Verhältnis und Proportionalität
Ein Verhältnis ist der Vergleich zweier gleichartiger Größenwerte derselben Einheit durch Division, wobei mindestens eine der beiden Größen ungleich null ist.
Beispiel:
\[\frac{10 \;\; \text{kg} }{3\;\; \text{kg} } \] ist ein Verhältnis, aber \[\frac{10 \;\;\text{kg}}{3 \;\; \text{cm}} \] ist kein Verhältnis.
PROPORTION (Verhältnisgleichung):
Eine Gleichung, die zwei oder mehr Verhältnisse gleichsetzt, nennt man **Proportion** (Orantı).
\[\displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d} = k \quad \text{(zweigliedrige Proportion)} \qquad \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d} =\displaystyle\frac{e}{f} =k \quad \text{(dreigliedrige Proportion)} \]
Dabei ist \(k\) der Proportionalitätsfaktor (oder die Proportionalitätskonstante).
Beispiel:
\( \displaystyle{\frac{10}{5} = \frac{6}{3} = \frac{-14}{-7} }\) \(= k \) mit \( k = 2 \).
Hinweis:
Die Gleichung \(\displaystyle\frac{a}{b} =\displaystyle \frac{c}{d} = \displaystyle \frac{e}{f} \) kann alternativ auch als Verhältnisreihe in der Form \( a\;:\;c\;:\;e = b\;:\;d\;:\;f\) geschrieben werden.
Eigenschaften von Proportionen:
\( 1. \quad \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d} \) oder geschrieben als \( \overbrace{a : \underbrace{ b = c}_{\text{Innenglieder}} : d }^{\text{Außenglieder}} \)
In einer Verhältnisgleichung ist das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder (Kreuzprodukt).
\[ \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad b \cdot c = a \cdot d \]
Da diese Äquivalenz stets gültig bleibt, lässt sich die Proportion \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] wie folgt umformen:
\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \] (Die Innenglieder dürfen die Plätze tauschen),
\[ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \] (Die Außenglieder dürfen die Plätze tauschen),
\[ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \] (Kehrwertbildung auf beiden Seiten).
\( 2. \quad \) Die Verhältnisse einer Proportion können mit einem Faktor erweitert oder gekürzt werden, ohne den Wert zu verändern:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \Rightarrow \quad \frac{m \cdot a }{m \cdot b} = \frac{n \cdot c }{n \cdot d}= \frac{r \cdot e}{r \cdot f} = k \]
\(\quad a) \;\;\) Bildet man die Summe aller Zähler und dividiert sie durch die Summe aller Nenner, bleibt der Proportionalitätsfaktor unverändert.
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \Rightarrow \quad \frac{a + c + e }{b + d + f } = k \]
Oder mittels Linearkombination ausgedrückt:
\[\frac{m \cdot a}{m \cdot b} = \frac{n \cdot c}{n \cdot d} = \frac{r \cdot e}{r \cdot f} = k \quad \Rightarrow \quad \frac{m \cdot a + n \cdot c + r \cdot e }{m \cdot b + n \cdot d + r \cdot f } = k \]
Beispiel:
\[ \bullet \quad \frac{3}{6}= \frac{-2}{-4} = \frac{7}{14} =\frac{1}{2} \quad \text{und} \quad \frac{3-2+7}{6-4+14} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]
\(\quad b) \;\;\) Wenn \( {\displaystyle \frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d} =\displaystyle \frac{e}{f} }=k \) ist, dann gilt \( { \displaystyle\frac{a^n}{b^n} = \displaystyle\frac{c^n}{d^n} = \displaystyle\frac{e^n}{f^n} }=k^n \).
Daraus folgend gilt auch:
\[ \displaystyle\frac{a^n + c^n + e^n}{b^n + d^n + f^n}= k^n \]
\( 3. \quad \)
Wenn \[ \frac{a}{b}= \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \] ist, dann ergibt das Produkt der Brüche: \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = k \cdot k \cdot k = k^3 \]
\( 4. \quad \) Werden dieselben mathematischen Operationen auf die jeweiligen Zähler- und Nennerkomponenten aller Brüche einer Proportion angewendet, bleibt das Gleichheitsverhältnis erhalten.
Wenn \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\], dann gilt zum Beispiel:
\[\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} = \frac{e+f}{e-f} = \frac{2a+3b}{a+b} = \frac{2c+3d}{c+d} = \frac{2e+3f}{e+f} \cdots \]
Frage 1
Wenn \[ \frac{x+ 3y + z}{x+2y-z} = \frac{3}{2} \] gegeben ist, welchen Wert hat dann der Bruch \[ \frac{x+z}{2x-z} ? \]
\[
\text{A)} \frac{2}{3} \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } \frac{5}{2} \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } \frac{7}{2}
\]
Lösung:
Durch Überkreuzmultiplikation der Ausgangsgleichung:
\[ \frac{x+ 3y + z}{x+2y-z} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3(x + 2y – z) = 2(x + 3y + z)\]
\[ \Rightarrow 3x + 6y – 3z = 2x + 6y + 2z\]
Subtrahiere \(6y\) von beiden Seiten der Gleichung:
\[ \Rightarrow 3x – 3z = 2x + 2z\]
\[ \Rightarrow x = 5z \]
Setze nun \(x = 5z\) in den gesuchten Bruch ein:
\[ \frac{x+z}{2x-z} = \frac{5z + z }{2(5z) – z } = \frac{6z}{9z} = \frac{2}{3} \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Frage 2
Wenn \[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \] gilt, welchen Wert nimmt der Bruch \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3 }{abc} \] an?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } \frac{1}{2} \quad
\text{C) } \frac{10}{3} \quad
\text{D) } \frac{11}{2} \quad
\text{E) } \frac{33}{8}
\]
Lösung:
Wir setzen die Verhältnisse gleich einer Proportionalitätskonstanten \(k\):
\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} =\frac{c}{4} = k \Rightarrow a= 2k, \;\; b= 3k, \;\; c= 4k \]
Einsetzen dieser Terme in den gesuchten Ausdruck liefert:
\[ \frac{a^3 + b^3 + c^3 }{abc} = \frac{(2k)^3 + (3k)^3 + (4k)^3}{(2k)(3k)(4k)} \]
\[ = \frac{8k^3 + 27k^3 + 64k^3}{24k^3} = \frac{99k^3 }{24k^3} = \frac{33}{8} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Frage 3
Gegeben sind \[ ax= by = cz = 3 \quad \text{und} \quad \frac{1}{x } + \frac{1}{y } + \frac{1}{z } = 6 \] Wie groß ist die Summe \(a + b + c \) ?
\[
\text{A)} 12 \quad
\text{B) } 14 \quad
\text{C) } 16 \quad
\text{D) } 18 \quad
\text{E) } 20
\]
Lösung:
Stelle die erste Gleichung nach den Variablen x, y und z um:
\[ ax = by = cz = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{a}, \;\; y = \frac{3}{b}, \;\; z= \frac{3}{c} \]
Bilde jeweils den Kehrwert:
\[ \frac{1}{x} = \frac{a}{3}, \;\; \frac{1}{y} = \frac{b}{3}, \;\; \frac{1}{z} = \frac{c}{3} \]
Setze diese Werte in die Summenformel ein:
\[ \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = 6 \]
\[ \Rightarrow \frac{a + b + c}{3} = 6 \Rightarrow a + b + c = 18\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 4
Eine bestimmte Farbe wird aus einer Mischung von drei Substanzen mit den Gewichten x, y und z hergestellt. In einer 430 Gramm schweren Farbmischung sind die Gewichtsverhältnisse dieser Komponenten wie folgt gegeben:
\[\frac{y}{x} =\frac{3}{2} \quad \text{und} \quad \frac{z}{y} = \frac{6}{5} \]
Wie viel Gramm beträgt die Differenz \( z – x \) ?
\[
\text{A)} 70 \quad
\text{B) } 80 \quad
\text{C) } 90 \quad
\text{D) } 100 \quad
\text{E) } 110
\]
Lösung:
Um die beiden Verhältnisse zusammenzuführen, bringen wir die Verhältnisanteile für \(y\) auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV von 3 und 5 ist 15):
\[ \frac{y}{x} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} \Rightarrow \frac{x}{10} = \frac{y}{15} \]
\[ \frac{z}{y} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15} \Rightarrow \frac{y}{15} = \frac{z}{18} \]
Daraus ergibt sich die erweiterte Verhältnisgleichung:
\[ \frac{x}{10} = \frac{y}{15} = \frac{z}{18} = k \Rightarrow \frac{x + y + z }{10 + 15 + 18 } = k \]
Da das Gesamtgewicht der Mischung \(x + y + z = 430\) Gramm beträgt, folgt:
\[ \frac{430}{43} = k \Rightarrow k = 10 \]
Gesucht ist die Differenz \(z – x\):
\[ z = 18k, \;\; x = 10k \Rightarrow z – x = 8k \]
\[ z – x = 8(10) = 80 \text{ Gramm} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 5
Es seien x und y positive ganze Zahlen. Wenn \[ \frac{x + y }{ 2x – y } = \frac{3}{2} \] gilt, welcher der folgenden Werte entspricht der Summe \(3x + y \) ?
\[
\text{A)} 9 \quad
\text{B) } 27 \quad
\text{C) } 57 \quad
\text{D) } 64 \quad
\text{E) } 72
\]
Lösung:
\[ \frac{x + y }{2x – y} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3(2x – y) = 2(x + y)\]
\[ \Rightarrow 6x – 3y = 2x + 2y \]
\[ \Rightarrow 4x = 5y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{4} \]
Daraus folgt das Verhältnis \(x = 5k\) und \(y = 4k\). Setzen wir dies in den gesuchten Term ein:
\[ 3x + y = 3(5k) + 4k = 19k \]
Da x und y positive ganze Zahlen sind, muss \( k \in Z^+\) eine positive ganze Zahl sein. Folglich muss der Wert des Ausdrucks \(3x + y\) ein ganzzahliges Vielfaches von 19 sein. Unter den Antwortmöglichkeiten ist nur 57 ohne Rest durch 19 teilbar (\(19 \cdot 3 = 57\)).
\(\textbf{Antwort: C} \)
Frage 6
Auf einem Bauernhof gibt es Hühner, Kaninchen und Vögel. Ihre jeweiligen Anzahlen werden mit x, y und z bezeichnet. Wenn \( x:y:z = 0,3 : 0,6 : 0,9\) gilt, wie klein kann die Gesamtsumme \( x + y + z \) minimal sein?
\[
\text{A)} 3 \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } 18 \quad
\text{D) } 21 \quad
\text{E) } 27
\]
Lösung:
\[x:y:z = 0,3 : 0,6 : 0,9 \Rightarrow \frac{x}{0,3} = \frac{y}{0,6} = \frac{z}{0,9} \]
Wir multiplizieren die Nenner mit 10, um die Dezimalzahlen zu beseitigen, und kürzen anschließend durch 3:
\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{6} = \frac{z}{9} \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k \]
Da es sich um lebende Tiere handelt, müssen die Anzahlen ganzzahlig sein. Um die Gesamtsumme zu minimieren, wählen wir den kleinsten positiven Ganzzahlwert \(k = 1\):
\[x = 1, \;\; y = 2, \;\; z = 3 \Rightarrow x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 7
\[ \text{Wenn } \frac{a}{b } = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{2}, \quad 3a – c + e = 40 \quad \text{und} \quad d – f = 1 \text{ gegeben sind, welchen Wert hat } b? \]
\[
\text{A)} 9 \quad
\text{B) } 15 \quad
\text{C) } 21 \quad
\text{D) } 27 \quad
\text{E) } 33
\]
Lösung:
Wir erweitern die einzelnen Brüche passend zur Summenformel im Zähler:
\[ \frac{3a}{3b} = \frac{-c}{-d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{2} \]
Da das Zusammenrechnen aller Zähler und aller Nenner den Proportionalitätsfaktor unberührt lässt, gilt:
\[ \frac{3a – c + e }{3b – d + f} = \frac{1}{2} \]
Wir klammen den Term im Nenner um, um \(d – f = 1\) einsetzen zu können:
\[ \frac{40}{3b – (d – f)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{40}{3b – 1} = \frac{1}{2} \]
\[ 80 = 3b – 1 \Rightarrow 3b = 81 \Rightarrow b = 27 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 8
\[ \text{Wenn } \frac{x-y}{a} = x + 2y = \frac{y+2z}{b}, \quad x + y + z = 6 \quad \text{und} \quad a + b = 2 \text{ ist, welchen Wert hat die Summe } x + 2y ? \]
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Wir schreiben den mittleren Term formell als Bruch mit dem Nenner 1:
\[ \frac{x-y}{a} = \frac{x + 2y}{1} = \frac{y+2z}{b} = k \]
Nun addieren wir alle Zähler und alle Nenner auf:
\[ \frac{(x-y) + (x + 2y) + (y + 2z)}{a + 1 + b} = k \]
Fassen wir die Variablen im Zähler zusammen und setzen \(a + b = 2\) ein:
\[ \frac{2x + 2y + 2z}{(a + b) + 1} = k \Rightarrow \frac{2(x+y+z)}{2+1} = k \]
Mit \(x + y + z = 6\) erhalten wir:
\[ \frac{2 \cdot 6 }{3} = k \Rightarrow k = 4 \]
Da \(x + 2y = k\) ist, folgt direkt:
\[ x + 2y = 4 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 9
\[ \text{Wenn } \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = k \text{ ist, welchem der folgenden Ausdrücke entspricht } \left( \frac{a+b}{c} \right) \cdot \left(\frac{a}{b + c} \right) ? \]
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } k \quad
\text{C) } k^2 \quad
\text{D) } k^3 \quad
\text{E) } k^4
\]
Lösung:
Aus der Definition der Proportionen folgt:
\[ b = ck \quad \text{und} \quad a = bk = (ck)k = ck^2 \]
Setzen wir diese Äquivalente in den gesuchten Ausdruck ein:
\[ \frac{a+b }{ c} \cdot \frac{a}{b+c } = \frac{ck^2 + ck}{c} \cdot \frac{ck^2 }{ck + c} \]
Klammere die gemeinsamen Faktoren aus und kürze den Bruch:
\[ = \frac{ck (k + 1 )}{c} \cdot \frac{ck^2 }{c(k+1)} = k \cdot k^2 = k^3 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 10
\[ \text{Wenn } \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \text{ ist, welchem Ausdruck entspricht die Formel } (b-d) \cdot (b^2+bd+ d^2) \cdot e^3 ? \]
\[
\text{A)} (a-c)f \quad
\text{B) } (a+c)f \quad
\text{C) } acf \quad
\text{D) } (a^3 + c^3 )f^3 \quad
\text{E) } (a^3- c^3) f^3
\]
Lösung:
Die ersten beiden Faktoren des Terms bilden eine bekannte Differenz von Kubikzahlen (Dritte binomische Formel für Kuben):
\[ (b-d) \cdot (b^2+bd+d^2) = b^3 – d^3 \]
Somit lautet der gesamte gesuchte Ausdruck: \((b^3 – d^3)e^3\). Potenzieren wir nun unsere Ausgangsproportion hoch 3:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a^3}{b^3 } = \frac{-c^3}{-d^3} = \frac{e^3}{f^3} \]
Die Subtraktion der jeweiligen Verhältnisglieder verändert den Faktor nicht:
\[ \frac{a^3 – c^3 }{b^3 – d^3} = \frac{e^3}{f^3} \]
Durch Kreuzmultiplikation erhalten wir schließlich das gesuchte Äquivalent:
\[ (b^3 – d^3) e^3 = (a^3 – c^3) f^3 \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
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