Kartesisches Produkt
Seien \( A\) und \( B \) zwei nichtleere Mengen. Die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente aus \( A\) und deren zweite Komponente aus \( B \) stammt, wird als kartesisches Produkt von \( A\) und \( B \) bezeichnet. Es wird als \( A \times B \) dargestellt und als „\( A\) kartesisches Produkt \( B \)“ gelesen. Demnach gilt:
\[ A \times B = \{ (x,y ) \;| \; x \in A \quad \text{und } \quad y \in B \} \]
Definition: Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare, die aus einem Element der ersten Menge und einem Element der zweiten Menge gebildet werden.
Beispiel:
Betrachten wir die folgenden Mengen: Seien \( A = \{1, 2\} \) und \( B = \{a, b\} \).
In diesem Fall besteht \( A \times B \) aus den folgenden geordneten Paaren:
\[ A \times B = \{ (1, a ), (1,b ), (2,a ), (2, b )\}\]
Diese geordneten Paare können als Punkte im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden.
2. Bedeutung mathematischer Symbole
\( \bullet \) Geordnetes Paar ( x, y ) : Bezeichnet Paare, deren erstes Element \(x \) und dessen zweites Element \(y \) ist. Diese Schreibweise wird insbesondere beim kartesischen Produkt und in Koordinatensystemen verwendet.
\( \bullet \) Geschweifte Klammern ( { } ) : Werden verwendet, um die Elemente einer Menge anzugeben. Zum Beispiel enthält die Menge {1, 2, 3 } die Elemente 1, 2 und 3.
\( \bullet \) Vertikaler Strich ( | ) : Wird bei der Definition von Mengen im Sinne von „für die gilt“ oder „mit der Eigenschaft“ verwendet. Zum Beispiel bedeutet der Ausdruck \( \{ x \; | \; x > 0 \} \) „x für die gilt, x ist positiv“.
Hinweis: Da bei der Definition des kartesischen Produkts beide Komponenten der geordneten Paare Elemente der jeweiligen Mengen sein müssen, wird das Bindewort „und“ bzw. das mathematisch-logische Zeichen „\( \land \)“ verwendet.
Beispiel:
Wenn \( A= \{1, 2, 3 \} \) und \( B= \{a, b \} \), dann gilt:
\[ A \times B = \{ (1, a ), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a ), (3, b )\} \]
\[ B \times A = \{ (a, 1 ), (a, 2 ), (a, 3), (b, 1), (b, 2 ), (b, 3) \} \]
Hinweis:
\[ A \times A = \{ (x,y ) \;| \; x \in A \quad \text{und } \quad y \in A \} \]
Wenn \( A= \{1, 2 \} \) ist, gilt:
\[ A \times A = \{ (1,1 ), (1,2 ), (2,1 ), (2,2 ) \} \]
Hinweis:
\[ A \times B \times C = \{ (x,y, z ) \;| \; x \in A \quad \text{und } \quad y \in B \quad \text{und } \quad z \in C \} \]
Wenn \( A= \{1, 2 \}, \quad B =\{ a, b \}, \quad C = \{n\} \) ist, gilt:
\[ A \times B \times C = \{ (1,a, n ), (1,b,n ), (2,a,n ), (2,b,n ) \}\]
Eigenschaften des kartesischen Produkts:
\( 1) \quad \) Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ.
\[ A \times B \neq B \times A \quad (A \neq B)\]
\( 2) \quad \) Das kartesische Produkt ist assoziativ.
\[A \times B \times C = A \times (B \times C ) = (A \times B) \times C \]
\( 3) \quad \) Das kartesische Produkt ist distributiv bezüglich der Mengenoperationen.
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \]
\[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \]
\[ A \times (B \; – \; C) = (A \times B) \; – \; (A \times C) \]
\( 4) \quad \) Kardinalität (Mächtigkeit) des kartesischen Produkts:
\[ s(A \times B ) = s(B \times A) = s(A) \cdot s(B) \]
\( 5) \quad \) Beim kartesischen Produkt werden Notationen wie
\[ A \times A = A^2, \quad A \times A \times A = A^3 \] verwendet.
Frage 3
Wenn \[ A= \{ x \; | \; -3 < x < 5, \;\; x \in \mathbb{Z} \} \] und \[ B = \{ x \; : \; |x | \le 2, \;\; x \in \mathbb{Z} \} \] gegeben sind, wie groß ist dann \( s( A \times B) \)?
Hinweis: Das in Menge B verwendete Zeichen “ : “ und das in Menge A verwendete Zeichen “ | “ bedeuten beide „für die gilt“. In der Menge B wurde “ : “ bevorzugt, um Verwechslungen mit den Betragsstrichen zu vermeiden.
\[
\text{A)} 22 \quad
\text{B) } 25 \quad
\text{C) } 28 \quad
\text{D) } 30 \quad
\text{E) } 35
\]
Lösung:
Da \[-3 < x < 5 \quad \text{und } \quad x\in \mathbb{Z} \] gilt, ist
\[ A = \{ -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4 \} \quad \text{und } \quad s(A) = 7 \]
Da \[ |x| \le 2 \Rightarrow -2 \le x \le 2 \quad \text{und } x \in \mathbb{Z} \] gilt, ist
\[ B = \{-2, -1, 0, 1, 2 \} \quad \text{und} \quad s(B)= 5 \]
Daraus folgt:
\[ s( A \times B )= s(A) \cdot s(B) = 7 \cdot 5 = 35 \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Frage 4
Wenn \[ s ( ( A \times B) \cap (A \times C) )= 6 \quad \text{und } \quad s(B \cap C) = 2 \] gegeben sind, wie groß ist dann \( s(A) \)?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 6
\]
Lösung:
\[ s(A \times B ) \cap s(A \times C) = 6 \Rightarrow s(A \times (B \cap C)) = 6 \]
\[ \Rightarrow s(A) \cdot s( B \cap C ) = 6 \]
\[ \Rightarrow s(A) \cdot 2 = 6 \]
\[ \Rightarrow s(A)= 3 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Grafische Darstellung des kartesischen Produkts:
Bevor wir zur grafischen Darstellung des kartesischen Produkts übergehen, betrachten wir das kartesische Koordinatensystem. Das System, das in einer Ebene durch zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengeraden an ihrem Nullpunkt (Ursprung) entsteht, wird als kartesisches Koordinatensystem (rechtwinkliges Koordinatensystem) bezeichnet.
\(\bullet \quad Ox \) horizontale Achse wird als Abszissenachse (x-Achse),
\( \bullet \quad Oy \) vertikale Achse wird als Ordinatenachse (y-Achse) bezeichnet.
Wenn ein Punkt \( P \) in der Ebene durch ein geordnetes Paar \( (a, b )\) dargestellt wird, schreibt man \( P(a,b) \). Das geordnete Paar \( (a, b )\) wird als Koordinaten von \( P \) bezeichnet, die Zahl \(a \) ist die Abszisse von \( P \) und die Zahl \( b\) ist die Ordinate von \( P \).
Der Schnittpunkt der Senkrechten, die von der Abszisse a auf der \( Ox\)-Achse errichtet wird, und der Senkrechten, die von der Ordinate \( b\) auf der \( Oy\)-Achse errichtet wird, ergibt den Punkt \(P(a,b) \).
Auf diese Weise entspricht jedem geordneten Paar \( (x,y) \; \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) genau ein Punkt \(P \) in der Ebene. Somit bilden die Punkte der Ebene das kartesische Produkt \( \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
Hier entspricht der Schnittpunkt der Achsen, \( O \), dem Koordinatenursprung (Origin) für das geordnete Paar \( (0, 0) \).
Um den Graphen von \(A \times B \) zu zeichnen, werden die Elemente von \( A\) auf der horizontalen Achse (\(Ox \)-Achse) abgetragen, und von diesen Punkten aus werden senkrechte Linien gezogen. Die Elemente von \( B\) werden auf der vertikalen Achse (\( Oy\)-Achse) abgetragen, und von diesen Punkten aus werden Parallelen zur horizontalen Achse gezogen. Die Menge aller Schnittpunkte dieser Linien in der Ebene ergibt den Graphen von \( A \times B \).
Beispiel:
Wenn \( A= \{ 1,2,3 \} \) and \( B = ( -1, 2 ] \) gegeben sind, zeichnen wir den Graphen von \( A \times B \).
Auf der horizontalen Achse werden senkrechte Linien an den Punkten mit den Abszissen \( 1, 2\) und \( 3\) gezogen. Auf der vertikalen Achse werden Linien an den Punkten gezogen, die den reellen Zahlen zwischen \(-1 \) (exklusive) und \( 2\) (inklusive) entsprechen. Die Menge der Schnittpunkte dieser Linien ergibt den Graphen von \( A \times B \).
Die drei vertikalen Strecken in der Abbildung bilden den Graphen von \( A \times B \).
Beispiel:
Wenn \( A= \{1,2,3\} \) und \( B = [-1, 2] \) gegeben sind, zeichnen wir den Graphen von \(B \times A \).
Auf der horizontalen Achse werden Linien an den Punkten gezogen, die den reellen Zahlen zwischen -1 (inklusive) und 2 (inklusive) entsprechen. Auf der vertikalen Achse werden senkrechte Linien an den diskreten Punkten 1, 2 und 3 gezogen. Der Schnittpunkt dieser Linien ergibt drei horizontale Strecken, die den Graphen von \( B \times A \) bilden.
Die drei Strecken in der Abbildung bilden den Graphen von \( B \times A \).
Beispiel:
Wenn \( A = (1, 3] \) gegeben ist, zeichnen wir den Graphen von \( A \times A \).
Beispiel:
Wenn \( A= \{ x: |x| > 2, x \in \mathbb{R} \}\) und \( B = \{y | -2 \le y \le 2, y \in \mathbb{R} \} \) gegeben sind, zeichnen wir den Graphen von \( A \times B \).
\[ |x| >2 \Rightarrow x > 2 \quad \text{oder} \quad x < -2 \quad \text{daher gilt, } \]
\[ A = (-\infty, -2 ) \cup (2, \infty) \quad \text{und } \quad B= [-2,2 ] \]
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