Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Bulma
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
ikinci dereceden denkleminin kökleri \( x_1, x_2 \) olsun. Bu denklem,
\[
(x – x_1) (x – x_2) = 0
\]
şeklinde yazılıp düzenlenirse,
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
elde edilir.
Uyarı:
Sıfırdan farklı \( a \) reel sayısı için,
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
denklemi ile
\[
a[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2] = 0
\]
denklemi denktir. Yani çözüm kümeleri aynıdır.
Örnek:
\[
x^2 – 2x – 5 = 0
\]
denklemi ile
\[
4x^2 – 8x – 20 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesi aynıdır.
Örnek:
Çözüm kümesi \( \{2 + \sqrt{2}, \quad 2 – \sqrt{2} \} \) olan ikinci dereceden denklemi bulalım.
\[
x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 – \sqrt{2}
\]
olduğundan,
\[
x_1 + x_2 = 2 + \sqrt{2} + 2 – \sqrt{2} = 4
\]
\[
x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{2}) (2 – \sqrt{2}) = 2
\]
O halde,
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 4x + 2 = 0
\]
Örnek:
Bir dikdörtgenin alanı 23 birim kare, çevre uzunluğu ise 20 birimdir. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulalım.
Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( x_1 \) ve \( x_2 \) olsun.
\[
x_1 \cdot x_2 = 23, \quad 2(x_1 + x_2) = 20 \Rightarrow x_1 + x_2 = 10
\]
O halde,
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 10x + 23 = 0
\]
Bu denklem çözülürse,
\[
x_1 = 5 + \sqrt{2} \quad \text{birim} \quad \text{ve} \quad x_2 = 5 – \sqrt{2} \quad \text{birimdir.}
\]
SORU 31
Kökleri arasında,
\[
3x_1 + 2x_2 + x_1 x_2 = 2 – x_2
\]
ve
\[
x_1 + x_2 = 3 + 2x_1 x_2
\]
bağıntıları olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } x^2-x-1 =0 \quad
\text{B) } x^2+x-1 =0 \quad
\]
\[
\text{C) } x^2-2x+1 =0 \quad
\text{D) } x^2-2x-2=0 \quad
\text{E) } x^2+2x-2=0
\]
Çözüm:
\[
3x_1 + 2x_2 + x_1 x_2 = 2 – x_2 \Rightarrow 3(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 2
\]
\[
x_1 + x_2 = 3 + 2x_1 x_2 \Rightarrow x_1 + x_2 – 2x_1 x_2 = 3
\]
Sistemi ortak çözülürse,
\[
x_1 + x_2 = 1 \quad \text{ve} \quad x_1 x_2 = -1
\]
olur.
\[
x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0
\]
dan,
\[
x^2 – x – 1 = 0
\]
bulunur.
\(\textbf{Cevab: A} \)
SORU 32
\( x^2 – 6x + 2 = 0 \) Kökleri \( x_1 – \frac{1}{x_2} \) ve \( x_2 – \frac{1}{x_1} \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
\[ \text{A) } x^2-3x+11 =0 \quad \quad \text{B) } x^2-6x+1 =0 \]
\[ \text{C) } 2x^2-6x+1 =0 \quad \quad \text{D) } 2x^2+6x+1=0 \]
\[ \text{E) } 2x^2+6x-1=0 \]
Çözüm:
Sorulan denklemin kökleri \( a \), \( b \) olsun. \[ a = x_1 – \frac{1}{x_2}, \quad b = x_2 – \frac{1}{x_1} \]
olduğundan, \[ a + b = x_1 – \frac{1}{x_2} + x_2 – \frac{1}{x_1} \]
\[
= x_1 + x_2 – \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 6 – \frac{6}{2} = 3
\]
\( a \cdot b = \left( x_1 – \frac{1}{x_2} \right) \left( x_2 – \frac{1}{x_1} \right) \)
\[
= x_1 x_2 – 1 – 1 + \frac{1}{x_1 x_2}
\]
\[
= 2 – 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
Denklem,
\[ x^2 – (a + b)x + ab = 0 \]
\[
x^2 – 3x + \frac{1}{2} = 0
\]
\[
\Rightarrow 2x^2 – 6x + 1 = 0
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 33
Kökleri, \( x^2 + 2x – 5 = 0 \) denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersleri olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
\[ \text{A) } x^2+5x-1 =0 \quad \quad \text{B) } x^2-5x+1 =0 \]
\[ \text{C) } 5x^2+3x-1 =0 \quad \quad \text{D) } 5x^2-2x-1=0 \]
\[ \text{E) } 5x^2+2x-1=0 \]
Çözüm:
\( x^2 + 2x – 5 = 0 \) denkleminin bir kökü \( x_1 \) ve sorulan denklemin bir kökü de \( a \) olsun. O halde,
\[
a = \frac{1}{x_1} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{a}
\]
Bu kök denklemde yerine yazılırsa,
\[
x^2 + 2x – 5 = 0 \Rightarrow \left( \frac{1}{a} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{a} \right) – 5 = 0
\]
\[
\Rightarrow 1 + 2a – 5a^2 = 0
\]
\[
\Rightarrow 5a^2 – 2a – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow 5x^2 – 2x – 1 = 0
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)