Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel (umgangssprachlich auch Durchschnitt) von $n$ Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen und der Anzahl $n$. Das arithmetische Mittel der Zahlen \( x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n \) ist definiert als:
\[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} \]
Das arithmetische Mittel von speziell zwei Zahlen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet demnach:
\[ \frac{x_1 + x_2 }{2} \]
Frage 1
Das arithmetische Mittel zweier Zahlen $x$ und $y$ beträgt \(2 \sqrt{ 3} \), ihr geometrisches Mittel ist gleich $3$. Welchen Wert hat der folgende Ausdruck:
\[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \]
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) }\frac{1}{2} \quad
\text{C) } \frac{3}{5} \quad
\text{D) } \frac{10}{27} \quad
\text{E) } \frac{15}{32}
\]
Lösung:
Aus dem gegebenen arithmetischen Mittel folgt:
\[ \frac{x+y}{2} = 2 \sqrt{3} \Rightarrow x + y = 4 \sqrt{3} \]
Aus dem gegebenen geometrischen Mittel folgt:
\[ \sqrt{xy} = 3 \Rightarrow xy = 9 \]
Wir formen den gesuchten Ausdruck um, indem wir den Hauptnenner bilden und eine binomische Formel rückwärts anwenden:
\[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{(x+y)^2 – 2xy}{(xy)^2} \]
Nun setzen wir die bekannten Werte für \((x+y)\) und \((xy)\) ein:
\[ = \frac{(4 \sqrt{3})^2 – 2 \cdot 9}{9^2} = \frac{48 – 18}{81} = \frac{30}{81} = \frac{10}{27} \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 2
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 8 \quad
\text{E) } 10
\]
Lösung:
Es sei $x$ die Summe der ursprünglichen 5 Zahlen und $y$ die Summe der 2 entfernten Zahlen. Folglich ist die Summe der übrig gebliebenen 3 Zahlen gleich \(x – y \). Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
\[ \frac{x}{5} = a \Rightarrow x = 5a \]
\[ \frac{x-y}{3} = \frac{5a}{3} – 4 \Rightarrow \frac{5a-y}{3} = \frac{5a-12}{3} \Rightarrow 5a – y = 5a – 12 \Rightarrow y = 12 \]
Das arithmetische Mittel der beiden entfernten Zahlen berechnet sich, indem man deren Summe ($y$) durch 2 teilt:
\[ \frac{y}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
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