Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun olması için bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Fakat trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir ve örten değildir. Ancak trigonometrik fonksiyonların bire bir ve örten olduğu uygun aralıklar seçilerek ters trigonometrik fonksiyonlar tanımlanabilir.
1) Arksinüs Fonksiyonu:
Sinüs fonksiyonunun tanım aralığı \( \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) alınırsa, bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,
\( \displaystyle f: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1, 1] \), \( f(x) = \sin x \) ise ters fonksiyon,
\( f^{-1}(x) = \sin^{-1} x \) veya \( f^{-1}(x) = \text{Arcsin } x \) şeklinde gösterilir ve \( \displaystyle \text{Arcsin } : [-1, 1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) dir.
O halde,
\( y = f(x) = \sin x \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) = \sin^{-1} y \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow x = \text{Arcsin } y \) olur.
Eğer ters fonksiyonda x ile y yer değiştirilirse \( y = \text{Arcsin } x \) olur.
Örnekler:
- \( \displaystyle \text{Arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) (sinüsü \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan açı değeri \( \displaystyle \frac{\pi}{3} \) tür.)
- \( \displaystyle \text{Arcsin } (-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)
- \( \displaystyle \alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) olmak üzere, \( \displaystyle \alpha = \text{arcsin } \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{4} \) tür.
- \( \displaystyle \alpha \in [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \) olmak üzere, \( \displaystyle \alpha = \text{arcsin } (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7\pi}{4} \) tür.
Arksinüs Fonksiyonunun Grafiği
\( f^{-1}(x) = \text{Arcsin } x \) fonksiyonunun değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & -1 & \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\
\hline
\text{Arcsin } x & \displaystyle -\frac{\pi}{2} & \nearrow \displaystyle -\frac{\pi}{4} & \nearrow 0 & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]