Sanal Birimin Kuvvetleri

 

\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere i nin kuvvetleri,

\[ \begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\text{1. Sütun} & \text{2. Sütun} & \text{3. Sütun} \\
\hline
i = \sqrt{-1} & i^5 = i^4 \cdot i = i & i^{4n+1} = i \\
\hline
i^2 = -1 & i^6 = i^4 \cdot i^2 = -1 & i^{4n+2} = -1 \\
\hline
i^3 = i^2 \cdot i = -i & i^7 = i^4 \cdot i^3 = -i & i^{4n+3} = -i \\
\hline
i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1 & i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 & i^{4n+4} = 1 \\
\hline
\end{array} \]

\[ \vdots \]
\[ i^{4n} = (i^4)^n = 1 \]

olur. O halde,

\[ n \equiv m \pmod{4} \Rightarrow i^n = i^m \] dir.

i sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken, bu kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan i nin kuvveti olarak alınır.

 

Örnek:

 

•  \( i^{74} \) sayısını hesaplayalım.
  \( 74 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow i^{74} = i^2 = -1 \)

 

•  \( i^{1996} \) sayısını hesaplayalım.
  \( 1996 \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow i^{1996} = i^0 = 1 \) herhangi bir sayının (0 hariç) 0. kuvveti 1 dir

 

•  \( i^{-17} \) sayısını hesaplayalım.
  \( -17 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{-17} = i^3 = -i \)

 

• \( i^{-103} \) sayısını hesaplayalım.
  \( -103 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow i^{-103} = i^1 = i \) dir.

Örnek:

 

\( (x + i^{19})^{99} = -i \) eşitliğini sağlayan x değerlerinden birini bulalım.

\( 19 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{19} = i^3 = -i \) olduğundan,

\( (x + i^{19})^{99} = -i \Rightarrow (x – i)^{99} = -i \) olur.

\( 99 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{99} = i^3 = -i \) olduğundan,

\( \Rightarrow (x – i)^{99} = i^{99} \)
\( \Rightarrow x – i = i \Rightarrow x = 2i \) dir.

 

Örnek:

 

\( z = i + i^2 + i^3 + ……. + i^{49} + i^{50} \) karmaşık sayısının reel ve sanal kısmını bulalım.