Antiproportionale Zuordnungen
Zwei Größenwerte heißen antiproportional (oder umgekehrt proportional) zueinander, wenn sich ein Wert im gleichen Maße verringert wie der andere erhöht, oder umgekehrt.
Das Produkt zweier antiproportionaler Größenwerte ist stets konstant (Produktgleichheit). Wenn \(y\) antiproportional zu \(x\) ist, gilt:
\[ y \cdot x = k \quad \text{oder} \quad y= \frac{k}{ x } \]
\[ y \cdot x = k \Rightarrow 6 \cdot 1 = 3 \cdot 2\]
\[ k = 6\]
Beispiel:
Gegeben sei die Gleichung \( y = -x + 50 \):
Für \( x = 15 \) erhalten wir \( y = 35 \)
Für \( x = 30 \) erhalten wir \( y = 20 \)
Obwohl sich der Wert von x verdoppelt hat, halbiert sich der Wert von y nicht. Daher ist y nicht antiproportional zu x.
Hinweis:
Wenn \(y\) direkt proportional zu \(x\) und gleichzeitig antiproportional zu \(z\) ist, schreibt man diese zusammengesetzte Proportionalität wie folgt:
\[ y = \frac{k \cdot x }{z} \]
Frage 1
Ali verteilt Walnüsse an seine drei Geschwister. Die Verteilung erfolgt direkt proportional zu deren Alter mit den Verhältniswerten 2, 3 und 4 (vom jüngsten zum ältesten Geschwisterteil). Das mittlere Geschwisterkind erhält genau 90 Walnüsse weniger als die beiden anderen Geschwister zusammen.
Wie viele Walnüsse hat Ali insgesamt verteilt?
\[
\text{A)} 250 \quad
\text{B) } 260 \quad
\text{C) } 270 \quad
\text{D) } 280 \quad
\text{E) } 290
\]
Lösung:
Die Anzahl der Nüsse für die drei Geschwister lässt sich über den Faktor \(k\) als \( x = 2k \), \( y = 3k \) und \( z = 4k \) ansetzen. Da das mittlere Kind \( (y ) \) 90 Nüsse weniger als die Summe aus dem jüngsten (\(x\)) und dem ältesten (\(z\)) Kind bekommt, gilt:
\[ 3k = (2k + 4k) – 90 \Rightarrow 3k = 6k – 90 \Rightarrow 3k = 90 \Rightarrow k = 30 \]
Daraus ergibt sich die Gesamtzahl der verteilten Walnüsse zu:
\[ x + y + z = 2k + 3k + 4k = 9k = 9 \cdot 30 = 270 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Frage 2
Die Zahl 380 wird in drei Teile zerlegt. Der erste Teil verhält sich umgekehrt proportional zu 3, der zweite umgekehrt proportional zu 5 und der dritte direkt proportional zu 2. Wie groß ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten dieser drei Teilwerte?
\[
\text{A)} 230 \quad
\text{B) } 240 \quad
\text{C) } 250 \quad
\text{D) } 260 \quad
\text{E) } 270
\]
Lösung:
Es seien \(x, y\) und \(z\) die drei gesuchten Teile. Entsprechend den Bedingungen gilt:
\[ x = \frac{k}{3}, \quad y = \frac{k}{5}, \quad \text{und} \quad z = 2k \]
Die Summe der drei Teile ist gleich 380:
\[ x + y + z = 380 \Rightarrow \frac{k}{3} + \frac{k}{5} + 2k = 380 \]
Wir bringen die Brüche auf den Hauptnenner 15, um nach \(k\) aufzulösen:
\[ \frac{5k + 3k + 30k}{15} = 380 \Rightarrow \frac{38k}{15} = 380 \Rightarrow 38k = 5700 \Rightarrow k = 150 \]
Nun berechnen wir die konkreten Werte der einzelnen Teile:
\[ x = \frac{150}{3} = 50 \]
\[ y = \frac{150}{5} = 30 \quad \text{(kleinster Wert)} \]
\[ z = 2 \cdot 150 = 300 \quad \text{(größter Wert)} \]
Die gesuchte Differenz zwischen dem größten und kleinsten Teil beträgt:
\[ z – y = 300 – 30 = 270 \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Frage 3
Drei ineinandergreifende Zahnräder haben zusammen insgesamt 165 Zähne. Wenn das erste Rad 2 Umdrehungen macht, macht das zweite Rad 5 und das dritte Rad 8 Umdrehungen. Wie viele Zähne hat das zweite Zahnrad?
\[
\text{A)} 40 \quad
\text{B) } 45 \quad
\text{C) } 50 \quad
\text{D) } 55 \quad
\text{E) } 60
\]
Lösung:
Es seien \( x, y \) und \( z \) die Zähnezahlen des ersten, zweiten bzw. dritten Rades. Da die Anzahl der Zähne antiproportional zur Anzahl der Umdrehungen ist, setzen wir an:
\[ x = \frac{k}{2}, \quad y = \frac{k}{5}, \quad z = \frac{k}{8} \]
Zusammengerechnet ergibt das:
\[ x + y + z = 165 \Rightarrow \frac{k}{2} + \frac{k}{5} + \frac{k}{8} = 165 \]
Wir bringen die Brüche auf den Hauptnenner 40:
\[ \frac{20k + 8k + 5k}{40} = 165 \Rightarrow \frac{33k}{40} = 165 \Rightarrow 33k = 6600 \Rightarrow k = 200 \]
Für das zweite Zahnrad (\(y\)) erhalten wir somit:
\[ y = \frac{200}{5} = 40 \text{ Zähne} \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Frage 4
Eine Zahl \( a \) ist direkt proportional zu \( (a – 1) \) und umgekehrt proportional zu \( (b + 1)^2 \). Wenn \( a = 2 \) für \( b = -2 \) gilt, welchen Wert nimmt \( a \) an, wenn \( b = 1 \) ist?
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]
Lösung:
Aus dem mathematischen Text ergibt sich folgende Formelstruktur:
\[ a = \frac{k \cdot (a – 1)}{(b + 1)^2} \]
Wir setzen die bekannten Werte \(a = 2\) und \(b = -2\) ein, um den Proportionalitätsfaktor \(k\) zu berechnen:
\[ 2 = \frac{k \cdot (2 – 1)}{(-2 + 1)^2} \Rightarrow 2 = \frac{k \cdot 1}{1} \Rightarrow k = 2 \]
Nun setzen wir \(k = 2\) und den neuen Wert \(b = 1\) ein, um nach \(a\) aufzulösen:
\[ a = \frac{2 \cdot (a – 1)}{(1 + 1)^2} \Rightarrow a = \frac{2a – 2}{4} \]
Durch Multiplikation mit 4 erhalten wir:
\[ 4a = 2a – 2 \Rightarrow 2a = -2 \Rightarrow a = -1 \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Vorgehensweise beim Aufstellen von Dreisatz-Proportionen:
Bei Textaufgaben schreibt man Werte gleicher Einheiten sauber untereinander auf. Danach ermittelt man den Zuordnungstyp. Bei einer proportionalen Zuordnung rechnet man über Kreuz, bei einer antiproportionalen Zuordnung multipliziert man die Werte der Zeilen parallel nebeneinander. Die beiden Rechenprodukte werden anschließend gleichgesetzt, um nach der gesuchten Unbekannten aufzulösen.
Frage 5
Mustafa hat in 12 Tagen 300 Seiten eines insgesamt 800-seitigen Buches gelesen. Wie viele Tage benötigt Mustafa bei gleichbleibendem Lesetempo insgesamt, um das ganze Buch zu lesen?
\[
\text{A)} 24 \quad
\text{B) } 26 \quad
\text{C) } 28 \quad
\text{D) } 30 \quad
\text{E) } 32
\]
Lösung:
\[
\begin{aligned}
&\text{In 12 Tagen} \quad \quad \quad\quad \text{liest er } 300 \ \text{Seiten} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\[1cm]
&\text{In x Tagen} \quad \quad\quad\quad \text{liest er } 800 \ \text{Seiten} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\[1cm]
\hline \\[0.3cm]
&\textbf{Proportionale Zuordnung (Direkter Dreisatz)}
\end{aligned}
\]
Je mehr Tage vergehen, desto mehr Seiten werden gelesen. Es liegt eine direkte Proportionalität vor. Wir rechnen über Kreuz:
\[ 12 \cdot 800 = x \cdot 300 \Rightarrow 9600 = 300x \Rightarrow x = 32 \text{ Tage} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Frage 6
Ein Lebensmittelvorrat reicht aus, um 300 Soldaten für 6 Monate zu versorgen. Wenn 100 Soldaten vom Stützpunkt abziehen, wie viele Monate reicht der gleiche Vorrat für die verbleibenden Soldaten aus?
\[
\text{A)} 7 \quad
\text{B) } 8 \quad
\text{C) } 9 \quad
\text{D) } 10 \quad
\text{E) } 11
\]
Lösung:
Die Anzahl der verbleibenden Soldaten beträgt \(300 – 100 = 200\) Soldaten.
\[
\begin{aligned}
&\text{Für 300 Soldaten} \quad \quad \quad\quad \text{reicht es } 6 \ \text{Monate} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\[1cm]
&\text{Für 200 Soldaten} \quad \quad\quad\quad \text{reicht es } x \ \text{Monate} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\[1cm]
\hline \\[0.3cm]
&\textbf{Antiproportionale Zuordnung (Umgekehrter Dreisatz)}
\end{aligned}
\]
Je weniger Soldaten versorgt werden müssen, desto länger reicht der Vorrat. Es handelt sich um ein umgekehrtes Verhältnis. Wir multiplizieren zeilenweise parallel nebeneinander:
\[ 300 \cdot 6 = 200 \cdot x \Rightarrow 1800 = 200x \Rightarrow x = 9 \text{ Monate} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Frage 7
Wenn 4 Arbeiter in 3 Tagen eine Teppichfläche von \(24\; m^2\) weben können, wie viele Quadratmeter (\(m^2\)) Teppich können dann 5 Arbeiter in 2 Tagen weben?
\[
\text{A)} 10 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 18 \quad
\text{D) } 20 \quad
\text{E) } 24
\]
Lösung:
\[
\begin{aligned}
&4 \ \text{Arbeiter} \quad \quad \quad\quad 3 \ \text{Tage} \quad \quad \quad \text{weben } 24 \; \; m^2 \ \text{Teppich} \quad \quad \quad \\[1cm]
&5 \ \text{Arbeiter} \quad \quad \quad\quad 2 \ \text{Tage} \quad \quad \quad \text{weben } x \; \; m^2 \ \text{Teppich} \quad \quad \quad \\[1cm]
\hline \\[0.3cm]
&\textbf{Antiproportional} \quad \quad \quad \textbf{Direkt proportional}
\end{aligned}
\]
Mehr Arbeitskräfte verkürzen die Arbeitszeit (antiproportional). Mehr gearbeitete Tage erhöhen jedoch die gewebte Gesamtfläche (proportional). Bei einem zusammengesetzten Dreisatz nutzen wir das Arbeitsverhältnis:
\[ \frac{\text{Erste geleistete Arbeit}}{\text{Zweite geleistete Arbeit}} = \frac{\text{Produkt der Faktoren der ersten Arbeit}}{\text{Produkt der Faktoren der zweiten Arbeit}} \]
\[ \frac{24}{x} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 2} \Rightarrow \frac{24}{x} = \frac{12}{10} \]
Das Überkreuzprodukt ergibt:
\[ 12 \cdot x = 24 \cdot 10 \Rightarrow 12x = 240 \Rightarrow x = 20 \; m^2 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
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