Umkehrfunktion (Inverse Funktion)
Es sei eine bijektive (injektive und surjektive) Funktion gegeben durch:
\[
f: A \to B, \quad f = \{ (x, y) \mid x \in A \text{ und } y \in B \}
\]
Die Funktion, y-Werte wieder auf ihre ursprünglichen x-Werte zurückheftet, heißt Umkehrfunktion von $f$ (oder inverse Funktion) ve wird mit $f^{-1}$ bezeichnet:
\[
f^{-1}: B \to A, \quad f^{-1} = \{ (y, x) \mid (x, y) \in f \}
\]
Da gilt $(x, y) \in f \Leftrightarrow (y, x) \in f^{-1}$, ergibt sich das fundamentale Prinzip:
\[
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)
\]
Wenn $f: A \to B$ eine bijektive Abbildung ist, dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}: B \to A$ zwingend bijektiv.
Zudem gilt die Involutorik (die doppelte Umkehrung hebt sich auf):
\[
(f^{-1})^{-1} = f
\]
Wenn $f: A \to B$ keine bijektive Funktion ist, dann ist $f^{-1}$ keine gültige Funktion von $B$ nach $A$, sondern lediglich eine mathematische Relation.
Beispiel:
\[ f: A \to B \quad \text{ist eine nicht-surjektive In-Funktion, weshalb } \quad f^{-1} \quad \text{nur eine Relation von B nach A darstellt.} \]
Beispiel:
Für die explizit definierte Funktion $f: A \to B$:
\[ f = \{ (1, b), (2, a), (3, c), (4, d) \} \]
lautet die entsprechende Umkehrfunktion $f^{-1}: B \to A$:
\[ f^{-1} = \{ (b, 1), (a, 2), (c, 3), (d, 4) \} \]
Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
Um die Umkehrfunktion einer algebraischen Gleichung $y = f(x)$ zu bestimmen, nutzt man den Zusammenhang $y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$, indem man die Gleichung nach der Variablen $x$ auflöst und anschließend die Bezeichnungen von $x$ und $y$ miteinander vertauscht.
Beispiele:
$\bullet \quad$ Bestimmen wir die Umkehrfunktion für $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{x – 1}{2}$.
\[
y = \frac{x – 1}{2} \Rightarrow 2y = x – 1 \Rightarrow x = 2y + 1
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = 2y + 1
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = 2x + 1
\]
$\bullet \quad$ Bestimmen wir die Umkehrfunktion für $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 + 1$.
\[
y = x^3 + 1 \Rightarrow y – 1 = x^3 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y – 1}
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y – 1}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x – 1}
\]
$\bullet \quad$ Bestimmen wir die Umkehrfunktion für $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2$.
\[
y = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{y}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \pm \sqrt{x}
\]
Da die quadratische Funktion $f$ auf der gesamten Definitionsmenge der reellen Zahlen nicht bijektiv (nicht injektiv) ist, liefert die Zuordnung $f^{-1}$ keine eindeutigen Funktionswerte, sondern stellt, wie im Graphen ersichtlich, eine mehrdeutige Relation dar.
$\bullet \quad$ Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{-x}{x – 3}$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{R} – \{3\}$. Wir bestimmen die Umkehrfunktion sowie deren Definitionsbereich.
\[
y = \frac{-x}{x – 3} \Rightarrow y(x – 3) = -x \Rightarrow xy – 3y = -x
\]
\[
\Rightarrow xy + x = 3y \Rightarrow x(y + 1) = 3y
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = \frac{3y}{y + 1}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{3x}{x + 1}
\]
Damit dieser rationale Term eine wohldefinierte Funktion bildet, muss der Nenner ungleich Null sein: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Zielmenge der ursprünglichen Funktion, also $\mathbb{R} – \{-1\}$.
Praktische Formel (Spezialfall rationaler Funktionen):
Für eine bijektive, gebrochen-lineare Funktion der Form:
\[
f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}
\]
lässt sich die Umkehrfunktion bestimmen, indem man die Koeffizienten $a$ und $d$ diagonal vertauscht und deren Vorzeichen umkehrt:
\[
f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx – a}
\]
Daraus ergibt sich direkt: Damit eine Funktion mit ihrer eigenen Umkehrfunktion identisch ist ($f(x) = f^{-1}(x)$), muss die Bedingung $a = -d$ erfüllt sein.
Beispiel:
Gegeben sei die Funktion:
\[
f: \mathbb{R} – \{3\} \to \mathbb{R} – \{2\}, \quad f(x) = \frac{2x – 1}{x – 3}
\]
Durch direkte Anwendung der obigen Regel erhalten wir:
\[
f^{-1}(x) = \frac{3x – 1}{x – 2}
\]
AUFGABE 21
Die Funktion
\[
f(x) = \frac{mx + 5}{x – 1}
\]
ist bijektiv. Bestimme den Wert von $m$ unter der Bedingung, dass die Funktion zu sich selbst invers ist, also gilt:
\[
f(x) = f^{-1}(x)
\]
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Lösung:
Aus der Bedingung $f(x) = f^{-1}(x)$ folgt:
\[
\frac{mx + 5}{x – 1} = \frac{x + 5}{x – m}
\]
Unter Verwendung unseres Kriteriums für selbstinverse rationale Funktionen ($a = -d$), wobei hier $a = m$ und $d = -1$ ist, erhalten wir direkt $m = -(-1)$, woraus folgt:
\[
\Rightarrow m = 1
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Umkehrung quadratischer Funktionen:
Um bei einer quadratischen Funktion der Form $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ die Variable $x$ isolieren zu können, muss der Term zunächst mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden.
Beispiel:
Die im Graphen gezeigte Funktion,
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 – 2x + 3
\]
ist auf der gesamten Ebene nicht bijektiv, weshalb ihre globale Umkehrung keine Funktion darstellt. Schränkt man die Definitions- und Wertemenge jedoch auf einen monoton steigenden Ast ein (z. B. $x \geq 1$ und $y \geq 2$), wird die Funktion bijektiv und umkehrbar:
\[
f: [1, \infty) \to [2, \infty), \quad f(x) = x^2 – 2x + 3
\]
\[
y = x^2 – 2x + 1 + 2
\]
\[
\Rightarrow y = (x – 1)^2 + 2
\]
\[
\Rightarrow y – 2 = (x – 1)^2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{y – 2} = |x – 1|
\]
Da laut Intervallvorgabe $x \geq 1$ gilt, ist der Betrag positiv auflösbar ($|x – 1| = x – 1$):
\[
\Rightarrow \sqrt{y – 2} = x – 1
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt{y – 2} + 1
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{x – 2} + 1
\]
Wichtiger Hinweis für Punktberechnungen:
Wenn lediglich der Funktionswert der Umkehrfunktion an einer bestimmten Stelle gesucht ist, ist es nicht notwendig, erst die allgemeine algebraische Gleichung für $f^{-1}(x)$ herzuleiten. Man nutzt stattdessen direkt die Äquivalenz der Zuordnung.
Beispiel:
Gegeben sei die Funktion:
\[
f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 + 1}
\]
Wir suchen den Wert von $f^{-1}(2)$ unter zulässigen Bedingungen.
\[
\text{Wegen } x = f^{-1}(y) \Leftrightarrow y = f(x) \text{ gilt der Zusammenhang:}
\]
\[
x = f^{-1}(2) \Leftrightarrow 2 = f(x)
\]
Wir setzen den Funktionsterm also einfach gleich 2:
\[
2 = \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \Rightarrow 2x^2 + 2 = 2x^2 + x + 1
\]
Das Subtrahieren von $2x^2$ auf beiden Seiten vereinfacht die Gleichung zu:
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(2) = 1
\]
AUFGABE 22
Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 + ax + a$. Wenn unter geeigneten Bedingungen gilt, dass $f^{-1}(5) = 1$ ist, wie lautet der Wert von $a$?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
\[
\text{Es gilt die Äquivalenz } y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y):
\]
\[
f^{-1}(5) = 1 \Rightarrow 5 = f(1)
\]
Wir setzen $x = 1$ in den Funktionsterm ein:
\[
5 = 1^3 + a(1) + a
\]
\[
5 = 1 + 2a \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Geometrische Eigenschaften des Inversengraphen:
Der Graph einer Funktion $y = f(x)$ und der Graph ihrer Umkehrfunktion $y = f^{-1}(x)$ liegen spiegelbildlich zueinander. Die Spiegelachse ist die erste Winkelhalbierende mit der Gleichung $y = x$.
Beispiel:
Beispiel:
Bestimmen wir den Wert des Ausdrucks $f^{-1}(1) + f^{-1}(-1)$ anhand des gegebenen Funktionsgraphen.
\[
\text{Es gilt der Zusammenhang } y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y):
\]
Aus dem Punkt $(2, 1)$ des Graphen entnehmen wir: $1 = f(2) \Rightarrow 2 = f^{-1}(1)$.
Aus dem Punkt $(-3, -1)$ des Graphen entnehmen wir: $-1 = f(-3) \Rightarrow -3 = f^{-1}(-1)$.
Durch Addition der beiden ermittelten Werte erhalten wir:
\[
f^{-1}(1) + f^{-1}(-1) = 2 + (-3) = -1
\]