cos x ve sin x e Göre Homojen Denklemler
Bütün terimlerinin dereceleri ayni olan denklemlere homojen denklemler denir.
a) Birinci dereceden homojen denklemler:
\( a, b \in R \) olmak üzere,
\( ax + by = 0 \) denklemi, birinci dereceden iki bilinmeyenli homojen denklemdir.
Burada x yerine \( \cos x \), y yerine \( \sin x \) yazılırsa,
\( a \cos x + b \sin x = 0 \) şeklinde birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler elde edilir.
Bu denklemler, lineer denklem gibi çözülebilir. Ayrıca eşitliğin her iki tarafı \( \cos x \) ile bölünürse,
\( a \cos x + b \sin x = 0 \)
\( \Rightarrow a + b \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \quad (\cos x \neq 0) \)
\( \Rightarrow a + b \tan x = 0 \)
\( \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{a}{b} \) elde edilerek çözüme gidilir.
Örnek:
\( 3 \sin 3x \ – \ \sqrt{3} \cos 3x = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Eşitliğin her iki tarafını \( \cos 3x \) ile bölelim.
\( 3 \sin 3x \ – \ \sqrt{3} \cos 3x = 0 \)
\( \Rightarrow 3 \displaystyle \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \ – \ \sqrt{3} = 0 \)
\( \Rightarrow \tan 3x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \Rightarrow \tan 3x = \tan \displaystyle \frac{\pi}{6} \)
\( \Rightarrow 3x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + k\pi \)
\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \) olur.
O halde,
\( Ç = \{ x \mid x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, \ k \in Z \} \) olarak bulunur.
b) İkinci dereceden homojen denklemler:
\( a, b, c \in R \) olmak üzere,
\( ax^2 + bxy + cy^2 = 0 \) denklemi ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir homojen denklemdir.
Burada x yerine \( \cos x \), y yerine \( \sin x \) yazılırsa,
\( a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \) şeklinde ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler elde edilir.
Bu tür denklemleri çözmek için eşitliğin her iki tarafı \( \cos^2 x \) ile bölünürse,
\( a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \)
\( \Rightarrow a + b \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} + c \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad (\cos x \neq 0) \)
\( \Rightarrow a + b \tan x + c \tan^2 x = 0 \) elde edilir.
Bu tür denklemlerin çözümünde bir başka yol olarak,
\( \cos^2 x = \displaystyle \frac{1 + \cos 2x}{2} \ , \ \cos x \cdot \sin x = \frac{\sin 2x}{2} \) ve \( \sin^2 x = \displaystyle \frac{1 – \cos 2x}{2} \) özdeşliklerini yerine yazarsak,
\( a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \)
\( \Rightarrow a \displaystyle \frac{1 + \cos 2x}{2} + b \frac{\sin 2x}{2} + c \frac{1 – \cos 2x}{2} = 0 \)
\( \Rightarrow a + a \cos 2x + b \sin 2x + c – c \cos 2x = 0 \)
\( \Rightarrow (a – c) \cos 2x + b \sin 2x + a + c = 0 \)
şeklinde bir homojen denklem elde edilir.
Örnek:
\( \sqrt{3} \sin^2 x \ – \ \sin 2x \ – \ \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Eşitliğin her iki tarafını \( \cos^2 x \) ile bölelim.
\( \sqrt{3} \sin^2 x \ – \ 2 \sin x \cdot \cos x \ – \ \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt{3} \displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \ – \ 2 \frac{\sin x}{\cos x} – \sqrt{3} = 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt{3} \tan^2 x \ – \ 2 \tan x \ – \ \sqrt{3} = 0 \)
\( \tan x = t \) denilirse,
\( \Rightarrow \sqrt{3} t^2 \ – \ 2t – \sqrt{3} = 0 \)
\( \Rightarrow (\sqrt{3} t + 1)(t \ – \ \sqrt{3}) = 0 \)
\( \Rightarrow t = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( t = \sqrt{3} \)
\( \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \tan x = \sqrt{3} \)
\( \Rightarrow \tan x = \tan \displaystyle \frac{5\pi}{6} \) veya \( \displaystyle \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \) olur.
O halde,
\( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k\pi \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in Z) \) dir.
\( Ç = \{ x \mid x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k\pi \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi, \ k \in Z \} \) bulunur.
Örnek:
\( 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\( 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2 \)
\( \Rightarrow 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \)
şeklinde yazarak lineer denklem haline getirelim.
\( \Rightarrow 2 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x – \cos^2 x = 0 \)
eşitliğin her iki tarafını \( \cos^2 x \) ile bölelim.
\( \Rightarrow 2 \tan^2 x \ – \ \tan x \ – \ 1 = 0 \)
\( \tan x = t \) denilirse,
\( \Rightarrow 2t^2 \ – \ t \ – \ 1 = 0 \)
\( \Rightarrow (2t + 1)(t \ – \ 1) = 0 \)
\( \Rightarrow t = -\displaystyle \frac{1}{2} \) veya \( t = 1 \)
\( \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{1}{2} \) veya \( \tan x = 1 \)
tanjantı \( -\displaystyle \frac{1}{2} \) olan açı \( \alpha \) olsun.
\( \Rightarrow \tan x = \tan \alpha \) veya \( \tan x = \tan \displaystyle \frac{\pi}{4} \) olur.
O halde,
\( x = \alpha + k\pi \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in Z) \)
\( Ç = \{ x \mid x = \alpha + k\pi \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in Z \} \)
bulunur.