Nicht-surjektive Funktion (In-Funktion)

 

Gegeben sei eine Funktion $f: A \to B$. Wenn in der Zielmenge $B$ mindestens ein Element existiert, das keinem Argument aus der Definitionsmenge $A$ zugeordnet ist (also kein Urbild besitzt), nennt man diese Funktion eine In-Funktion (eine nicht-surjektive Abbildung).
Das bedeutet, dass die Wertemenge $f(A)$ eine echte Teilmenge der Zielmenge $B$ ist, also $f(A) \neq B$.

 

Beispiele:

 

$\bullet \quad f: A \to B$ ist eine nicht-surjektive Abbildung, da das Element $a$ in der Zielmenge $B$ ungetroffen bleibt.

\[
A = \{1,2,3\}, \quad B = \{a, b, c\}
\]

Funktionswerte:

\[
f(1) = b, \quad f(2) = b, \quad f(3) = c
\]

Da das Element $a$ kein Urbild besitzt, handelt es sich hierbei um eine In-Funktion.

$\bullet \quad f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$, mit der Zuordnungsvorschrift

\[
f(x) = x^2
\]

Diese Funktion ist nicht-surjektiv, da in der Zielmenge der positiven ganzen Zahlen Elemente ungetroffen bleiben.

 

Betrachten wir die ersten Funktionswerte:

\[
f(1) = 1, \quad f(2) = 4, \quad f(3) = 9, \quad f(4) = 16, \quad f(5) = 25, \dots
\]

Da bestimmte positive ganze Zahlen (wie beispielsweise 2, 3, 5 usw.) für kein Argument $x$ als Funktionswert angenommen werden können, ist die Wertemenge nicht identisch mit der Zielmenge. Folglich liegt eine In-Funktion vor.

 

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