Rightarrow 4 + 4y + y^2 = 1
\]
\[
\Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0
\]
\[
\Rightarrow y = -3 \quad \text{veya} \quad y = -1
\]
Bu değerleri ikinci denklemde yerine yazalım.
\( x + y = 2 \) denkleminde,
\( y = -3 \) için
\[
x – 3 = 2 \Rightarrow x = 5
\]
\( y = -1 \) için
\[
x – 1 = 2 \Rightarrow x = 3
\]
\[
Ç = \{ (5, -3), (3, -1) \} \quad \text{olarak bulunur. }
\]