Der Betrag (Modul) einer komplexen Zahl
In der komplexen Zahlenebene wird der Abstand eines Punktes, der einer komplexen Zahl entspricht, zum Koordinatenursprung (Nullpunkt) als Betrag oder Modul dieser komplexen Zahl bezeichnet. Der Betrag der Zahl \( z = a \ \ + \ \ bi \) wird mit \( |z| \) symbolisiert.
In der Gaußschen Zahlenebene entspricht der Betrag von \( z = a \ \ + \ \ bi \) dem geometrischen Abstand des Punktes zum Ursprung.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für diesen Abstand:
\[
|z|^{2} = a^{2} \ \ + \ \ b^{2}
\]
Daraus ergibt sich die Formel:
\[
|z| = \sqrt{ a^{2} \ \ + \ \ b^{2} }
\]
Beispiele:
- \( z = -3 \ \ + \ \ 4i \)
\( |z| = \sqrt{ (-3)^{2} \ \ + \ \ 4^{2} } = 5 \)
- \( z = 1 \ \ – \ \ 2\sqrt{2}i \)
\( |z| = \sqrt{ 1^{2} \ \ + \ \ (-2\sqrt{2})^{2} } = 3 \)
- \( z = 1 \ \ + \ \ \sqrt{2} \ \ – \ \ i \)
\( |z| = \sqrt{ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})^{2} \ \ + \ \ (-1)^{2} } = \sqrt{ 4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2} } \)
- \( z = -3i \)
\( |z| = \sqrt{ 0^{2} \ \ + \ \ (-3)^{2} } = 3 \)
Eigenschaften des Betrags:
1) \( |z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| \)
2) \( |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}| \)
3) \( \left| \displaystyle \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right| = \displaystyle \frac{ |z_{1}| }{ |z_{2}| } \quad \) ( mit \( z_{2} \neq 0 \) )
4) \( |z^{n}| = |z|^{n} \)
5) \( z \cdot \bar{z} = |z|^{2} \)
6) \( |z_{1} \ \ + \ \ z_{2}| \leq |z_{1}| \ \ + \ \ |z_{2} \quad \) (Dreiecksungleichung)
7) \( |z_{1} \ \ – \ \ z_{2}| \geq \left| |z_{1}| \ \ – \ \ |z_{2}| \right| \)
Beispiele:
- \( \left| \displaystyle \frac{ 2 \ \ + \ \ \sqrt{5}i }{ 1 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}i } \right| \)
\( = \displaystyle\frac{ \sqrt{ 2^{2} \ \ + \ \ (\sqrt{5})^{2} } }{ \sqrt{ 1^{2} \ \ + \ \ (2\sqrt{2})^{2} } } \)
\( =\displaystyle \frac{ 3 }{ 3 } = 1 \)
- \( |(\sqrt{3} \ \ – \ \ i)^{7} \cdot (3 \ \ + \ \ 4i)| \)
\( = |(\sqrt{3} \ \ – \ \ i)^{7}| \cdot |3 \ \ + \ \ 4i| \)
\( = \left( \sqrt{ (\sqrt{3})^{2} \ \ + \ \ (-1)^{2} } \right)^{7} \cdot 5 \)
\( = 2^{7} \cdot 5 = 640 \)
AUFGABE 18
Wie lautet der Betrag der komplexen Zahl \( z = \displaystyle \frac{ (-8 \ \ + \ \ 6i)^{5} }{ \sqrt[3]{ 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i } } \)?
\[ A) \ 5 \cdot 10^{3} \quad B) \ 5 \cdot 10^{4} \quad C) \ 5 \cdot 10^{5} \quad D) \ 5 \cdot 10^{6} \quad E) \ 5 \cdot 10^{7} \]
Lösung:
\[
|z| = \left| \displaystyle \frac{ (-8 \ \ + \ \ 6i)^{5} }{ \sqrt[3]{ 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i } } \right|
= \displaystyle \frac{ | -8 \ \ + \ \ 6i |^{5} }{ \left| 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i \right|^{1/3} }
\]
\[
= \displaystyle \frac{ \left(\sqrt{(-8)^2 + 6^2}\right)^{5} }{ \left(\sqrt{7^2 + (\sqrt{15})^2}\right)^{1/3} } = \frac{ 10^{5} }{ \sqrt[3]{64} } = \frac{ 10^{5} }{ 4 } = \frac{10 \cdot 10^4}{2} = 5 \cdot 10^{4}
\]
*(Hinweis zur Modulberechnung des Nenners: \(\sqrt[3]{|7+\sqrt{15}i|} = \sqrt[3]{\sqrt{49+15}} = \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = 2\))*
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 19
Wie lautet der Betrag der komplexen Zahl \( z = \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi }{ x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi } \)?
\[ A) \ 1 \quad B) \ x \quad C) \ \displaystyle \frac{1}{x} \quad D) \ 2x \quad E) \ \displaystyle \frac{1}{2x} \]
Lösung:
\[
|z| = \left| \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi }{ x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi } \right| = \displaystyle \frac{ | 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi | }{ | x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi | }
\]
\[
= \displaystyle \frac{ \sqrt{ (1 \ \ – \ \ x)^{2} \ \ + \ \ x^{2} } }{ \sqrt{ (x \ \ – \ \ 1)^{2} \ \ + \ \ (-x)^{2} } }
\]
Da \( (1-x)^2 = (x-1)^2 \) und \( x^2 = (-x)^2 \) gilt, sind Zähler und Nenner identisch:
\[
= 1
\]
\( \textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 20
Wenn \( z_{1}, z_{2} \) die Lösungen der quadratischen Gleichung:
\[ iz^{2} \ \ – \ \ (\sqrt{3} \ \ – \ \ i)z \ \ + \ \ \sqrt{7} \ \ + \ \ 3i = 0 \]
sind, welchen Wert hat dann der Ausdruck \( \left| \displaystyle \frac{1}{z_{1}} \ \ + \ \ \frac{1}{z_{2}} \right| \)?
\[ A) \ \displaystyle \frac{1}{3} \quad B) \ \displaystyle \frac{1}{2} \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]
Lösung:
Durch Gleichnamigmachen der Brüche erhalten wir:
\[ \left| \displaystyle \frac{1}{z_{1}} +\displaystyle \frac{1}{z_{2}} \right| = \left| \displaystyle\frac{ z_{1} + z_{2} }{ z_{1} z_{2} } \right| \]
Nach dem Satz von Vieta für die Wurzelsumme (\( z_1 + z_2 = -b/a \)) und das Wurzelprodukt (\( z_1 z_2 = c/a \)) gilt:
\[ = \left| \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ \sqrt{3} \ – \ i }{i} } { \displaystyle\frac{ \sqrt{7} + 3i }{i} } \right| = \left| \displaystyle\frac{ \sqrt{3} \ – \ i }{ \sqrt{7} + 3i } \right| \]
Unter Verwendung der Divisionseigenschaft des Betrags:
\[ =\displaystyle \frac{ |\sqrt{3} \ – \ i| }{ |\sqrt{7} + 3i| } = \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(\sqrt{7})^2 + 3^2}} = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt{16} } = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 21
Wenn \( z_{1}, z_{2} \) die Lösungen der Gleichung:
\[
\displaystyle \frac{ z – 1 – \displaystyle \frac{2}{z} }{ z – 2 } + z = 0
\]
sind, wie lautet der Wert von \( |z_{1}| \)?
\[ A) \ 5 \quad B) \ 4 \quad C) \ 3 \quad D) \ 2 \quad E) \ 1 \]
Lösung:
Zuerst bringen wir den Zähler des Hauptbruchs auf einen gemeinsamen Nenner:
\[ \displaystyle \frac{ z – 1 – \displaystyle \frac{2}{z} }{ z – 2 } + z = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{ z^{2} – z – 2 }{z} }{ z – 2 } + z = 0 \]
Der quadratische Ausdruck lässt sich faktorisieren als \( z^2 – z – 2 = (z – 2)(z + 1) \):
\[
\Rightarrow \displaystyle \frac{ (z – 2)(z + 1) }{ z(z – 2) } + z = 0
\]
Unter den Bedingungen \( z \neq 2 \) und \( z \neq 0 \) können wir den Term \( (z – 2) \) kürzen:
\[
\Rightarrow \frac{z + 1}{z} + z = 0
\]
\[
\Rightarrow z + 1 + z^{2} = 0 \Rightarrow z^{2} + z + 1 = 0
\]
Mithilfe der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel):
\[
\Rightarrow z_{1,2} = \frac{ -1 \ \pm \ \sqrt{ 1^2 – 4(1)(1) } }{ 2 \cdot 1 } = -\frac{1}{2} \ \pm \ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } i
\]
Nun berechnen wir den Betrag dieser Nullstellen:
\[
|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{ \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right)^{2} } = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1
\]
\( \textbf{Antwort: E} \)