Kökler ile Katsayılar Arasındaki Bağıntılar

 

Kökler ile Katsayılar Arasındaki Bağıntılar

 

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

denkleminin kökleri

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{ve} \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}
\]

olmak üzere,

 

Köklerin Kareleri Toplamı:

 

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
\]

 

Köklerin Toplammı:

 

\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
\]

 

Köklerin Farkının Mutlak Değeri:

 

\[
|x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}
\]

Bu temel bağıntılar kullanılarak, çarpanlara ayırmadaki özdeşlikler yardımıyla aşağıdaki bağıntılar elde edilebilir.

 

Köklerin Çarpmaza Göre Tersinin Toplamı:

 

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}
\]

olduğundan,

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-b}{c}
\]

 

Köklerin Kareleri Toplamı:

 

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2 \quad  \text{olduğundan}
\]

\[
x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 – 2ac}{a^2}
\]

 

Köklerin Küpleri Toplamı:

 

\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3x_1 x_2 \cdot (x_1 + x_2)
\]

olduğundan,

\[
x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc – b^3}{a^3}
\]

 

 

Örnek:

\[
2x^2 + 6x + 3 = 0
\]

denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) olsun.

\( \bullet \quad  x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-6}{2} = -3 \)

\( \bullet \quad  x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \)

\( \bullet \quad |x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{12}}{|2|} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) olur.

 

Örnek:

\[ x^2 + x – 3 = 0 \] denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) dir.    \( x_1^6 + x_2^6 \) toplamının değerini bulalım.

 

\[
x_1^6 + x_2^6 = (x_1^3 + x_2^3)^2 – 2 (x_1 \cdot x_2)^3
\]

\[
= \left( \frac{3abc – b^3}{a^3} \right)^2 – 2 \left( \frac{c}{a} \right)^3
\]

\[
= \left( \frac{-9 – 1}{1} \right)^2 – 2 \cdot \left( \frac{-3}{1} \right)^3
\]

\[
= 154
\]

 

SORU 23

\[
-x^2 + 3x – 1 = 0
\]

denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) dir.   \( x_1 > x_2 \) ise,

\[
x_1^3 \cdot x_2 – x_1 \cdot x_2^3
\]

ifadesinin değeri nedir?

\[
\text{A) } \sqrt{ 5}    \quad
\text{B) } 2\sqrt{ 5}  \quad
\text{C) } 3\sqrt{ 5}  \quad
\text{D) } 4\sqrt{ 5}  \quad
\text{E) } 5\sqrt{ 5}
\]

 

Çözüm:

\[
x_1^3 \cdot x_2 – x_1 \cdot x_2^3 = x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 – x_2) \cdot (x_1 + x_2)
\]

\[
= \frac{c}{a} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right)
\]

\[
= 1 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 = 3\sqrt{5}
\]

\(\textbf{Cevab: C} \)

 

SORU 24

\[
mx^2 – 3mx + 1 = 0
\]

denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) dir.  \( 3x_1 – x_2 = 5 \) ise \( m \) kaçtır?

\[
\text{A) } \frac{1}{2}    \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } \frac{3}{2}  \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Çözüm:

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3m)}{m} = 3
\]

ve

\[
3x_1 – x_2 = 5
\]

denklemleri ortak çözülürse \( x_1 = 2 \) bulunur. Bu kökü denklemde yerine yazalım.

\[
m x^2 – 3m x + 1 = 0 \Rightarrow m \cdot 2^2 – 3m \cdot 2 + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow m = \frac{1}{2}
\]

\(\textbf{Cevab: A} \)

 

SORU 25

\[
x^2 + mx + 2 = 0
\]

denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) dir.  \( x_1 < x_2 \) ve

\[
x_1 + \frac{x_1}{x_2} = 1
\]

ise \( m \) nin pozitif değeri kaçtır?

\[
\text{A) } 2 \sqrt{3  }    \quad
\text{B) }  \sqrt{3  }  \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1
\]

 

Çözüm:

\[
x_1 + \frac{x_1}{x_2} = 1 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 + x_1 = x_2
\]

\[
\Rightarrow 2 + x_1 = x_2
\]

\[
\Rightarrow x_2 – x_1 = 2
\]

\[ \Rightarrow \sqrt{m^2 \;-\;8} = 2   \]

\[ m_1=-2 \sqrt{3} \quad  \text{ve } \quad m_2= 2 \sqrt{3}   \]

 

SORU 26

\( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,

\[
x^2 – (3a – b)x + a + b = 0
\]

denkleminin kökleri \( a, b \) olduğuna göre, \( a^2 + b^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?

\[
\text{A) } 4   \quad
\text{B) }  5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Çözüm:

Köklerin çarpımı:

\[
a \cdot b = a + b
\]

ve köklerin toplamı:

\[
a + b = 3a – b
\]

\[
\Rightarrow a = b
\]

olduğuna göre,

\[
a \cdot b = a + b \Rightarrow a^2 = 2a
\]

\[
\Rightarrow a = 2 \quad \text{ve} \quad b = 2
\]

\[
\Rightarrow a^2 + b^2 = 8
\]

\(\textbf{Cevab: E} \)

 

SORU 27

\[
mx^2 – x + 2m + 1 = 0
\]

denkleminin köklerinin çarpımı köklerin toplamından kaç fazladır?

\[
\text{A) } 1   \quad
\text{B) }  2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Çözüm:

Verilen denklemin kökleri \( x_1, x_2 \) olsun.

\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{2m + 1}{m} = 2 + \frac{1}{m}
\]

ve

\[
x_1 + x_2 = \frac{1}{m}
\]

\[
x_1 \cdot x_2 – (x_1 + x_2) = 2 + \frac{1}{m}\; -\; \frac{1}{m} = 2
\]

\(\textbf{Cevab: B} \)

 

SORU 28

\[
x^2 – 6x + 1 = 0
\]

denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) dir.

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
\]

ifadesinin değeri kaçtır?

\[
\text{A) } 1   \quad
\text{B) }  2 \quad
\text{C) } \sqrt{2  }  \quad
\text{D) } 2\sqrt{2  }  \quad
\text{E) } 3\sqrt{2  }
\]

 

Çözüm:

\[
t = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
\]

olsun.

\[
t^2 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 x_2} \Rightarrow t^2 = 6 + 2\sqrt{1}
\]

\[
\Rightarrow t^2 = 8
\]

\[
\Rightarrow t = 2\sqrt{2} \quad \text{veya} \quad t = -2\sqrt{2}
\]

\[
t = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} > 0
\]

olduğundan,

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2\sqrt{2}
\]

\(\textbf{Cevab: D} \)

 

SORU 29

\[
x^2 – mx + n = 0
\]

denkleminin bir kökü,

\[
x^2 + nx + m = 0
\]

denkleminin bir kökünün 3 katıdır. Bu denklemlerin diğer kökleri birbirine eşit olduğuna göre,

\[
x^2 + nx + m = 0
\]

denkleminin kökleri oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\[
\text{A) } 1   \quad
\text{B) }  -\frac{1}{2}  \quad
\text{C) } \frac{1}{2}  \quad
\text{D) } -\frac{2}{5} \quad
\text{E) } \frac{2}{5}
\]

 

Çözüm:

\[
x^2 + nx + m = 0
\]

denkleminin kökleri \( a, b \) olsun.

\[
x^2 – mx + n = 0
\]

denkleminin kökleri \( 3a, b \) olur. Buna göre her iki denklemin köklerinin çarpımı ve köklerinin toplamı bulunursa,

\[
a \cdot b = m
\]

\[
3a \cdot b = n
\]

\[
\Rightarrow n = 3m
\]

\[
a + b = -{n} = -3m
\]

\[ 3a+b=m \]

Bu iki denklemden

\[ a= 2m \quad  \text{ve } \quad  b=-5m \]

\[
\Rightarrow a = 2m \quad \text{ve} \quad b = -5m
\]

olduğuna göre,

\[
\frac{a}{b} = \frac{2m}{-5m} = -\frac{2}{5}
\]

\(\textbf{Cevab: D} \)

 

SORU 30

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

denkleminin kökleri,

\[
x^2 – (m + 2)x + 2m = 0
\]

denkleminin köklerinin iki katı ise,

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

\[
\text{A) } 16   \quad
\text{B) }  18  \quad
\text{C) } 20  \quad
\text{D) } 22 \quad
\text{E) } 24
\]

 

Çözüm:

\[
x^2 – (m + 2)x + 2m = 0
\]

denkleminin kökleri \( a, b \) olsun.

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

denkleminin kökleri \( 2a, 2b \) olur.

\[
a + b = m + 2
\]

\[
2a + 2b = 3m + 1
\]

\[
\Rightarrow 2(m + 2) = 3m + 1
\]

\[
\Rightarrow m = 3
\]

bulunur.

\[
x^2 – (3m + 1)x + 7m + 3 = 0
\]

denkleminde yerine yazılırsa,

\[
x^2 – 10x + 24 = 0
\]

olur. Bu denklemin köklerinin çarpımı:

\[
24 \;\; \text{tür}
\]

\(\textbf{Cevab: E} \)