Altersaufgaben
a) Wenn das Alter einer Person x ist,
\( \bullet \) ihr Alter nach \( t \) Jahren: \( x \; + \; t \)
\( \bullet \) ihr Alter vor \( t \) Jahren: \( x \; – \; t \) .
b) Wenn die Summe des Alters von n Personen x ist,
\( \bullet \) die Summe ihres Alters nach \( t \) Jahren: \( x \;+ \;n \cdot t \)
\( \bullet \) die Summe ihres Alters vor \( t \) Jahren: \( x \; – \;n \cdot t \) .
c) Der Altersunterschied zwischen zwei Personen ändert sich über die Jahre nicht, er ist konstant.
Beispiel:
Fatih ist 8 Jahre älter als Yavuz. Da das Verhältnis von Fatis Alter zu Yavuz‘ Alter in 5 Jahren \( \large \frac{3}{2} \) betragen wird, berechnen wir das Alter von Yavuz.
Wird das Alter von Yavuz mit \(x \) bezeichnet, so lautet das Alter von Fatih \( x+8 \). Da das Verhältnis von Fatis Alter zu Yavuz‘ Alter in 5 Jahren
\[ \frac{(x+ 8 ) + 5 }{x+5 } = \frac{3}{2} \] betragen wird, ergibt sich für das Alter von Yavuz \( x = 11 \).
Beispiel:
Erdem ist 4 Jahre älter als sein Geschwisterteil. Das Alter seines Vaters beträgt das 3-Fache von Erdems Alter. Da die Summe aller drei Alter vor 5 Jahren 41 betrug, bestimmen wir, wie alt der Vater war, als Erdem geboren wurde.
Bezeichnet man das Alter von Erdem mit \(x\), so ist das Alter seines Geschwisters \( x – 4 \) und das Alter seines Vaters \(3x \). Da die Summe derer Alter vor 5 Jahren gleich \( 41 \) war, beträgt die Summe ihres heutigen Alters: \[ 41 + 3 \cdot 5 = 56 \]. Daraus ergibt sich: \[ 3x + x + x – 4 = 56 \Rightarrow x = 12 \quad \text{und } \quad 3x = 36 \]
Demnach war der Vater bei Erdems Geburt: \[ 36-12 = 24 \] Jahre alt.
Beispiel:
Das Alter eines Vaters ist das 4-Fache des Altersunterschieds seiner beiden Kinder. Da das Alter des Vaters in 5 Jahren um 2 geringer sein wird als das 5-Fache des Altersunterschieds seiner Kinder, berechnen wir das aktuelle Alter des Vaters.
Bezeichnet man den Altersunterschied der beiden Kinder mit \(x \), so ist das aktuelle Alter des Vaters \(4x \) und sein Alter in 5 Jahren \(4x + 5\). Wenn man daraus die Gleichung für das gegebene Problem aufstellt:
\[ 4x + 5 = 5x − 2 \Rightarrow x = 7 \]
wird das aktuelle Alter des Vaters als \[ 4x = 28 \quad \text{ermittelt.} \]
Aufgabe 7
Alparslan ist 10 Jahre älter als Engin. Vor 8 Jahren war das Alter von Alparslan doppelt so groß wie das Alter von Engin. Wie hoch ist demnach die Summe des heutigen Alters von Alparslan und Engin?
\[
\text{A)} 28 \quad
\text{B) } 30\quad
\text{C) } 32 \quad
\text{D) } 36 \quad
\text{E) } 46
\]
Lösung:
Wird das Alter von Engin mit \(x \) bezeichnet, so ist das Alter von Alparslan \(x + 10 \); vor 8 Jahren betrug das Alter von Engin und Alparslan jeweils \( x − 8 \) bzw. \(x + 2 \). Wenn man die Gleichung für dieses Problem aufstellt:
\[x + 2 = 2 \cdot (x − 8) \Rightarrow x = 18 \] . Demnach lautet die Summe des aktuellen Alters von Alparslan und Engin:
\[ x + 10 + x = 18 + 10 + 18 = 46 \quad \text{Jahre.} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 8
Das Alter von Yunus ist das 3-Fache des Alters von Selim. Wenn sich das Alter von Yunus um die Hälfte seines eigenen Alters erhöht, beträgt die Summe ihrer beiden Alter 56. Wie hoch ist demnach das aktuelle Alter von Selim?
\[
\text{A)} 8 \quad
\text{B) } 9\quad
\text{C) } 10 \quad
\text{D) } 11 \quad
\text{E) } 12
\]
Lösung:
Wenn man das Alter von Selim mit \( 2x \) bezeichnet, beträgt das Alter von Yunus \( 6x \). Wenn das Alter von Yunus um die Hälfte seines eigenen Alters steigt (d. h. \( 3x \) Jahre später), wird das Alter von Selim zu \( 5x \) und das Alter von Yunus zu \( 9x \). Wenn man demnach die Gleichung aufstellt:
\[ 5x + 9x = 56 \Rightarrow x = 4 \] ergibt sich für das Alter von Selim:
\[ 2x = 8\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 9
Die Summe des Alters von drei Geschwistern beträgt 64. Das älteste Geschwisterkind ist 12 Jahre älter als das jüngste. Wenn das mittlere Geschwisterkind das aktuelle Alter des ältesten erreicht, beträgt die Alterssumme der Geschwister 88. Wie alt ist demnach das jüngste Geschwisterkind?
\[
\text{A)} 14 \quad
\text{B) } 16\quad
\text{C) } 18 \quad
\text{D) } 20 \quad
\text{E) } 24
\]
Lösung:
Das Alter des jüngsten Geschwisterkindes sei \( x \), das des mittleren \( y \) und das des ältesten \( x + 12 \). Das Alter des mittleren Geschwisterkindes ist nach \(x \;+ \; 12 \;- \; y \) Jahren gleich dem aktuellen Alter des ältesten Geschwisterkindes. Entsprechend steigt die Alterssumme der 3 Geschwister in dieser Zeit um:
\[ x\; + \; 12 \;-\; y \quad \text{Jahren um } \quad 88- 64 = 24 \] . Folglich gilt:
\[ 3 \cdot (x\; +\; 12 \;- \;y ) = 24 \Rightarrow y = x+ 4 \] . Da die Summe des Alters der 3 Geschwister 64 beträgt:
\[ x + (x +4 ) + (x + 12 ) = 64 \Rightarrow x = 16\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
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