Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri

Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri

 

1. Dönüşüm Formülleri:

 

\[   \left. \begin{array}{l} a + b = x \\ a \ – \ b = y \end{array} \right\} \Rightarrow a = \frac{x+y}{2} \ \text{ ve}  \ b = \frac{x-y}{2}\] olmak üzere,

\[ \begin{array}{r@{\ }l} \cos(a + b) & = \cos a \cos b \ – \ \sin a \sin b \\ \pm \ \cos(a – b) & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \hline \cos(a + b) & + \cos(a – b) = 2 \cos a \cos b \end{array} \]

\[ 1) \ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \] dir.

\[ \cos(a + b) – \cos(a – b) = -2 \sin a \sin b \]

\[ 2) \ \cos x – \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \] dir.

\[ \begin{array}{r@{\ }l} \sin(a + b) & = \sin a \cos b + \sin b \cos a \\ \pm \ \sin(a – b) & = \sin a \cos b – \sin b \cos a \\ \hline \sin(a + b) & + \sin(a – b) = 2 \sin a \cos b \end{array} \]

\[ 3) \ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \] dir.

\[ \sin(a + b) – \sin(a – b) = 2 \sin b \cos a \]

\[ 4) \ \sin x – \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \] dir.

\[\tan x + \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y } \]

\[ = \frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \ \cos y} \]

\[ 5) \ \tan x + \tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \ \cos y} \] dir.

Beş numaralı formülde y yerine \(-y\) yazalım.

\[ 6) \ \tan x \ –  \tan y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \  \cos y} \] dir.

\[\cot x + \cot y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y}\]

\[ = \frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y} {\sin x \ \sin y} \]

\[ 7) \ \cot x + \cot y = \frac{\sin (x + y)} {\sin x \ \sin y} \] dir.

Yedi numaralı formülde y yerine \(-y\) yazalım.

\[ 8) \ \cot x \ – \ \cot y = \frac{-\sin (x – y)}{\sin x  \ \sin y} \] dir.

 

Örnek:

 

\(\cos 72^\circ – \cos 36^\circ\) işleminin sonucunu hesaplayarak, bu sonuçtan faydalanarak \(\sin 18^\circ\) yi bulalım.

\[ = \cos 72^\circ – \cos 36^\circ\]

\[ = -2 \sin \frac{72^\circ + 36^\circ}{2} \cdot \sin \frac{72^\circ – 36^\circ}{2} \]

\[ = -2 \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ \]

\[ = \frac{-2 \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} \]

\[ = -\frac{\cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ}{\cos 18^\circ} \]

\[ = -\frac{\frac{1}{2} \sin 72^\circ}{\sin 72^\circ} = -\frac{1}{2} \] bulunur.

Şimdi de \(\sin 18^\circ\) yi bulalım.

\[ \cos 72^\circ – \cos 36^\circ = -\frac{1}{2} \]

\[ \Rightarrow \sin 18^\circ – \cos 36^\circ = -\frac{1}{2} \]

\[ \Rightarrow \sin 18^\circ \ – \ (1 \ -\ 2 \sin^2 18^\circ) = -\frac{1}{2} \]

\[ \Rightarrow 4 \sin^2 18^\circ + 2 \sin 18^\circ – 1 = 0 \]

\(  \sin 18^\circ = t \) denilirse

\[ \Rightarrow 4t^2 + 2t -1 = 0 \]

\[ \Rightarrow t =\sin 18^\circ    = \frac{-1 + \sqrt{ 5} }{4}  \] olarak bulunur.

 

Örnek:

 

Bir \(ABC\) üçgeninde \[\frac{b+c}{b-c}\] ifadesinin eşitini bulalım.  \(ABC\) üçgeninde sinüs teoremi yazılırsa,

\[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

\[\begin{array}{l} b = 2R \sin B \\ c = 2R \sin C \end{array} \]

olur. O halde,

\[ \frac{b + c}{b – c} = \frac{2R \sin B + 2R \sin C}{2R \sin B \ – \ 2R \sin C} \]

\[ = \frac{\sin B + \sin C}{\sin B \ -\ \sin C} \]

\[ = \frac{2 \sin \frac{B + C}{2} \cdot \cos \frac{B –  C}{2}}{2 \sin \frac{B – C}{2} \cdot \cos \frac{B + C}{2}} \]

\[ = \tan \frac{B + C}{2} \cdot \cot \frac{B  –  C}{2} \]

\[ = \frac{\tan \frac{B + C}{2}}{\tan \frac{B – C}{2}} \]

tanjant teoremi olarak bulunur.

 

Soru 35

 

\(\cos 80^\circ + \cos 20^\circ + \sqrt{3} \cos 130^\circ\) işleminin sonucu nedir?

\[ A) -\cos 10^\circ \quad B) -\sin 10^\circ \quad C) \cos 10^\circ \quad D) \sin 10^\circ \quad E) 0 \]

 

Çözüm:

 

\[ \cos 80^\circ + \cos 20^\circ + \sqrt{3} \cos 130^\circ \]

\[ = 2 \cos \frac{80^\circ + 20^\circ}{2} \cdot \cos \frac{80^\circ – 20^\circ}{2} \ – \  \sqrt{3} \cos 50^\circ \]

\[ = 2 \cos 50^\circ \cdot \cos 30^\circ \ –  \ \sqrt{3} \cos 50^\circ \]

\[ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 50^\circ \ – \ \sqrt{3} \cos 50^\circ = 0 \text{ dır.} \]

\( \text{Cevap : E} \)

 

Soru 36

 

\(10x = \pi\) olduğuna göre,

\[ \frac{\cos 7x + \cos 5x}{\cos 5x + \cos 3x} \] ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ 1 \quad B) \ -1 \quad C) \ 2 \quad D) \ -2 \quad E) \ \frac{1}{2} \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\cos 7x + \cos 5x}{\cos 5x + \cos 3x} = \frac{2 \cos \frac{7x+5x}{2} \cdot \cos \frac{7x-5x}{2}}{2 \cos \frac{5x+3x}{2} \cdot \cos \frac{5x-3x}{2}} \]

\[ = \frac{\cos 6x \cdot \cos x}{\cos 4x \cdot \cos x} \]

\[10x = \pi \Rightarrow 6x + 4x = \pi\]
\(\Rightarrow 6x = \pi – 4x\) olduğundan,

\[ = \frac{\cos 6x}{\cos 4x} = \frac{\cos (\pi – 4x)}{\cos 4x} = \frac{-\cos 4x}{\cos 4x} = -1 \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : B} \)

 

Soru 37

 

\[ \frac{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ}{\cos 75^\circ – \cos 15^\circ} \] işleminin sonucu nedir?

\[ A) \ -\sqrt{3} \quad B) \ \sqrt{3} \quad C) \ -\frac{1}{2} \quad D) \ \frac{1}{2} \quad E) \ -2 \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ}{\cos 75^\circ – \cos 15^\circ} \]

\[ = \frac{2 \cos \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \cos \frac{75^\circ – 15^\circ}{2}}{-2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \sin \frac{75^\circ – 15^\circ}{2}} \]

\[= -\frac{\cos45^\circ \cdot \cos30^\circ  }{\sin45^\circ \cdot \sin30^\circ  }      \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

 

Soru 38

 

\(20x = \pi\) olduğuna göre,

\[ \frac{\cos 4x \ – \ \cos 8x}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \] ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ \frac{1}{2} \quad B) \ -1 \quad C) \ 1 \quad D) \ -2 \quad E) \ 2 \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\cos 4x – \cos 8x}{\cos 4x \cdot \cos 8x} = \frac{-2 \sin \frac{4x + 8x}{2} \cdot \sin \frac{4x – 8x}{2}}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \]

\[ = \frac{-2 \sin 6x \cdot \sin (-2x)}{\cos 4x \cdot \cos 8x} \]

\(20x = \pi \Rightarrow 10x = \frac{\pi}{2}\) olduğundan,

\[ = \frac{-2 \sin 6x \cdot (-\sin 2x)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} \ – \ 6x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} \ – \ 2x \right)} \]

\[ = \frac{2 \sin 6x \cdot \sin 2x}{\sin 6x \cdot \sin 2x} = 2 \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

Soru 39

 

\[ \frac{\sin (a + b  \,- \, c) + \sin (a \, – \, b + c)}{\cos (a + b\, – \,c) + \cos (a \,- \,b + c)} \]

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \ 1 \quad B) \ \tan (b – c) \quad C) \ \cot (b – c) \quad D) \ \tan a \quad E) \ \cot a \]

 

Çözüm:

 

\[           \left. \begin{array}{l} a + b \,-\, c = x \\ a \,-\, b + c = y \end{array} \right   \} \Rightarrow \frac{x+y}{2} = a   \] ve

\[   \Rightarrow \frac{x-y}{2} = b \;- c\]  olur.

\[ \frac{\sin (a + b \;- c) + \sin (a \;- b + c)}{\cos (a + b \;- c) + \cos (a \;- b + c)} \]

\[ = \frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x\;-y}{2}}{2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x\;-y}{2}} \]

\[ = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a \quad   \text{ dır.} \]

\( \textbf{Cevap : D} \)

 

Soru 40

 

\[ \sin 50^\circ \; – \; \frac{\cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} \] işleminin sonucu nedir?

\[ A) \ 3 \quad B) \ 2 \quad C) \ \frac{1}{2} \quad D) \ -2 \quad E) \ -\frac{1}{2} \]

 

Çözüm:

 

\[ \sin 50^\circ – \frac{\cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{\sin^2 50^\circ – \cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} \]

\[ = \frac{\cos^2 40^\circ – \cos^2 10^\circ}{\sin 50^\circ} \]

\[ = \frac{(\cos 40^\circ – \cos 10^\circ)(\cos 40^\circ + \cos 10^\circ)}{\sin 50^\circ} \]

payda dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ = \frac{-2 \sin 25^\circ \cdot \sin 15^\circ \cdot 2 \cos 25^\circ \cdot \cos 15^\circ}{2 \sin 25^\circ \cdot \cos 25^\circ} \]

\[ = -2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

 

Soru 41

 

\[ \frac{1}{\sin 54^\circ} \; – \; \frac{1}{\cos 72^\circ} \] işleminin sonucu nedir?

\[  A) \ 0 \quad B) \ -1 \quad C) \ 1 \quad D) \ -2 \quad E) \ 2 \]

 

Çözüm:

 

Paydalar eşitlenirse;

\[ \frac{1}{\sin 54^\circ} \; – \frac{1}{\cos 72^\circ} = \frac{\cos 72^\circ – \sin 54^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ} \]

Tümleri açılar kullanılarak \(\cos 72^\circ = \sin 18^\circ\) ve \(\sin 54^\circ = \cos 36^\circ\) yazılabilir:

\[ = \frac{\sin 18^\circ – \sin 54^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]

Pay kısmında dönüşüm formülü uygulanırsa:

\[ = \frac{2 \cos \left( \frac{18^\circ + 54^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{18^\circ – 54^\circ}{2} \right)}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]

\[ = \frac{2 \cos 36^\circ \cdot \sin (-18^\circ)}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} \]

\(\sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ\) ve \(\cos 36^\circ = \sin 54^\circ\) olduğu için:

\[ = \frac{-2 \sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} = -2 \text{ bulunur.} \]

\( \textbf{Cevap : D} \)

 

Soru 42

 

\[ \frac{\sin 6^\circ + \sin 12^\circ + \sin 18^\circ}{1 + \cos 6^\circ + \cos 12^\circ} \] işleminin sonucu nedir?

\[ A) \ 2 \sin 6^\circ \quad B) \ -2 \sin 6^\circ \quad C) \ -1 \quad D) \ 1 \quad E) \ 2 \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\sin 6^\circ + \sin 12^\circ + \sin 18^\circ}{1 + \cos 6^\circ + \cos 12^\circ} \]

\[ = \frac{\sin 18^\circ + \sin 6^\circ + \sin 12^\circ}{1 + \cos 6^\circ + (-1 + 2 \cos^2 6^\circ)} \]

payda dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ = \frac{2 \sin 12^\circ \cdot \cos 6^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 6^\circ + 2 \cos^2 6^\circ} \]

\[ = \frac{\sin 12^\circ (2 \cos 6^\circ + 1)}{\cos 6^\circ (1 + 2 \cos 6^\circ)} \]

\[ = \frac{\sin 12^\circ}{\cos 6^\circ} = \frac{2 \sin 6^\circ \cdot \cos 6^\circ}{\cos 6^\circ} = 2 \sin 6^\circ \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : A} \)

 

Soru 43

 

\(A = \cos 9x + \cos 7x + \cos 3x + \cos x\) ise,

\[ \frac{A}{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x} \] ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ 1  \quad B) \ 2 \quad C) \ 3 \quad D) \ 4 \quad E) \ 5 \]

 

Çözüm:

 

Toplam ifadesinde dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ A = \underbrace{\cos 9x + \cos 7x} + \underbrace{\cos 3x + \cos x} \]

\[ = 2 \cos 8x \cdot \cos x + 2 \cos 2x \cdot \cos x \]

\[ = 2 \cos x \cdot (\underbrace{\cos 8x + \cos 2x}) \]

\[ = 2 \cos x \cdot 2 \cos 5x \cdot \cos 3x \text{ olur. O halde,} \]

\[ \frac{A}{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x}  = \frac{2 \cdot 2 \cos x \cdot \cos 5x \cdot \cos 3x}{\cos x \cdot \cos 3x \cdot \cos 5x} = 4  \] bulunur

\( \textbf{Cevap : D} \)

 

Soru 44

 

\[ \frac{\cos 12x + \cos 8x + \cos 4x}{\sin 12x + \sin 8x + \sin 4x} \] kesrinin sadeleştirilmiş şekli nedir?

\[ A) 1 \quad B) \tan 10x \quad C) \cot 10x \quad D) \tan 8x \quad E) \cot 8x \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\cos 12x + \cos 8x + \cos 4x}{\sin 12x + \sin 8x + \sin 4x} \]

\[ = \frac{\cos 12x + \cos 4x + \cos 8x}{\sin 12x + \sin 4x + \sin 8x} \]

pay ve paydada dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ = \frac{2 \cos 8x \cdot \cos 4x + \cos 8x}{2 \sin 8x \cdot \cos 4x + \sin 8x} \]

\[ = \frac{\cos 8x (2 \cos 4x + 1)}{\sin 8x (2 \cos 4x + 1)} = \cot 8x \text{ tir.} \]

\(\textbf{Cevap : E} \)

 

Uyarı:

 

\[ \frac{\cos A + \cos B + \cos C}{\sin A + \sin B + \sin C} \] ifadesinde

\[ B = \frac{A + C}{2} \] ise bu ifadenin eşiti \(\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B} = \cot B \) dir.

 

Soru 45

 

\[ \frac{\sin 50^\circ + \cos 55^\circ + \cos 70^\circ}{\cos 50^\circ + \sin 55^\circ + \sin 70^\circ} \] kesrinin sadeleştirilmiş şekli nedir?

\[ A) \cot 50^\circ \quad B) \cot 55^\circ \quad C) \tan 50^\circ \quad D) \tan 55^\circ \quad E) 1 \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\sin 50^\circ + \cos 55^\circ + \cos 70^\circ}{\cos 50^\circ + \sin 55^\circ + \sin 70^\circ} \]

\[ = \frac{\cos 40^\circ + \cos 55^\circ + \cos 70^\circ}{\sin 40^\circ + \sin 55^\circ + \sin 70^\circ} \]

\( 55^\circ = \displaystyle\frac{40^\circ + 70^\circ}{2} \) olduğundan,

\[ = \frac{\cos 55^\circ}{\sin 55^\circ} = \cot 55^\circ \text{ dir.} \]

\(\textbf{Cevap : B} \)

 

Soru 46

 

\( 14x = \pi \) olduğuna göre,

\[ \frac{\tan 7x + \tan 3x}{\tan 7x \; – \; \tan 3x} \] ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ 1 \quad B) \ -1 \quad C) -2 \quad D) \ 2 \quad E) \frac{1}{2} \]

 

Çözüm:

 

pay ve paydada dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ \frac{\tan 7x + \tan 3x}{\tan 7x \; – \; \tan 3x} = \frac{\displaystyle\frac{\sin (7x + 3x)}{\cos 7x \cdot \cos 3x}}{\displaystyle\frac{\sin (7x \; – \;  3x)}{\cos 7x \cdot \cos 3x}} \]

\[ = \frac{\sin 10x}{\sin 4x} = \frac{\sin (\pi \; – \;  4x)}{\sin 4x} = 1 \text{ dir.} \]

\(\textbf{Cevap : A} \)

 

Soru 47

 

\(16x = \pi\) olduğuna göre,

\(\tan 6x \; – \; \tan 2x\) ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \  \frac{1}{2} \quad B) -\frac{1}{2} \quad C) \ 2 \quad D) -2 \quad E) \ 4 \]

 

Çözüm:

 

Dönüşüm formülü uygulanırsa,

\[ \tan 6x \; – \;  \tan 2x = \frac{\sin (6x – 2x)}{\cos 6x \cdot \cos 2x} \]

\[ = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos 6x \cdot \cos 2x} \]

\[ = \frac{2 \sin 2x}{\cos 6x} \]

\(16x = \pi \Rightarrow 8x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) olduğundan,

\[ = \displaystyle\frac{2 \sin \left( \frac{\pi}{2} \; – \; 6x \right)}{\cos 6x} = \frac{2 \cos 6x}{\cos 6x} = 2 \text{ dir.} \]

\(\textbf{Cevap : C} \)

 

 

← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →