Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Gleichungen der Form \(ax + by + c = 0 \) mit \( a,\; b, \; c \in R\) und \(a \neq 0, \; b \neq 0\) werden als lineare Gleichungen mit zwei Variablen bezeichnet.
Die Menge der geordneten Paare \( (x, y) \), die eine Gleichung der Form \(ax + by + c = 0 \) erfüllen, stellt eine Gerade in der analytischen Ebene dar, und auf dieser Geraden liegen unendlich viele Punkte. Daher ist die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen unendlich groß.
Beispiel:
Wird in der Gleichung \( 2x + 3y-7 = 0 \) die Substitution \( x= t \) durchgeführt, so ergibt sich
\[2x + 3y -7= 0 \Rightarrow 2t+ 3y -7 = 0 \]
\[\Rightarrow y = \frac{7-2t}{3} \] Hieraus ist ersichtlich, dass für \( t \in R \) unendlich viele Zahlenpaare wie \( t, \frac{7-2t}{3} \) existieren, die die gegebene Gleichung erfüllen.
Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen:
\[ a_1x +b_1y+c_1=0\]
\[ a_2x +b_2y+c_2=0\]
Ein System, das aus zwei solchen Gleichungen besteht, wird als lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bezeichnet.
Bestimmung der Lösungsmenge:
\[ d1: \;\; a_1x +b_1y+c_1=0\]
\[d2: \;\; a_2x +b_2y+c_2=0\]
Da diese Gleichungen die Geraden d1 and d2 in der analytischen Ebene darstellen, ergeben sich für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen drei Fälle:
1. Fall
Wenn \[ \;\; \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\], dann ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems unendlich groß. In diesem Fall sind die Geraden nämlich identisch. Alle Punkte auf identischen Geraden (jedes Zahlenpaar \((x, y)\), das die Gleichungen erfüllt) sind Elemente der Lösungsmenge.
\[ 1) \;\; \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow d_1 \equiv d_2\] bedeutet, dass unendlich viele Lösungen existieren.
Aufgabe 12
\[ abx-2y -3 =0 \]
\[ 2x+4y-b=0 \]
Wenn die Lösungsmenge des Gleichungssystems unendlich viele Elemente hat, wie groß ist dann a?
\[
\text{A)} \frac{1}{6} \quad
\text{B) } \frac{1}{3} \quad
\text{C) } \frac{1}{2} \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Damit die Lösungsmenge unendlich viele Elemente besitzt, muss gelten:
\[ \frac{ab}{2} = \frac{-2}{4} =\frac{-3}{-b} \Rightarrow \frac{-2}{4} = \frac{-3}{-b} \Rightarrow b = -6 \]
und
\[ \frac{ab}{2} = \frac{-2}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{6} \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
2. Fall
Wenn \[ \;\; \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\], then ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems die leere Menge. In diesem Fall sind die Geraden nämlich parallel. Da sich parallele Geraden nicht schneiden, besitzen sie keine gemeinsamen Punkte.
\[ 1) \;\; \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow d_1 // d_2\] bedeutet \[L = Ø\]
Aufgabe 13
\[ x + ay + 5 =0 \]
\[ (a-2)x-y-4=0 \]
Wenn die Lösungsmenge des Gleichungssystems die leere Menge ist, wie groß ist dann a?
\[
\text{A)} -2\quad
\text{B) } -1\quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Damit die Lösungsmenge leer ist, muss gelten:
\[ \frac{1}{a-2} = \frac{a}{-1} \neq \frac{-5}{-4} \]
\[ \Rightarrow -1 = (a-2) \cdot a \]
\[ \Rightarrow a^2 – 2a + 1= 0 \]
\[ \Rightarrow a = 1 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
3. Fall
Wenn \[ \;\; \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \], dann hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems genau ein Element. In diesem Fall schneiden sich die Geraden nämlich in einem Punkt. Der Schnittpunkt der Geraden ist das Element der Lösungsmenge.
\[ \;\; \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow d_1 \cap d_2 = P(x_0, \; y_0) \]
Lösungsmethoden für Gleichungssysteme:
a) \[a_1 x+b_1y+c_1=0 \]
\[a_2 x+b_2y+c_2=0 \]
In diesem Gleichungssystem werden die Koeffizienten einer der Variablen, beispielsweise von \(x\), angeglichen. Anschließend werden diese beiden Gleichungen voneinander subtrahiert. Dadurch wird \(y \) bestimmt. Dieser \(y \)-Wert wird in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, um \( x\) zu berechnen.
Beispiel:
\[
\begin{aligned}
2x + 3y = 8 \\
x + y = 3
\end{aligned}
\]
Bestimmen wir die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Wir multiplizieren beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und subtrahieren sie von der ersten Gleichung.
\[
\begin{aligned}
2x + 3y &= 8\\
– \quad \quad 2x +2 y &= 6\\
\hline
y &=2
\end{aligned}
\]
wird ermittelt. Setzt man den Wert \(y = 2 \) in die zweite Gleichung (oder in die erste Gleichung) ein, so erhält man
\[ x +2 = 3 \Rightarrow x= 1 \]. Somit gilt: \[ L=\{(1,2)\} \].
b)
\[
\begin{aligned}
a_1x + b_1y+ c_1=0
a_2x + b_2y+ c_2=0
\end{aligned}
\]
In diesem Gleichungssystem wird eine der Variablen, zum Beispiel \(y\), aus der ersten (oder zweiten) Gleichung in Abhängigkeit von \(x \) ausgedrückt. Dieser Ausdruck wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Die so entstandene Gleichung mit einer Variablen wird gelöst. Der gefundene Wert für \(x \) wird in eine der Gleichungen eingesetzt, um \(y\) zu bestimmen.
Beispiel:
\[
\begin{aligned}
y-3x=2 \\
x + 3y = 16\\
\end{aligned}
\]
Bestimmen wir die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Wenn wir aus der ersten Gleichung \( y = 3x + 2 \) isolieren und in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir:
\[
\begin{aligned}
x +3 (3x+2) =16 \Rightarrow 10x + 6 = 16\\
\Rightarrow x =1
\end{aligned}
\]
Wird der Wert \(x = 1 \) in die zweite Gleichung eingesetzt, so ergibt sich
\[1+ 3y = 16 \Rightarrow y= 5 \]. Somit gilt: \[ L= \{(1,5)\} \].
Aufgabe 14
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x} \;- \;\frac{2}{y} &= 3\\
\\
\frac{2}{x} \;+ \; \frac{1}{y} &= 7\\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist der x-Wert, der das Gleichungssystem erfüllt?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } \frac{5}{3} \quad
\text{C) } \frac{3}{5} \quad
\text{D) } \frac{17}{5} \quad
\text{E) } \frac{5}{17}
\]
Lösung:
Multiplizieren wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und addieren die Gleichungen komponentenweise.
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x}\; -\; \frac{2}{y} \;=\; &3\\
\\
+ \quad \frac{4}{x}\; +\; \frac{2}{y} = &14\\
\hline
\\
\frac{5}{x} =17
\end{aligned}
\]
\[ \frac{5}{x} = 17 \Rightarrow 5 = 17 x \Rightarrow x = \frac{5}{17}\]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 15
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{3} -x = 2\\
\\
\frac{x+y}{2} -y = 1\\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist der x-Wert, der das Gleichungssystem erfüllt?
\[
\text{A) } -10 \quad
\text{B) } -9 \quad
\text{C) } -8 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 6
\]
Lösung:
Addieren wir beide Gleichungen komponentenweise.
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{3}\; -\; x \;=\; &2\\
\\
+ \quad \frac{x+y}{2}\; -\; y = \;&1\\
\hline
\\
\frac{5(x+y)}{6}\; – \;(x+y)\;=\;3
\end{aligned}
\]
\[\Rightarrow x+y= -18 \]
Wird dieser Wert in die erste Gleichung eingesetzt, so folgt:
\[ -\frac{18}{3} \;- \;x =\; 2 \Rightarrow x \;=\; -8\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 16
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x}\; -y \; &= -1\\
\\
x\; -\; \frac{1}{y} & = \;2\\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann der Wert des Bruches \( \Large \frac{x^2+y^2}{xy} \)?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } \frac{5}{2} \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } \frac{7}{2} \quad
\text{E) } 4
\]
Lösung:
\[ \frac{1}{x} -y = -1 \Rightarrow \frac{1-xy}{x}= -1 \Rightarrow 1 -xy = -x \]
\[ x \;- \;\frac{1}{y} = 2 \Rightarrow \frac{xy-1}{y}= 2 \Rightarrow 1 -xy = -2y \]
Daraus ergibt sich:
\[ 1- xy = -x = -2y \]
\[ \Rightarrow x= 2y \]
Folglich gilt:
\[\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(2y)^2 + y^2 }{(2y) \cdot y} = \frac{5}{2} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 17
\[
\begin{aligned}
\sqrt{ x}\; -\; \frac{1}{\sqrt{y } } & = \frac{3 \sqrt{ 2} }{2} \\
\\
x\; -\; \frac{1}{y} & = \;\frac{15}{2} \\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann x?
\[
\text{A) } 4 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]
Lösung:
\[
x \;- \; \frac{1}{y} = \frac{15}{2} \Rightarrow
\left( \sqrt{x} \;-\; \frac{1}{\sqrt{y}} \right) \cdot
\left( \sqrt{x} \;+\; \frac{1}{\sqrt{y}} \right) = \frac{15}{2}
\]
\[ \Rightarrow \frac{3 \sqrt{2 } }{2} \cdot \left( \sqrt{x}\; + \; \frac{1}{\sqrt{y}} \right) = \frac{15}{2} \]
\[\Rightarrow \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right) = \frac{5 \sqrt{ 2} }{2} \]
wird berechnet. Demnach gilt:
\[
\begin{aligned}
\sqrt{x} \;- \;\frac{1}{\sqrt{y}}& = \frac{3\sqrt{2}}{2}\\
\\
+\quad \sqrt{x}\; + \;\frac{1}{\sqrt{y}} &= \frac{5\sqrt{2}}{2}\\
\hline
\\
2\sqrt{x}\; &= \;4\sqrt{2}
\end{aligned}
\]
\[\Rightarrow x = 8 \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 18
\[
\begin{aligned}
2a^2-ab-b^2&=14\\
2a+b&=7\\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann a?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
\[ 2a^2-ab-b^2=14 \Rightarrow (2a+b) \cdot (a-b) = 14\]
\[\Rightarrow 7 \cdot (a-b) = 14 \]
\[\Rightarrow (a-b) = 2 \] wird bestimmt. Folglich gilt:
\[
\begin{aligned}
2a+ b &=7\\
+ \quad a-b&=2\\
\hline
3a & = 9 \Rightarrow a = 3 \quad \text{wird ermittelt. }
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 19
\[
\begin{aligned}
x= \frac{a^2}{2a^2+ 3b^2} \\
y= \frac{b^2}{2a^2+3b^2} \\
\end{aligned}
\]
Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die Variable y in Abhängigkeit von x dar?
\[
\text{A) } -x \quad
\text{B) } 2x-1 \quad
\text{C) } \frac{1-2x}{3} \quad
\text{D) } 1-2x \quad
\text{E) } \frac{x}{3}
\]
Lösung:
\[ x = \frac{a^2}{2a^2+ 3b^2} \Rightarrow 2x = \frac{2a^2}{2a^2+3b^2} \]
\[ y = \frac{b^2}{2a^2+ 3b^2} \Rightarrow 3y = \frac{3b^2}{2a^2+3b^2} \]
\[
\begin{aligned}
2x= \frac{2a^2}{2a^2+ 3b^2} \\
+ \quad \quad 3y= \frac{3b^2}{2a^2+3b^2} \\\hline \\ \quad
2x+3y= \frac{2a^2+ 3b^2}{2a^2+ 3b^2} = 1\\ \quad
\end{aligned}
\]
\[ y = \frac{1-2x}{3} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 20
\[ x^2 \cdot y = a – \frac{1}{b}\]
und
\[ xy^2 = \frac{8b}{1-ab} \]
Wie groß ist dann das Produkt \( x \cdot y \)?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } -3 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 1
\]
Lösung:
\[ x^2 \cdot y = a – \frac{1}{b} \Rightarrow x^2y= \frac{ab-1}{b} \]
\[ xy^2 = \frac{8b}{1-ab} \Rightarrow xy^2= \frac{-8b}{ab-1} \]
\[
\begin{aligned}
x^2y= \frac{ab-1}{b}\\
\times \quad xy^2 = \frac{-8b}{ab-1} \\\hline \\
x^3 y^3= -8 \Rightarrow xy = -2
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
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