Primzahlen
Ganze Zahlen größer als 1, die außer 1 und sich selbst keine weiteren positiven Teiler besitzen, werden als Primzahlen bezeichnet. Ganze Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen.
Die Menge der positiven Teiler von 11 ist $\{1, 11\}$. Da sie außer der 1 und sich selbst keine weiteren positiven Teiler besitzt, ist 11 eine Primzahl. Wie unschwer zu erkennen ist, gibt es außer der 2 keine weitere gerade Primzahl. Das bedeutet, dass mit Ausnahme der 2 alle Primzahlen ungerade Zahlen sind. Einige Beispiele für Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, … usw.
Die positiven Teiler einer Zahl, die selbst Primzahlen sind, nennt man die Primfaktoren dieser Zahl. Beispielsweise ist die Menge der positiven Teiler von 30 gleich $\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$. Aus dieser Menge sind die Zahlen 2, 3 und 5 die Primfaktoren von 30.
Primfaktorzerlegung einer Zahl:
Bei der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren beginnt man die Division mit der kleinsten Primzahl, durch die diese Zahl teilbar ist. Der resultierende Quotient wird wiederum durch die kleinste Primzahl geteilt, die ihn restlos teilt. Dieser Divisionsprozess wird so lange fortgesetzt, bis der Quotient schließlich 1 ergibt.
Als Beispiel wollen wir die Zahl 480 in ihre Primfaktoren zerlegen.
\[ \begin{array}{r|l}480 & 2 \\240 & 2 \\120 & 2 \\60 & 2 \\30 & 2 \\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \\\end{array} \]
$$2, 3 \quad \text{und} \quad 5 \quad \text{sind die Primfaktoren von 480, und die Primfaktorzerlegung von 480 lautet:}$$
$$480 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$$
Teilerfremde Zahlen (Aralarında Asal Sayılar):
Zahlen, die außer der 1 keinen weiteren gemeinsamen positiven Teiler besitzen, nennt man teilerfremde Zahlen. Zum Beispiel sind die Paare
$$7 \quad \text{und} \quad 11$$
$$11 \quad \text{und} \quad 15$$
$$8 \quad \text{und} \quad 21$$
zueinander teilerfremd.
Damit eine Gruppe von Zahlen teilerfremd ist, müssen die Zahlen selbst keine Primzahlen sein. Beispielsweise sind 8 und 21 keine Primzahlen, dennoch sind 8 und 21 zueinander teilerfremd.
Hinweis: Teilerfremde Zahlen können untereinander nicht weiter gekürzt werden. Demnach gilt: Wenn ein Bruch in seiner einfachsten Form vorliegt, sind Zähler und Nenner dieses Bruchs teilerfremd. Beispielsweise ist der Bruch $\frac{8}{14}$ äquivalent zum Bruch $\frac{4}{7}$, und die am weitesten gekürzte Form von $\frac{8}{14}$ ist $\frac{4}{7}$. Hierbei sind 4 und 7 teilerfremd.
Beispiel:
Die Ausdrücke $2x-y$ und $x-y$ sind teilerfremde Zahlen. Wenn \[\frac{2x-y}{x-y}=\frac{6}{10}\] gegeben ist, bestimmen wir den Wert des Produkts $x \cdot y$.
Da $2x-y$ und $x-y$ teilerfremd sind, muss der Bruch $$\frac{2x-y}{x-y}$$ in seiner am weitesten gekürzten Form vorliegen.
Es gilt also: $$\frac{2x-y}{x-y}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem $$2x-y = 3$$ $$x-y = 5$$ Wenn dieses Gleichungssystem gelöst wird, erhält man die Werte $x = -2$ und $y = -7$. Daraus ergibt sich $x \cdot y = (-2) \cdot (-7) = 14$.
Frage 9
$a$ and $b$ sind zwei teilerfremde Zahlen. Wenn $a^b = 64$ gilt, wie groß ist dann die Summe der verschiedenen möglichen Werte des Produkts $a \cdot b$?
\[A) 12\quad B) 24\quad C) 64\quad D) 70\quad E)76\quad\]
Lösung:
Wenn wir die Zahl 64 in der Form $a^b$ darstellen:
$$64 = (64)^1 \Rightarrow a = 64, \quad b = 1 \quad \text{64 und 1 sind teilerfremd.}$$
$$64 = (8)^2 \Rightarrow a = 8, \quad b = 2 \quad \text{8 und 2 sind nicht teilerfremd.}$$
$$64 = (4)^3 \Rightarrow a = 4, \quad b = 3 \quad \text{4 und 3 are teilerfremd.}$$
$$64 = (2)^6 \Rightarrow a = 2, \quad b = 6 \quad \text{2 und 6 sind nicht teilerfremd.}$$
Somit sind die für die Bedingungen der Aufgabe infrage kommenden Zahlenpaare $(a, b)$ entweder $(64, 1)$ oder $(4, 3)$. Demnach beträgt die Summe der Werte ihrer Produkte:
$$a \cdot b = 64 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 76$$
\(\textbf{Antwort: E}\)
Frage 10:
Wenn $n$ eine positive ganze Zahl ist, welches ist der kleinste Wert, den $n$ annehmen kann, damit das Produkt $90 \cdot n$ eine perfekte Kubikzahl (Vollwürfel) wird?
\[A) 100\quad B) 200\quad C) 300\quad D) 800\quad E)2400\quad\]
Lösung:
Wenn wir die Zahl 90 in ihre Primfaktoren zerlegen, erhalten wir:
$$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$
Aus diesem Produkt ist ersichtlich, dass wir 90 mit mindestens $$2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$$ multiplizieren müssen, damit das Ergebnis eine perfekte Kubikzahl ergibt. Der kleinste Wert für $n$ ist somit:
$$2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$$
\(\textbf{Antwort: C}\)
Positive Teiler einer ganzen Zahl:
Es seien $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n$ Primzahlen und $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \in \mathbb{N}^+$. Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl $A$ wird dargestellt als:
$A = P_1^{a_1} \cdot P_2^{a_2} \cdot P_3^{a_3} \cdots P_n^{a_n}$
Die Anzahl der positiven Teiler der ganzen Zahl $A$ beträgt dann:
$$ (a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot (a_3+1) \cdots (a_n+1) $$
Da diese Zahl ebenso viele negative Teiler wie positive Teiler besitzt, beträgt die Gesamtzahl aller Teiler der ganzen Zahl $A$:
$$ 2 \cdot (a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot (a_3+1) \cdots (a_n+1) $$
Beispiele:
- Die Menge der positiven Teiler von 72 ist $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$.
Wie man sieht, hat 72 genau 12 positive Teiler. Mithilfe der Formel lässt sich dies wie folgt berechnen:
$$ 72 = 2^3 \cdot 3^2 \quad \Rightarrow \quad (3+1) \cdot (2+1) = 12 $$
- Wir bestimmen die Gesamtzahl aller Teiler von 144.
Wenn man die Zahl als $$144 = 2^4 \cdot 3^2$$ schreibt, berechnet sich die Gesamtzahl aller Teiler wie folgt:
$$\quad 2 \cdot (4+1) \cdot (2+1) = 30$$
- Wir bestimmen die Anzahl der nicht-primwertigen Teiler von 360.
Aus $$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$$ ergibt sich die Gesamtzahl aller Teiler von 360 zu:
$$ 2 \cdot (3+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 48 $$
Da die Zahlen 2, 3 und 5 die Primteiler von 360 sind, beträgt die Anzahl der nicht-primwertigen Teiler von 360:
$$48 – 3 = 45$$
Frage 11:
Wie groß ist das Verhältnis der Anzahl der nicht-primwertigen Teiler von 112 zu seinen Primteilern?
\[A) 10\quad B) 9\quad C) 8\quad D) 5\quad E)4\quad\]
Lösung:
Aus $112 = 2^4 \cdot 7$ ergibt sich die Gesamtzahl aller Teiler von 112 zu $2 \cdot (4 + 1) \cdot (1 + 1) = 20$. Da die Anzahl der Primteiler gleich 2 ist, beträgt die Anzahl der nicht-primwertigen Teiler $20 – 2 = 18$. Das gesuchte Verhältnis der Anzahl der nicht-primwertigen Teiler zur Anzahl der Primteiler beträgt folglich:
$$\frac{18}{2} = 9$$
$$\text{Antwort: B}$$
Frage 12:
Wenn die Anzahl der nicht-primwertigen positiven Teiler der Zahl $6^{4n}$ gleich 623 ist, wie groß ist dann $n$?
\[A) 3\quad B) 4\quad C) 5\quad D) 6\quad E)8\quad\]
Lösung:
$$6^{4n} = (2 \cdot 3)^{4n} = 2^{4n} \cdot 3^{4n}$$
Demnach besitzt die Zahl $6^{4n}$ genau 2 Primteiler. Folglich beträgt die Gesamtzahl der positiven Teiler dieser Zahl $623 + 2 = 625$. In diesem Fall gilt:
$$625 = (4n+1) \cdot (4n+1)$$
$$ \Rightarrow (25)^2 = (4n+1)^2$$
$$\Rightarrow 25 = |4n+1|$$
$$\text{Da } 4n+1 > 0 \text{ gilt:}$$
$$25 = 4n + 1 \Rightarrow 4n = 24 \Rightarrow n = 6$$
$$\text{Antwort: D}$$
Frage 13:
Wie viele natürliche Zahlen können für $x$ eingesetzt werden, damit der Bruch \[ \frac{x^2 – 7x + 60}{x} \] eine ganze Zahl ergibt?
\[A) 24\quad B) 16\quad C) 12\quad D) 10\quad E)8\quad\]
Lösung:
Da sich der Bruch wie folgt umschreiben lässt: \[ \frac{x^2 – 7x + 60}{x} = x – 7 + \frac{60}{x} \]
muss der Term $\frac{60}{x}$ eine ganze Zahl sein, damit der Gesamtausdruck ganzzahlig wird. Das bedeutet, dass die Zahl 60 restlos durch $x$ teilbar sein muss. Da wir nach der Anzahl der natürlichen Zahlen für $x$ suchen, genügt es, die Anzahl der positiven Teiler von 60 zu bestimmen. Entsprechend gilt:
\[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad \text{Die Anzahl der positiven Teiler von 60 beträgt:} \] \[ (2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 12 \]
Es gibt also 12 natürliche Zahlen, die für $x$ eingesetzt werden können.
$$\textbf{Antwort: C}$$
Summe und Produkt der positiven Teiler einer ganzen Zahl:
Wenn die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl $A$ gegeben ist durch \[ A = P_1^{a_1} \cdot P_2^{a_2} \cdot P_3^{a_3} \cdots P_n^{a_n} \]
- Summe der positiven Teiler der ganzen Zahl A:
\[ \frac{1 – P_1^{a_1 + 1}}{1 – P_1} \cdot \frac{1 – P_2^{a_2 + 1}}{1 – P_2} \cdot \frac{1 – P_3^{a_3 + 1}}{1 – P_3} \cdots \frac{1 – P_n^{a_n + 1}}{1 – P_n } \] sowie
- Produkt der positiven Teiler der ganzen Zahl A:
\[ \text{Mit } x = \frac{(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \cdots (a_n + 1)}{2} \quad \text{beträgt das Produkt } A^x. \]
Beispiele:
- Da sich die Zahl 48 als $48 = 2^4 \cdot 3$ faktorisieren lässt, berechnen sich die Summe und das Produkt ihrer positiven Teiler jeweils zu:
\[ \frac{1 – 2^5}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^2}{1 – 3} = 124 \quad \text{und} \quad \left( 48 \right)^{\frac{(4+1) \cdot (1+1)}{2}} = (48)^5 \]
- Da sich die Zahl 12 als $12 = 2^2 \cdot 3$ faktorisieren lässt, berechnen sich die Summe und das Produkt ihrer positiven Teiler jeweils zu:
\[ \frac{1 – 2^3}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^2}{1 – 3} = 28 \quad \text{und} \quad \left( 12 \right)^{\frac{(2+1) \cdot (1+1)}{2}} = (12)^3 \]
Beispiel:
Wir bestimmen die Summe der nicht-primwertigen positiven Teiler von 54.
\[ 54 = 2 \cdot 3^3 \quad \Rightarrow \quad \text{Die Summe der positiven Teiler von 54 beträgt:} \]
\[ \frac{1 – 2^2}{1 – 2} \cdot \frac{1 – 3^4}{1 – 3} = 120 \]
Da die Summe der Primteiler von 54 gleich $2 + 3 = 5$ ist, beträgt die Summe der nicht-primwertigen positiven Teiler von 54:
\[ 120 – 5 = 115 \]
Zahlen, die kleiner als eine ganze Zahl A und teilerfremd zu A sind:
Unter dieser Bedingung lässt sich die Anzahl der positiven ganzen Zahlen, die kleiner als $A$ und teilerfremd zu $A$ sind (Eulersche Phi-Funktion), wie folgt berechnen:
Beispiel:
Wir berechnen, wie viele Zahlen kleiner als 144 und teilerfremd zu 144 sind.
Da $144 = 2^4 \cdot 3^2$ gilt, beträgt die Anzahl der Zahlen, die kleiner als 144 und teilerfremd dazu sind: