Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel von $n$ Zahlen ist definiert als $n$ dividiert durch die Summe der Kehrwerte dieser Zahlen. Das harmonische Mittel der Zahlen \(x_1, x_2, x_3 \cdots x_n \) ist:
\[ \displaystyle\frac{n}{ \displaystyle\frac{1}{x_1} +\displaystyle \frac{1}{x_2} +\displaystyle \frac{1}{x_3} + …+\displaystyle \frac{1}{x_n} } \]
Das harmonische Mittel der Zahlen \(x_1 \) und \( x_2 \) ist:
\[ \displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{x_1} + \displaystyle\frac{1}{x_2}} =\displaystyle \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} \]
Hinweis:
Wenn $A$ das arithmetische Mittel, $G$ das geometrische Mittel und $H$ das harmonische Mittel von zwei Zahlen sind, gilt:
\[ G^2 = A \cdot H \] und \[ A >G < H \]
Aufgabe 1
Wenn das arithmetische Mittel und das harmonische Mittel einer negativen Zahl und ihres Kehrwerts einander gleich sind, wie lautet diese Zahl?
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) }-2 \quad
\text{C) } -3 \quad
\text{D) } -4 \quad
\text{E) } -5
\]
Lösung:
Wenn wir diese Zahl mit \( x \) bezeichnen, ist ihr Kehrwert \( \frac{1}{x} \). Daraus folgt:
\[ \frac{x + \frac{1}{x} }{2} = \frac{2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} }{x + \frac{1}{x} } \Rightarrow (x + \frac{1}{x} )^2 = 4 \]
\[ \left| x + \frac{1}{x} \right| = 2 \]
Da \( x < 0 \) ist, gilt \( x + \frac{1}{x} < 0 \). Daraus ergibt sich:
\[ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = -2 \]
\[ \Rightarrow \frac{x^2+1 }{x} = -2 \]
\[ \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0\]
\[ \Rightarrow x = -1 \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
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