Einfache Betragsungleichungen
\( 1. \quad |\; f(x) | \; \leq \; A \) Für eine Funktion \(f(x)\), wobei \( A \geq 0 \):
$$ -A \;\leq \;f(x) \; \leq \; A $$
\( 2. \quad |\; f(x) | \; \geq \; A \) Für eine Funktion \(f(x)\) gilt: \(f(x) \geq A \) oder \( f(x) \leq -A \).
Beispiele:
\( \bullet \quad \displaystyle {\left |\frac{2x \ – \ 1}{3} \right|} \leq 1 \)
\[\Rightarrow -1 \leq \frac{2x \ – \ 1}{3} \leq 1 \]
\[ \Rightarrow -3 \leq 2x \ – \ 1 \leq 3 \]
\[ \Rightarrow -3+1 \leq 2x \ – \ 1 \leq 3 +1 \]
\[ \Rightarrow -2 \leq 2x \leq 4 \]
\[ \Rightarrow -1 \leq x \leq 2 \]
\( \bullet \quad |3x\ – \ 1 | > 4 \)
\[\Rightarrow 3x \ – \ 1 > 4 \quad \text{oder} \quad 3x \ – \ 1 < -4 \]
\[\Rightarrow 3x > 4+1 \quad \text{oder} \quad 3x < -4+1 \]
\[\Rightarrow x > \frac{5}{3} \quad \text{oder} \quad x < -1 \quad\quad\quad\quad \]
Frage 1
Wie viele ganzzahlige Werte für x erfüllen die Ungleichung ?
\[ \frac{|2x \ – \ 2 |\;+ \; | 1 \ – \ x| }{1 \;+\; |x \ – \ 1|} <2 \]
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Da \( |1 \ – \ x | = |x \ – \ 1| \) ist, gilt:
\[ \frac{|2x \ – \ 2| + | 1 \ – \ x |}{1 \;+\; |x \ – \ 1|} < 2 \Rightarrow \frac{|2 (x \ – \ 1)| + | x \ – \ 1|}{1+ |x \ – \ 1|} < 2 \]
Da \( 1 + |x \ – \ 1 | > 0 \) ist:
\[ \Rightarrow \frac{ 3 | x \ – \ 1 |}{ 1 + |x \ – \ 1 |} < 2 \]
\[ \Rightarrow 3\; | x \ – \ 1 | < 2 \;(1+ | x \ – \ 1 | ) \]
\[ \Rightarrow |x \ – \ 1 | < 2 \]
\[ \Rightarrow -2 < x \ – \ 1 < 2 \]
\[ \Rightarrow -1 < x < 3 \]
Daraus ergeben sich für x die ganzzahligen Werte \( 0, 1, 2 \), also insgesamt 3 Werte.
\(\textbf{Antwort: C} \)
Frage 2
Wie viele ganzzahlige Werte für x erfüllen die Ungleichung ? \[ | \; |x| – \; x \; | + x \; < \; 3 \]
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Für \( x > 0 \) ist \( |x | = x \), daher gilt:
\[ | \; |x| – \; x \; | + x \; < \; 3 \Rightarrow | x – x | + x < 3\]
\[ \Rightarrow x < 3 \]
Da \( x > 0 \) ist, ergibt sich das Intervall \( 0 \leq x < 3 \).
Für \( x < 0 \) ist \( |x | = -x \), daher gilt:
\[ | \; |x| \ – \ \; x \; | + x \; < \; 3 \Rightarrow | -x \ – \ x | + x < 3\]
\[ \Rightarrow |-2x| + x < 3 \]
Da \( x < 0 \) ist, gilt \( -2x > 0 \), folglich ist \( |-2x| = -2x \):
\[ \Rightarrow -2x + x < 3 \]
\[ \Rightarrow -x < 3 \]
\[ \Rightarrow x > -3 \]
Da \( x < 0 \) ist, ergibt sich das Intervall \( -3 < x < 0 \).
Durch Zusammenfassen beider Fälle erhalten wir \( -3 < x < 3 \). Somit kann x die ganzzahligen Werte \( -2, -1, 0, 1, 2 \) annehmen, was insgesamt 5 Werten entspricht.
\(\textbf{Antwort: E} \)
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