Basit Trigonometrik Denklemler
a) \( \cos x = a \) denkleminin çözümü:
\( a \in [-1, 1] \) olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha \) ise
\[ \cos x = \cos \alpha = \cos (-\alpha) \]
\[ x = \alpha + 2k\pi \] veya
\[x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in Z) \quad \text{dir.} \]
Örnek:
\( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[ \displaystyle 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \displaystyle \alpha = \frac{5\pi}{6} \) olduğundan
\( \Rightarrow \cos x = \cos \displaystyle \frac{5\pi}{6} = \cos (-\displaystyle \frac{5\pi}{6}) \)
\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) veya \( x = -\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) dir.
Burada,
\( k = -1 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) veya
\[ \displaystyle x = -\frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \]
\( k = 0 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{5\pi}{6} \)
\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) veya
\[ \displaystyle x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \]
şeklinde, çözüm kümesinin elemanlarından bazıları elde edilmiş olur.
Uyarı:
Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki çözümü isteniyorsa, bu denklemin k ya bağlı genel çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine …, -1, 0, 1, … tamsayıları yazılarak istenen aralıktaki kökler elde edilir.
SORU 54
\( 2 \cos^2 x + 3 \cos x – 2 = 0 \) denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki köklerinin toplamı nedir?
\[ A) \ \pi \quad B) \ 2\pi \quad C) \displaystyle \frac{5\pi}{2} \quad D) \ 3\pi \quad E) \displaystyle \frac{7\pi}{2} \]
Çözüm:
\( 2 \cos^2 x + 3 \cos x \ – \ 2 = 0 \) denkleminde
\( t = \cos x \) denilir se,
\[ \displaystyle 2t^2 + 3t \ – \ 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \text{ veya } t = -2 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \quad (\cos x \neq -2) \]
olur. O halde,
\( \cos x = \cos \displaystyle \frac{\pi}{3} = \cos (-\displaystyle \frac{\pi}{3}) \)
\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) dir.
\( k = 0 \) için \( x_1 = \displaystyle \frac{\pi}{3} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \)
\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \) veya
\[ \displaystyle x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \text{ olur.} \]
Burada k nın sıfırdan küçük tamsayı değerleri veya k nın 1 den büyük tamsayı değerleri için elde edilecek kökler \( (0, 2\pi) \) aralığının elemanı olmaz.
Buna göre \( \displaystyle x_1 + x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = 2\pi \) dir.
\( \textbf{Cevap : B} \)
SORU 55
\( \sqrt{6 – 3 \cos^2 x} + \sqrt{5} \cos x = \sqrt{15} \) denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki köklerinin farkının mutlak değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[ A) \ \pi \quad B) \ \displaystyle \frac{4\pi}{3} \quad C) \ \displaystyle \frac{5\pi}{3} \quad D) \ \displaystyle \frac{5\pi}{4} \quad E) \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \]
Çözüm:
\( \sqrt{6 \ – \ 3 \cos^2 x} + \sqrt{5} \cos x = \sqrt{15} \)
\( \Rightarrow (\sqrt{6 \ – \ 3 \cos^2 x})^2 = (\sqrt{15} \ – \ \sqrt{5} \cos x)^2 \)
\( \Rightarrow 6 \ – \ 3 \cos^2 x = 15 + 5 \cos^2 x \ – \ 2\sqrt{75} \cos x \)
\( \Rightarrow 8 \cos^2 x \ – \ 10\sqrt{3} \cos x + 9 = 0 \)
\( t = \cos x \) denilirse,
\( \Rightarrow 8t^2 \ – \ 10\sqrt{3} t + 9 = 0 \)
\( \Rightarrow (2t \ – \ \sqrt{3})(4t – 3\sqrt{3}) = 0 \)
\[ \displaystyle \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ veya } t = \frac{3\sqrt{3}}{4} > 1 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\cos x \neq \frac{3\sqrt{3}}{4}) \]
\( \cos x = \cos \displaystyle \frac{\pi}{6} = \cos (-\displaystyle \frac{\pi}{6}) \)
\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) dir.
\( k = 0 \) için \( x_1 = \displaystyle \frac{\pi}{6} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{6} \notin (0, 2\pi) \)
\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \notin (0, 2\pi) \)
veya \( x_2 = -\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \)
Buna göre, \( |x_1 \ – \ x_2| = | \displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ \frac{11\pi}{6} | = \frac{5\pi}{3} \) tür.
\( \textbf{Cevap : C} \)
b) \( \sin x = a \) denkleminin çözümü:
\( a \in [-1, 1] \) olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha \) ise,
\( \sin x = \sin \alpha = \sin (\pi \ – \ \alpha) \)
\( x = \alpha + 2k\pi \) veya
\( x = \pi – \alpha + 2k\pi \)
\( = -\alpha + (2k + 1)\pi \quad (k \in Z) \) dir.
Örnek:
\( 2 \sin 4x \ – \ 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[ \displaystyle 2 \sin 4x \ – \ 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = \frac{1}{2} \]
denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} \) olduğundan,
\( \displaystyle \Rightarrow \sin 4x = \sin \frac{\pi}{6} = \sin (\pi \ – \ \frac{\pi}{6}) \)
\( \displaystyle \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) veya
\( \displaystyle 4x = \pi \ – \ \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in Z) \text{ dir.} \)
O halde,
\[ \displaystyle Ç = \{ x \mid x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \text{ veya } x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, k \in Z \} \]
olarak bulunur.
SORU 56
\( \cos 4x + \sin 2x = 1 \) denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki en büyük kökü aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \displaystyle \frac{17\pi}{12} \quad D) \displaystyle \frac{23\pi}{12} \quad E) \displaystyle \frac{21\pi}{11} \]
Çözüm:
\( \cos 4x + \sin 2x = 1 \)
\( \Rightarrow 1 \ – \ 2 \sin^2 2x + \sin 2x = 1 \)
\( \Rightarrow \sin 2x \cdot (-2 \sin 2x + 1) = 0 \)
\[ \displaystyle \Rightarrow \sin 2x = 0 \] veya \[ -2 \sin 2x + 1 = 0 \Rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \]
O halde,
\( \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = \sin 0 = \sin \pi \)
\( 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \) veya
\( \displaystyle 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ olur.} \)
\( k = 0 \) için \( \displaystyle x = 0 \text{ veya } x = \frac{\pi}{2} \)
\( k = 1 \) için \( \displaystyle x = \pi \text{ veya } x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \text{ dir.} \)
\( \displaystyle \sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi}{6} = \sin (\pi – \frac{\pi}{6}) \)
\( \displaystyle 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi \)
veya
\( \displaystyle 2x = \pi \ – \ \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \) olur.
\( k = 0 \) için \( \displaystyle x = \frac{\pi}{12} \text{ veya } \frac{5\pi}{12} \)
\( k = 1 \) için \( \displaystyle x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \) veya \( \displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12} \)
olduğundan bu denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki en büyük kökü \( \displaystyle \frac{17\pi}{12} \) dir.
\( \textbf{Cevap : C} \)
SORU 57
\[ \displaystyle \frac{\cos x}{1 – \sin x} + \frac{\sin x}{1 – \cos x} = -1 \text{ denkleminin } [0, 2\pi) \text{ aralığındaki köklerinin toplamı nedir?} \]
\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \frac{7\pi}{4} \quad D) 2\pi \quad E) \frac{5\pi}{2} \]
Çözüm:
\[ \displaystyle \frac{\cos x}{1 \ – \ \sin x} + \frac{\sin x}{1 \ – \ \cos x} = -1 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow \frac{\cos x \ – \ \cos^2 x + \sin x – \sin^2 x}{1 \ – \ \cos x \ – \ \sin x + \sin x \cos x} = -1 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow \frac{\cos x + \sin x \ – \ (\cos^2 x + \sin^2 x)}{1 \ – \ \cos x – \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x} = -1 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow \cos x + \sin x \ – \ 1 = -1 + \cos x + \sin x \ – \ \frac{1}{2} \sin 2x \]
\[ \displaystyle \Rightarrow -\frac{1}{2} \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \]
O halde,
\( \sin 2x = \sin 0 = \sin \pi \)
\( 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \) veya
\( \displaystyle 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( k = 0 \) için \( \displaystyle x = 0 \quad \text{ veya } \quad x = \frac{\pi}{2} \)
\( k = 1 \) için \( \displaystyle x_1 = \pi \quad \text{ veya } \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)
\( x = 0 \) değeri \( \displaystyle \frac{\sin x}{1 \ – \ \cos x} \) kesrinin, \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) değeri \( \displaystyle \frac{\cos x}{1 – \sin x} \) kesrinin paydasını \( 0 \) yaptığından denklemi sağlamazlar. Buna göre,
\[ \displaystyle x_1 + x_2 = \pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \text{ dir.} \]
\( \textbf{Cevap : E} \)