Die von einem Fahrzeug mit der Durchschnittsgeschwindigkeit V in der Zeit t zurückgelegte Strecke \( |AB| \) berechnet sich wie folgt:

\[ \text{Weg} = \text{Geschwindigkeit} \times \text{Zeit} \]

\[ |AB| = x = V \times t \]

Wird hier \(t_y= 1 \) Stunde gesetzt, so gilt \( |AB | = V_A- V_B \). Daraus lässt sich folgendes schließen: Das hintere Objekt verringert den Abstand jede Stunde um den Betrag der Geschwindigkeitsdifferenz.

Beispiel:

Wie in der Abbildung dargestellt, bewegen sich zwei Objekte von den Punkten A und B mit den Durchschnittsgeschwindigkeiten \( V_a\) und \( V_b \) gleichzeitig aufeinander zu (in entgegengesetzter Richtung) und begegnen sich im Punkt C. Da beide Objekte den Punkt C in derselben Zeit \( (t_k) \) erreichen, schreiben sich die von den Objekten von A und B zurückgelegten Strecken wie folgt:

\[ |AC| = V_a \cdot t_k \]

\[ |BC| = V_b \cdot t_k \]

Wird hier \(t_k= 1 \) Stunde gesetzt, so gilt \( |AB | = V_A + V_B \). Daraus lässt sich schließen: Die beiden Objekte nähern sich einander jede Stunde um die Summe ihrer Geschwindigkeiten an.

Untersuchen wir die Bewegung der Fahrzeuge A und B, deren Geschwindigkeiten in der Abbildung gegeben sind und die gleichzeitig von den Punkten A und B starten.

1) Der Abstand zwischen den beiden Fahrzeugen verringert sich gegen Null nach: \[\frac{480}{90 + 70 } = 3 \; \text{Stunden.} \] Die beiden Fahrzeuge begegnen sich nach 3 Stunden.

2) In 3 Stunden legt Fahrzeug A \( 3 \cdot 90 = 270 \) km zurück. Das heißt, |AC| = 270 km.

3) In 3 Stunden legt Fahrzeug B \( 3 \cdot 70 = 210 \) km zurück. Das heißt, |BC| = 210 km.

Das Verhältnis (der Quotient) aus der gesamten zurückgelegten Strecke zwischen zwei Punkten und der dafür benötigten Gesamtzeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs zwischen diesen beiden Punkten.

Demnach berechnet sie sich wie folgt:

\[ V_{ort} = \frac{\text{Gesamtstrecke} }{\text{Gesamtzeit} } \]

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, lege ein von A startendes Fahrzeug die Strecke AB mit der Geschwindigkeit \(V_1 \) in der Zeit \(t_1 \) zurück, die Strecke BC mit der Geschwindigkeit \(V_2 \) in der Zeit \(t_2 \) und die Strecke CD mit der Geschwindigkeit \(V_3 \) in der Zeit \(t_3 \). Die Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Fahrzeugs auf der gesamten Strecke AD beträgt:

\[ V_{ort} = \frac{|AD|}{t_1 +t_2 + t_3} \] oder \[ V_{ort} = \frac{|AD|}{\frac{|AB|}{V_1} + \frac{|BC|}{V_2} + \frac{|CD|}{V_3} } \] .

Wenn ein Fahrzeug ein Drittel seiner Strecke mit 60 km/h und den Rest mit 80 km/h zurücklegt, berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Fahrzeugs auf dieser Strecke.

Unter der Annahme, dass die gesamte zurückgelegte Strecke \(3x \) km beträgt:

\[ V_{ort} = \frac{\text{Gesamtstrecke} }{\text{Gesamtzeit}} = \frac{3x}{\frac{x}{60} + \frac{2x}{80} } = \frac{3x}{ x \cdot \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{40} \right)} \]
\[ V_{ort} = 72 \; \text{km/h wird als Ergebnis ermittelt.} \]

\[
\text{A )} 550 \quad
\text{B) } 600 \quad
\text{C) } 675 \quad
\text{D) } 725 \quad
\text{E) } 750
\]

Das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit 90 km/h benötige für die Strecke |AB| \( t\) Stunden. In diesem Fall legt das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit 50 km/h die Strecke zwischen den beiden Städten in \( t+ 6\) Stunden zurück.

\[
\text{A )} 300 \quad
\text{B) } 250 \quad
\text{C) } 200 \quad
\text{D) } 150 \quad
\text{E) } 100
\]

Da die Strecke AB 75 km beträgt, hätte das von A startende Fahrzeug das von B startende Fahrzeug normalerweise nach:

\[ \frac{75}{75-50} = 3 \] Stunden eingeholt.

Da das von A startende Fahrzeug vor dem Einholen eine Stunde Pause macht, hat das von B startende Fahrzeug den Abstand in dieser Stunde um \(50 \cdot 1 = 50 \) km vergrößert. Demnach beträgt der Gesamtabstand, den das von A startende Fahrzeug aufholen muss, \( 75 + 50 = 125\) km. Diese 125 km wird es in:

\[\frac{125}{75-50} = 5 \] Stunden aufholen. Zudem hat das von B startende Fahrzeug während der einstündigen Pause des Fahrzeugs A eine Strecke von \( 50 \cdot 1 = 50\) km zurückgelegt. Demnach beträgt die von Fahrzeug B zurückgelegte Gesamtstrecke:

\[ |BC| = 50 \cdot 5 + 50 = 300 \; \text{km.} \]

\(\textbf{Antwort: A} \)

Das Verhältnis der Geschwindigkeit eines Läufers zur Windgeschwindigkeit beträgt \(\Large \frac{5}{2} \). Wenn dieser Läufer eine Strecke von 45 km gegen den Wind in 5 Stunden laufen kann, wie hoch ist die Geschwindigkeit des Läufers pro Stunde in km?

\[
\text{A )} 3 \quad
\text{B) } 9 \quad
\text{C) } 12 \quad
\text{D) } 15 \quad
\text{E) } 18
\]

Wird die Windgeschwindigkeit mit \( 2v \) bezeichnet, so beträgt die Geschwindigkeit des Läufers \( 5v \). Wenn der Läufer gegen den Wind läuft, beträgt seine Nettogeschwindigkeit \[ 5v \; – \; 2v = 3v \]. Da der Zusammenhang für dieses Problem lautet:

\[ \text{Weg = Geschwindigkeit x Zeit} \] , gilt: \[ 45 = 3v \cdot 5 \Rightarrow v= 3 \; \text{km/h} \]

Ein Bus, der mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h vom Punkt A abfährt, erhöht seine Geschwindigkeit 1 Stunde nach Fahrtbeginn um V und erreicht den Punkt B dadurch 1 Stunde vor der geplanten Zeit. Wenn die Strecke AB 240 km lang ist, wie groß ist V in km/h?

\[
\text{A )} 20 \quad
\text{B) } 25 \quad
\text{C) } 30 \quad
\text{D) } 35 \quad
\text{E) } 40
\]

Ein Fahrzeug fährt eine Strecke AB mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h hin und legt dieselbe Strecke auf dem Rückweg mit 60 km/h zurück. Wenn die gesamte Fahrzeit für Hin- und Rückweg zusammen 14 Stunden beträgt, wie viele km lang ist die Strecke AB?

\[
\text{A) } 480 \quad
\text{B) } 460 \quad
\text{C) } 420 \quad
\text{D) } 300 \quad
\text{E) } 350
\]

Lösung:

Bezeichnet man die Hinfahrzeit des Fahrzeugs mit t, so beträgt die Rückfahrzeit \(14 – t \). Da das Fahrzeug auf dem Hinweg 80 km/h und auf dem Rückweg 60 km/h fährt, lautet die Gleichung für das gegebene Problem:

\[ |AB| = 80 \cdot t = 60 \cdot (14 \; – \; t )\]

\[ 14t = 6 \cdot 14\]

\[\Rightarrow t = 6 \; \text{Stunden.} \]

Daraus ergibt sich wegen \[ |AB| = 80 \cdot t \] :

\[ |AB| = 80 \cdot 6 = 480 \; \text{km.} \]

\(\textbf{Antwort: A} \)

\[
\text{A) } 420 \quad
\text{B) } 480 \quad
\text{C) } 540 \quad
\text{D) } 680 \quad
\text{E) } 700
\]

Da sich die beiden Fahrzeuge mit den Geschwindigkeiten \( V_1 \) und \( V_2 \) aufeinander zu bewegen und nach 3 Stunden begegnen, beträgt die Strecke AB:

\[ |AB| = 3 \cdot (V_1 + V_2) \Rightarrow |AB| = 3 \cdot (80 + 60 ) = 420 \; \text{km.} \] Wenn das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit \( V_1 \) das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit \( V_3 \) in t Stunden einholt:

\[ t = \frac{|AB|}{V_1 \;- \; V_3} \Rightarrow t = \frac{420}{80 \;-\; 50 } = 14 \; \text{Stunden.} \]