Vierte Proportionale
In der Proportion \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \] wird die Zahl \(x \) als die vierte Proportionale zu den Zahlen \(a, \;b, \;c \) bezeichnet.
Aufgabe 1
Die vierte Proportionale zu den Zahlen \( 3, 4, 5 \) sei \( x \), und das geometrische Mittel von \(x\) und 15 sei \( y \). Wie groß ist demnach das harmonische Mittel von \( y \) und 15?
\[
\text{A)} 11 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 13 \quad
\text{D) } 14 \quad
\text{E) } 15
\]
Lösung:
\[ \frac{3}{4} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{20}{3} \]
\[ y = \sqrt{ 15x} = \sqrt{ 15 \cdot \frac{20}{3} } = 10 \]
Daraus ergibt sich das harmonische Mittel von y und 15 wie folgt:
\[ \frac{ 2 \cdot 15 \cdot y }{ 15 + y } = \frac{2 \cdot 15 \cdot 10 }{15 +10 } = 12 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
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