Grundrechenarten mit Funktionen
Gegeben seien die beiden reellwertigen Abbildungen \( f: A \to \mathbb{R} \) und \( g: B \to \mathbb{R} \). Unter der Voraussetzung, dass die Definitionsbereiche eine nichtleere Schnittmenge aufweisen (\( A \cap B \neq \emptyset \)), sind die Verknüpfungen wie folgt definiert:
1) Summe:
\[ f + g : A \cap B \to \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad (f+g)(x) = f(x) + g(x) \]
2) Differenz:
\[ f – g : A \cap B \to \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad (f – g)(x) = f(x) – g(x) \]
3) Produkt:
\[ f \cdot g : A \cap B \to \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \]
4) Quotient:
\[ \frac{f}{g} : A \cap B \to \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{wobei } g(x) \neq 0 \]
5) Skalarmultiplikation: Für eine reelle Konstante \( c \in \mathbb{R} \) gilt:
\[ c \cdot f : A \to \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad (c \cdot f)(x) = c \cdot f(x) \]
Beispiele:
Gegeben seien die Funktionen \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x^2 \) und \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( g(x) = x^2 + 1 \).
\( \bullet \quad (2f + g)(x) = 2 f(x) + g(x) = 2x^2 + x^2 + 1 = 3x^2 + 1 \)
\( \bullet \quad { \left( \frac{2g – f}{2} \right)(x)} = \frac{2 g(x) – f(x)}{2} = \frac{2 (x^2 + 1) – x^2}{2} = \frac{x^2 + 2}{2} \)
\( \bullet \quad 1 + x^4 – (f \cdot g)(x) = 1 + x^4 – f(x) \cdot g(x) = 1 + x^4 – x^2 (x^2 + 1) = 1 – x^2 \)
Aufgabe 10
Gegeben sind die Mengen \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \) und \( B = \{0, 2, 3, 4\} \) sowie die Funktionen \( f: A \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2^x \) und \( g: B \to \mathbb{R} \), \( g(x) = x^2 \).
Bestimmen Sie die Bildmenge (Wertemenge) der folgenden Verknüpfung:
\[
\frac{2f}{f+g}
\]
\[ \text{A)} \{0, \frac{2}{5} \} \quad \text{B) } \{2,1 \} \quad \text{C) } \{0,2 \} \quad \text{D) } \{0,1 \} \quad \text{E)} \{\frac{2}{5} ,2 \} \]
Lösung:
Die funktionale Verknüpfung ist nur auf dem gemeinsamen Definitionsbereich, also der Schnittmenge, zulässig: \( A \cap B = \{0, 2\} \). Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an diesen Stützstellen:
\( f(x) = 2^x \implies f(0) = 2^0 = 1 \quad \) und \( \quad f(2) = 2^2 = 4 \)
\( g(x) = x^2 \implies g(0) = 0^2 = 0 \quad \) und \( \quad g(2) = 2^2 = 4 \)
Nun setzen wir diese Werte in den rationalen Ausdruck ein:
\[
\left(\frac{2f}{f+g}\right)(0) = \frac{2 f(0)}{f(0) + g(0)} = \frac{2 \cdot 1}{1 + 0} = 2
\]
\[
\left(\frac{2f}{f+g}\right)(2) = \frac{2 f(2)}{f(2) + g(2)} = \frac{2 \cdot 4}{4 + 4} = 1
\]
Daraus ergibt sich die Bildmenge zu:
\[
\left(\frac{2f}{f+g}\right)(A \cap B) = \{2, 1\}
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 11
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \). Berechnen Sie den Funktionswert \( f(\sqrt{2} – 1) \).
\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E)} 5 \]
Lösung:
Mithilfe der Binomischen Formel höheren Grades und den Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks (1, 4, 6, 4, 1) lässt sich der Polynomterm wie folgt als vierte Potenz zusammenfassen:
\[
f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x+1)^4
\]
Durch Einsetzen des Arguments vereinfacht sich die Rechnung:
\[
f(\sqrt{2} – 1) = (\sqrt{2} – 1 + 1)^4 = (\sqrt{2})^4 = 4
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 12
Gegeben ist die reelle Abbildung \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x^2 + x + 1 \).
Wenn für das Definitionsintervall \( A = (1,2] \) die Bildmenge \( f(A) = B \) gesucht ist, welche Menge entspricht dann \( B \)?
\[ \text{A)} (4,7] \quad \text{B) } (3,6] \quad \text{C) } (1,5] \quad \text{D) } (3,7] \quad \text{E)} (2,8] \]
Lösung:
Es gilt \( y = f(x) = x^2 + x + 1 \) unter der Bedingung \( 1 < x \leq 2 \). Da alle Werte im Intervall positiv sind, können wir die Ungleichungskette für die einzelnen Termkomponenten aufstellen:
\[ 1 < x \leq 2 \quad \implies \quad 1^2 < x^2 \leq 2^2 \]
\[ = 1 < x^2 \leq 4 \]
Für den linearen Anteil addieren wir auf allen Seiten 1:
\[ 1 < x \leq 2 \quad \implies \quad 1 + 1 < x + 1 \leq 2 + 1 \]
\[ = 2 < x + 1 \leq 3 \]
Durch gliedweise Addition der beiden Ungleichungen erhalten wir den Wertebereich:
\[
\begin{aligned}
& 1 < x^2 \leq 4 \\
+ \quad & 2 < x + 1 \leq 3\\
\hline \\
&3 < x^2 + x + 1 \leq 7
\end{aligned}
\]
Folglich lautet die gesuchte Zielmenge:
\[
B = \{ y \mid 3 < y \leq 7, y \in \mathbb{R} \} \implies B = (3,7]
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 13
Gegeben ist die lineare Funktion \( f: A \to B \) mit \( f(x) = \frac{x+1}{2} \) und der Bildbereich \( B = (-2,1) \). Bestimmen Sie die Definitionsmenge \( A \).
\[ \text{A)} (-5,1 ) \quad \text{B) } (-4,2 ) \quad \text{C) } (-3,3) \quad \text{D) } (-2,4 ) \quad \text{E)} (-1,5 ) \]
Lösung:
Aus der Intervallvorgabe für die Zielmenge folgt die Ungleichung:
\[
B = \{ y \mid -2 < y < 1, y \in \mathbb{R} \}
\]
Wir setzen den Funktionsterm ein, um nach der Definitionsvariable \( x \) aufzulösen:
\[
-2 < \frac{x+1}{2} < 1
\]
Multiplikation der gesamten Ungleichungskette mit 2 liefert:
\[
\implies -4 < x + 1 < 2
\]
Subtraktion von 1 isoliert die Variable:
\[
\implies -4 – 1 < x < 2 – 1
\]
\[
\implies -5 < x < 1
\]
Somit ergibt sich der Definitionsbereich zu:
\[
A = \{ x \mid -5 < x < 1, x \in \mathbb{R} \} \implies A = (-5,1)
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 14
Eine reelle Funktion in zwei Veränderlichen ist definiert als \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit:
\[ f(x, y) = x^3 – y^3 – 3xy \cdot (x – y) \]
Berechnen Sie den Funktionswert an der Stelle \( f(1995, 1996) \).
\[ \text{A)} -1 \quad \text{B) } 0 \quad \text{C) } 1 \quad \text{D) } 2 \quad \text{E )} 3 \]
Lösung:
Der Definitionsbereich dieser Abbildung besteht aus geordneten Paaren \( (x,y) \). Strukturell lässt sich dies wie folgt darstellen:
Wir formen den algebraischen Ausdruck durch Ausmultiplizieren um:
\[
f(x, y) = x^3 – y^3 – 3xy \cdot (x – y)
\]
\[
= x^3 – 3x^2 y + 3xy^2 – y^3
\]
Dies entspricht exakt der kubischen Binomischen Formel für die Differenz zweier Terme:
\[
\implies f(x, y) = (x – y)^3
\]
Durch Einsetzen der gegebenen numerischen Werte reduziert sich die Aufgabe auf eine einfache Subtraktion:
\[
\implies f(1995, 1996) = (1995 – 1996)^3 = (-1)^3 = -1
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 15
Eine Funktionalgleichung erfüllt die multiplikative Eigenschaft \( f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \). Unter der Bedingung \( f(2) = 3 \), bestimmen Sie den Wert von \( f(8) \).
\[ \text{A)} 3 \quad \text{B) } 9 \quad \text{C) } 27 \quad \text{D) } 81 \quad \text{E )} 243 \]
Lösung:
Wir zerlegen das Argument 8 additiv in bekannte Stützstellen, um die gegebene Eigenschaft anzuwenden:
\[
f(x + y) = f(x) \cdot f(y)
\]
\[
\implies f(8) = f(2 + 2 + 2 + 2)
\]
Durch schrittweise Anwendung der Funktionalgleichung lässt sich die Addition im Argument in ein Produkt der Funktionswerte umschreiben (analog zu den Potenzgesetzen):
\[
= f(2) \cdot f(2) \cdot f(2) \cdot f(2)
\]
\[
= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
← Vorherige Seite | Nächste Seite →