cos x ve sin x e Göre Lineer Denklemler

 

cos x ve sin x e Göre Lineer Denklemler

 

\( a, b, c \in R \) olmak üzere,

\( \mathbf{a \sin x + b \cos x = c} \)  şeklindeki denklemlere  \( \cos x \)  ve  \( \sin x \)’e  göre lineer denklemler denir. Bu tür denklemleri çözmek için farklı yollar izlenebilir.

 

1) \( a \sin x + b \cos x = c \) denkleminin her iki tarafını a’ya bölelim.

 

\( \sin x + \displaystyle \frac{b}{a} \cos x = \displaystyle \frac{c}{a} \) olur. \( \tan \alpha = \displaystyle \frac{b}{a} \) yazılırsa,

\( \Rightarrow \sin x + \tan \alpha \cdot \cos x = \displaystyle \frac{c}{a} \)

\( \Rightarrow \sin x + \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos x = \displaystyle \frac{c}{a} \)

\( \Rightarrow \sin x \cos \alpha + \sin \alpha \cos x = \displaystyle \frac{c}{a} \cos \alpha \)

\( \Rightarrow \sin (x + \alpha) = \displaystyle \frac{c}{a} \cos \alpha \)

\( \tan \alpha = \displaystyle \frac{b}{a} \) ise \( \cos \alpha = \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) olduğundan

\( \Rightarrow \sin (x + \alpha) = \displaystyle \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) elde edilir.

Bu denklemin çözülebilmesi \( (Ç \neq \emptyset) \) için,

\( -1 \leq \displaystyle \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq 1 \Rightarrow \left| \displaystyle \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \leq 1 \)

\( \Rightarrow c^2 \leq a^2 + b^2 \) olmalıdır.

 

2) \( \cos x = \displaystyle \frac{1 – \tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}} \ , \ \sin x = \displaystyle \frac{2 \tan \displaystyle \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}} \)

 

\( \tan \displaystyle \frac{x}{2} = t \) denilirse,

\( a \sin x + b \cos x = c \)

\( \Rightarrow a \cdot \displaystyle \frac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \displaystyle \frac{1 \ – \ t^2}{1 + t^2} = c \)

\( \Rightarrow 2at + b (1 \ – \  t^2) = c (1 + t^2) \)

\( \Rightarrow (b + c) t^2 \ – \ 2at \ – \ (b \ – \ c) = 0 \) elde edilir.

Bu denkleminin kökleri  \( \tan \displaystyle \frac{x}{2} = t \)  eşitliğinde yerine yazılarak çözüme gidilir.

 

Örnek:

 

\( \sqrt{3} \sin x  \ – \ 3 \cos x = \sqrt{3} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemin her iki tarafını \( \sqrt{3} \) ile bölelim.

\( \sqrt{3} \sin x \ – \ 3 \cos x = \sqrt{3} \)

\( \Rightarrow \sin x \ – \ \sqrt{3} \cos x = 1 \)

\( \Rightarrow \sin x \ – \ \tan \displaystyle \frac{\pi}{3} \cdot \cos x = 1 \)

\( \Rightarrow \sin x \ – \ \displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{\pi}{3}}{\cos \displaystyle \frac{\pi}{3}} \cdot \cos x = 1 \)

\( \Rightarrow \sin x \cdot \cos \displaystyle \frac{\pi}{3} \ – \  \sin \displaystyle \frac{\pi}{3} \cdot \cos x = \cos \displaystyle \frac{\pi}{3} \)

\( \Rightarrow \sin (x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \cos \displaystyle \frac{\pi}{3} = \sin \displaystyle \frac{\pi}{6} = \sin (\pi \ –  \ \displaystyle \frac{\pi}{6}) \)

\( x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)   veya    \( x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

\( x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad , x = \displaystyle \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) olur.

O halde,

\( Ç = \{ x \mid x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ veya } x = \displaystyle \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \ k \in Z \} \)

olarak bulunur.

 

Örnek:

 

\( \sin 2x \ – \ \cos 2x = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\( \sin 2x \ – \ 1 \cdot \cos 2x = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \Rightarrow \sin 2x \ –  \ \tan \displaystyle \frac{\pi}{4} \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \Rightarrow \sin 2x \ – \ \displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{\pi}{4}}{\cos \displaystyle \frac{\pi}{4}} \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \sin 2x \cdot \cos \displaystyle \frac{\pi}{4} \ –  \ \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \)

\( \Rightarrow \sin (2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \)

\( \Rightarrow \sin (2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{6} = \sin (\pi – \frac{\pi}{6}) \)

\( \Rightarrow 2x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)    veya      \( 2x – \displaystyle \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{5\pi}{24} + k\pi, \quad  x = \frac{13\pi}{24} + k\pi \quad (k \in Z) \) olur.

O halde,

\( Ç = \{ x \mid x = \displaystyle \frac{5\pi}{24} + k\pi \quad   \text{ veya } \quad   x = \frac{13\pi}{24} + k\pi, \ k \in Z \} \)

dir.

 

Örnek:

 

\( 3 \sin x + 4 \cos x = 6 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\( a = 3, \ b = 4 \text \quad  { ve } \quad   c = 6 \Rightarrow a^2 + b^2 = 25 \text{ ve } c^2 = 36 \)

\( c^2 \leq a^2 + b^2 \) eşitsizliği sağlanmadığından çözüm kümesi boş kümedir.