RASYONEL SAYILAR
Bir kesire denk olan kesirlerin meydana getirdiği küme bir tane sayı belirtir. Böyle bir sayıya rasyonel sayı denir. Bir rasyonel sayıyı, bu sayıyı belirten kümenin herhangi bir elemanı ile gösterebiliriz.
a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere,
$$A={\frac{a}{2b}, \frac{2a}{2b}, \frac{3a}{3b}, \cdots, \frac{ka}{kb}, \cdots }\,\, k \in Z $$
kümesi verilsin. Bu kümenin elemanları olan kesirler denk oldukları için A kümesi bir rasyonel sayı ifade eder. Bu kümenin
temsilcisi \( \frac{a}{b} \) dir. A kümesinin belirttiği rasyonel sayı \( \frac{a}{b} \) ile temsil edildiği gibi bu kümenin herhangi bir elemanı ile de temsil edilebilir.
Uyarı:
Her kesir bir rasyonel sayı belirtir. $$-\frac{2}{7}, -\frac{4}{3}, \frac{9}{7}, \frac{11}{12} , 0, 8, \cdots $$ sayıların her biri birer rasyonel sayıyı gösterir.
RASYONEL SAYILARDA SiRALAMA
Rasyonel sayılar büyüklük-küçüklük bakımından 5 şekilde karşılaştırılabilir:
- Paydaları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan payı küçük olan daha küçüktür.
$$ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} <\frac{5}{7} $$
Örnek:
$$ \Large{\frac{3}{4}, \frac{5}{8} ,\frac{4}{6} } $$ sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Kesirlerin paydalarını, paydaların okek inde eşitlersek; OKEK (4, 8, 6) = 24 tür. Buradan
\[\begin{array}{l l l}
\frac{3}{4}\cdot \frac{6}{6} =\frac{18}{24} \\
\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{3} = \frac{15}{24} \\
\frac{4}{6} \cdot \frac{4}{4} =\frac{16}{24} \quad \text{ise} \\
\frac{15}{24} <\frac{16}{24} <\frac{18}{24} \quad \text{O halde} \\
\frac{5}{8} <\frac{4}{6} <\frac{3}{4} \quad \text{Şeklinde sıralanır}
\end{array}\]
2. Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan paydası küçük olan daha büyüktür.
$$ \Large{\frac{8}{3} > \frac{8}{5}> \frac{8}{6} } $$
Örnek:
$$ \Large{\frac{3}{5} , \frac{2}{6}, \frac{4}{7} }$$ Sayıları sıralayalım. Kesirlerin paylarını, payların okek inde eşitlersek; OKEK (3, 2, 4) = 12 dir. Buradan,
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4} = \frac{12}{20}} \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{2}{6} \cdot \frac{6}{6} = \frac{12}{36}} \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{3} = \frac{12}{21}} \end{array}\]
ise
$$\Large{\frac{12}{20} >\frac{12}{21} > \frac{12}{36}= \frac{3}{5}> \frac{4}{7} >\frac{2}{6} }$$ şeklinde sıralanır.
\(\Large{\frac{a}{b} } \) ve \( \Large{\frac{c}{d} } \) pozitif iki kesir olmak üzere,
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}} > 1 \quad ise \Large {\frac{a}{b} >\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}} < 1 \quad ise \Large {\frac{a}{b} <\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{a}{b} =\frac{c}{d}} < 1 \quad ise \Large {\frac{a}{b} =\frac{c}{d} } \end{array}\] dir.
Örnek:
\( \Large{\frac{2}{3} } \) ve \( \Large{\frac{3}{4} } \) kesirlerini araştıralım.
\[\begin{array}{l l } \Large{\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} =\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9} < 1} \end{array}\] olduğundan bölünen kesir \(\Large {\frac{2}{3} } \) daha küçüktür. Yani \(\Large {\frac{2}{3} < \frac{3}{4} } \) tür
4. Rasyonel sayılar ondalık sayıya çevirilerek karşılaştırılabilir. İki ondalık sayıdan tam kısmı büyük olan daha büyüktür. Tam kısmı eşit olan ondalık sayılar virgülden sonraki kısmına bakılarak karşılaştırılır.
Şöyle ki: Soldan sağa doğru, sırasıyla aynı isimli basamaktaki rakamlara bakılır. Soldan sağa doğru, aynı isimli basamakta birbirinden farklı olarak rastlanan ilk rakamlar karşılaştırılır. Bu rakamlardan büyük olanın bulunduğu ondalık sayı daha büyüktür.
Örnekler:
-
-
- 3,21 > 2,95 (tam kısımlar farklı ve 3>2)
- 2,3428 ile 2,3432 sayılarını karşılaştıralım. Tam kısımlar aynı olduğundan, virgülden sonraki kısımları soldan sağa doğru sırasıyla karşılaştırdığımızda birbirinden farklı rakama rastladığımız ilk basamak binde birler basamağıdır. Bu rakamlar için 2 < 3 oldugundan binde birler basamağındaki rakamı 2 olan sayı daha küçüktür.
\[ \begin{array}{r|r}
2,34&2&8 \\
2,34&3&2 \\
\end{array} \] -
- 3,418 ile 3,602 ve 3,42 sayılarını karşılaştıralım. Bu sayıları yukarıda ki örnekte olduğu gibi sıralarsak, 3,602>3,42>3,418 olur.
5. Pay ve paydası arasındaki fark eşit olan pozitif kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin değeri artar, bileşik kesirIerin ise değeri azalır.
\[\begin{array}{l l }
\Large{\frac{3}{8} <\frac{4}{9} <\frac{7}{12}< \frac{8}{13} \cdots} \\
\Large{\frac{5}{3} >\frac{7}{5} >\frac{9}{7} >\frac{10}{8} \cdots }\\
\end{array}\]
Uyarı: Negatif sayılar karşılaştırılırken önce sayılanın işareti gözününe alınmadan sıralama yapılır. Sonunda bütün sayılar -1 ile çarpılarak bu sıralamanın yönü değiştirilir.
Örnek:
\[\begin{array}{l l } a= \Large{-\frac{11}{10}} , b=\Large{-\frac{101}{100}} , c=\Large{-\frac{1001}{1000}} \end{array}\] olduğuna göre a, b, c sayıları arasındaki bulalım.
Verilen sayları işareti hesaba katılmadan sıralanırsa, \[ \large{\frac{11}{10}} > \large{\frac{101}{100}} > \large{\frac{1001}{1000}} \]
Eşitsizliğin her tarafı -1 ile çarpılırsa \[ \large{-\frac{11}{10}} < \large{-\frac{101}{100}} < \large{-\frac{1001}{1000}} \] olur. Buna göre, a < b < c dir.
Örnek:
24,48 < 24, X5 sıralamasında X yerine yazılabilecek rakamlar kümesini bulalım.
Onda birler basamakları karşılaştırılırsa; verilen sıralamanın doğru olması için X yerine yazılabilecek rakamlar 4 ten büyük olmalıdır. Buna göre, X yerine yazılabilecek rakamlar kümesi,
$${5,6,7,8,9 }$$ olarak bulunur.
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →