İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık
\( z_{1} = x_{1} \ \ + \ \ y_{1}i \) karmaşık sayısının karmaşık sayılar düzlemindeki görüntüsü \( A(x_{1}, y_{1}) \),
\( z_{2} = x_{2} \ \ + \ \ y_{2}i \) karmaşık sayısının karmaşık sayılar düzlemindeki görüntüsü \( B(x_{2}, y_{2}) \) olsun.
Bu iki karmaşık sayı arasındaki uzaklık,
\[
|AB| = |z_{1} – z_{2}| = \sqrt{ (x_{1} – x_{2})^{2} \ \ + \ \ (y_{1} – y_{2})^{2} }
\]
dir.
Örnek:
\( z_{1} = 2\sqrt{3} \ \ + \ \ 3i \) ve
\( z_{2} = \sqrt{3} \ \ + \ \ 2i \) karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulalım.
\( z_{1} \) karmaşık sayısının görüntüsü \( A(2\sqrt{3}, 3) \),
\( z_{2} \) karmaşık sayısının görüntüsü \( B(\sqrt{3}, 2) \) dir.
O halde,
\[
|AB| = |z_{1} – z_{2}| = \sqrt{ (2\sqrt{3} – \sqrt{3})^{2} \ \ + \ \ (3 – 2)^{2} } = 2
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\( \{ z : |z \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
\( z = x \ \ + \ \ yi \) olsun.
\[
|z – 5 – 6i| = 2
\Rightarrow |x + yi \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2
\]
\[
\Rightarrow |(x \ – \ 5) + (y \ – \ 6)i| = 2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ (x \ – \ 5)^{2} + (y \ – \ 6)^{2} } = 2
\]
\[
\Rightarrow (x \ – \ 5)^{2} + (y \ – \ 6)^{2} = 4
\]
bulunur.
O halde \( |z \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2 \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü, merkezi \( M(5, 6) \) ve yarıçapı \( R = 2 \) birim olan çember üzerindeki noktalardır.
Sonuçlar:
1. \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| = R, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( R \) olan çemberdir.
2. \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| < R, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( R \) olan çemberin iç bölgesidir.
3. \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| > R, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( R \) olan çemberin dış bölgesidir.
4. \( \{ z : R_{1} < |z \ – \ (a + bi)| < R_{2}, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, merkezleri \( M(a, b) \), yarıçapları \( R_{1} \) ve \( R_{2} \) olan çemberler arasındaki bölgedir.
Örnek:
\( \{ z : |z + 1 \ – \ i| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\[
|z + 1 \ – \ i| \leq 1 \ \Rightarrow \ |z \ – \ (-1 + i)| \leq 1
\]
\( z_{0} = -1 + i \) sayısının görüntüsü \( M(-1, 1) \) olduğundan verilen eşitsizliği sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü \( M(-1, 1) \) merkezli ve \( R = 1 \) birim yarıçaplı çember ve çemberin iç bölgesidir.
Örnek:
\( { z : |z + 2i| > 1, \ z \in \mathbb{C} \ } \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\[
|z + 2i| > 1 \ \Rightarrow \ |z – (0 – 2i)| > 1
\]
\( z_{0} = 0 – 2i \) sayısının görüntüsü \( M(0, -2) \) olduğundan verilen eşitsizliği sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü \( M(0, -2) \) merkezli ve \( R = 1 \) birim yarıçaplı çemberin dış bölgesidir.
Örnek:
\{ z : 1 \leq |z – 3| < 2, \ z \in \mathbb{C} \} kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\[
1 \leq |z – 3| < 2
\Rightarrow
1 \leq |z – (3 + 0 \cdot i)| < 2
\]
\( z_{0} = 3 + 0 \cdot i \) sayısının görüntüsü \( M(3, 0) \) olduğundan verilen eşitsizlik sistemini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü \( M(3, 0) \) ortak merkezli \( R = 1 \) birim ve \( R = 2 \) birim yarıçaplı çemberlerin arasında kalan bölgedir.
Örnek:
\( \{ z : |2z| \geq |z – 3i|, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi \) olsun.
\[
|2z| \geq |z – 3i|
\Rightarrow |2(x + yi)| \geq |x + yi – 3i|
\]
\[
\Rightarrow |2x + 2yi| \geq |x + (y – 3)i|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ (2x)^{2} + (2y)^{2} } \geq \sqrt{ x^{2} + (y – 3)^{2} }
\]
\[
\Rightarrow 4x^{2} + 4y^{2} \geq x^{2} + y^{2} – 6y + 9
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2y \geq 3
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + (y + 1)^{2} \geq 2^{2}
\]
bulunur. O halde verilen eşitsizliği sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü, merkezi \( M(0, -1) \) ve yarıçapı \( R = 2 \) birim olan çember ve çemberin dış bölgesidir.
Örnek:
\( \{ z : \displaystyle\left| \frac{z \ – \ 1 }{z+1} \right| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi \) olsun.
\[
\left| \frac{z – i}{z + 1} \right| \leq 1
\Rightarrow |z – i| \leq |z + 1|
\]
\[
\Rightarrow |x + yi – i| \leq |x + yi + 1|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y – 1)^{2} } \leq \sqrt{ (x + 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} – 2y + 1 \leq x^{2} + 2x + 1 + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow -2y \leq 2x
\]
\[
\Rightarrow y \geq -x
\]
bulunur. Verilen eşitsizliği sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü, aşağıda verilmiştir.
Örnek:
\( \{ z : |z + i| \leq |z + 1| \ \text{ ve } \ |z| \leq 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi \) olsun.
\[
|z + i| \leq |z + 1| \
\]
\[
\Rightarrow |x + yi + i| \leq |x + yi + 1|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y + 1)^{2} } \leq \sqrt{ (x + 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2y + 1 \leq x^{2} + 2x + 1 + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow y \leq x
\]
ve
\[|z| \leq 2 \Rightarrow \sqrt{x^2 +y^2 \leq 2 } \]
\[ x^2 + y^2 \leq 4 \quad \]
Örnek:
\( \{ z : |z + 4i| < |z| \ \text{ veya } \ |z + i| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi \) olsun.
\[
|z + 4i| < |z|
\Rightarrow |x + yi + 4i| < |x + yi|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y + 4)^{2} } < \sqrt{ x^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 8y + 16 < x^{2} + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow y < -2
\]
ve
\[
|z + i| \leq 1
\Rightarrow |z – (0 – i)| \leq 1
\]