Lineare Gleichungen mit drei Variablen
Gleichungen der Form \( ax + by + cz + d = 0 \) mit \( a, \; b, \;c, \;d \in R \; (a \neq 0, \; b\neq 0, \; c\neq 0) \) werden als lineare Gleichungen mit drei Variablen bezeichnet. Ein System, das aus mindestens zwei solchen Gleichungen besteht, wird als lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bezeichnet.
Bestimmung der Lösungsmenge:
\(1) \) Wenn die Anzahl der Variablen drei und die Anzahl der Gleichungen eins beträgt, ist die Lösungsmenge unendlich groß.
Beispiel:
Es gibt unendlich viele Zahlentripel wie \( (1, 1, 8), (2,1,6), \dots \), die die Gleichung \( 2x – 3y + z = 7 \) erfüllen.
\(2) \) Wenn die Anzahl der Variablen drei und die Anzahl der Gleichungen zwei beträgt, ist die Lösungsmenge unendlich groß.
Beispiel:
\[ x+ y – z = 1 \]
\[ 2x- 2y + z = 3 \]
Wird in diesem Gleichungssystem die Substitution \( z = t \) durchgeführt, so ergibt sich:
\[ x+ y – t = 1 \Rightarrow x + y = 1 + t \]
\[ 2x- 2y + t = 3 \Rightarrow 2x-2y = 3- t \]
Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen in Abhängigkeit von $t$. Hieraus folgt:
\[x = \frac{t+5}{4} \quad \text{und} \quad y= \frac{3t-1}{4} \quad \text{wird ermittelt. } \]
Für \( t \in R\) existieren unendlich viele Zahlentripel wie \( \large (\frac{t+5}{4}, \frac{3t-1}{4}, t ) \), die das Gleichungssystem erfüllen.
\(3) \) Wenn die Anzahl der Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist und drei beträgt, kann die Lösungsmenge genau ein Element enthalten (oder die leere Menge sein oder unendlich viele Elemente enthalten).
In diesem Fall können die Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen angewendet werden, um die Lösungsmenge zu bestimmen.
Beispiel:
\[\begin{aligned}
x+y+z =& 7\\
2x-y+z=& 4\\
3x+y+z=& 9\\
\end{aligned}\]
Bestimmen wir die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. Dazu addieren wir die erste Gleichung zur zweiten Gleichung und die zweite Gleichung zur dritten Gleichung jeweils komponentenweise.
\[\begin{aligned}
x+y+z =& 7\\
+ \quad 2x-y+z=& 4\\
\hline
3x+ 2z = & 11
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
2x-y+z =& 4\\
+ \quad 3x+y+z=& 9\\
\hline
5x+ 2z = & 13
\end{aligned}\]
Führen wir nun eine simultane Lösung der beiden entstandenen Gleichungen mit zwei Variablen durch:
\[\begin{aligned}
5x+ 2z = & 13\\
– \quad 3x+ 2z = & 11\\
\hline
2x = & 2 \Rightarrow x = 1
\end{aligned}\]
Daraus werden die Werte \( x = 1, \; z = 4, \; y= 2 \) ermittelt.
Aufgabe 21
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 5 \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= 8 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} &= 7
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann das Produkt \( x \cdot y \cdot z \)?
\[
\text{A)} \frac{1}{6} \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } \frac{1}{5} \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } \frac{1}{30}
\]
Lösung:
Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit \(-1 \) multiplizieren und die drei Gleichungen komponentenweise addieren:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x}\; + \;\frac{1}{y} &= 5 \\
-\frac{1}{y} \;- \;\frac{1}{z} &= -8 \\
+ \quad \frac{1}{x} \;+ \;\frac{1}{z} &= 7\\
\hline\\
\frac{2}{x} = &4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 2
\end{aligned}
\]
Daraus folgt \(\frac{1}{x} = 2, \quad \frac{1}{y} = 3, \quad \frac{1}{z} = 5 \). Wenn wir diese Werte komponentenweise miteinander multiplizieren:
\[ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \]
\[ x \cdot y \cdot z = \frac{1}{30} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
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