Auf quadratische Gleichungen zurückführbare Gleichungen

 

Einige Gleichungen höheren Grades oder nichtlineare Gleichungen können durch geeignete algebraische Umformungen oder Substitutionen in eine standardmäßige quadratische Gleichung mit einer Variablen transformiert werden.

 

1) Gleichungen, die das Produkt oder den Quotienten von Polynomen beinhalten:

 

Eine Polynomgleichung $n$-ten Grades in einer Variablen besitzt genau $n$ Nullstellen (welche reell oder komplex sein können).

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^4 – 3x^3 + 2x^2 – 6x = 0$.

\[
x^4 – 3x^3 + 2x^2 – 6x = 0 \Rightarrow x(x^3 – 3x^2 + 2x – 6) = 0
\]

\[
\Rightarrow x\left[x^2(x – 3) + 2(x – 3)\right] = 0
\]

\[
\Rightarrow x(x – 3)(x^2 + 2) = 0
\]

\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{oder} \quad x – 3 = 0 \quad (\text{da } x^2 + 2 \neq 0 \text{ für reelle Zahlen})
\]

\[
\Rightarrow L = \{ 0, 3 \}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $(2x – 4)(x^2 – 2x – 2) = 0$.

\[
(2x – 4)(x^2 – 2x – 2) = 0
\]

\[
\Rightarrow 2x – 4 = 0 \quad \text{oder} \quad x^2 – 2x – 2 = 0
\]

Unter Verwendung der p-q-Formel (oder Mitternachtsformel) für den zweiten Teil:
\[
x_1 = 2 \quad \text{oder} \quad x_2 = 1 + \sqrt{3} \quad \text{oder} \quad x_3 = 1 – \sqrt{3}
\]

\[
\Rightarrow L = \{ 1 – \sqrt{3}, 2, 1 + \sqrt{3} \}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $ \displaystyle \frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x^2 – x – 2} = 0$.

\[
\frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x^2 – x – 2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2(x – 2) – (x – 2)}{(x – 2)(x + 1)} = 0
\]

\[
\Rightarrow \frac{(x – 2)(x^2 – 1)}{(x – 2)(x + 1)} = 0
\]

Von hier aus bestimmen wir die Nullstellen des Zählers, während wir sicherstellen, dass der Nenner ungleich Null ist:

\[
(x – 2)(x^2 – 1) = 0 \quad \text{und} \quad (x – 2)(x + 1) \neq 0
\]

\[
\Rightarrow (x = 2 \text{ oder } x = \pm 1) \quad \text{und} \quad (x \neq 2 \text{ und } x \neq -1)
\]

Folglich sind $x = 2$ und $x = -1$ als Scheinlösungen ausgeschlossen (da sie den Nenner zu Null machen).
\[
\Rightarrow L = \{ 1 \}
\]

 

AUFGABE 4

 

Es sei $m$ eine reelle Zahl ungleich Null.

 

\[
\frac{mx^3 + (2 + m)x^2 – x – 3}{x – 1} = 0
\]

Diese Gleichung besitzt genau zwei verschiedene reelle Lösungen. Bestimmen Sie die Summe dieser Lösungen.

 

\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } -2 \quad
\text{D) } -3 \quad
\text{E) } -4
\]

 

Lösungweg:

 

Da der Zähler ein Polynom dritten Grades ist, besitzt er drei Nullstellen. Damit die gebrochenrationale Gleichung genau zwei reelle Lösungen liefert, muss eine der Nullstellen des Zählers mit der Nullstelle des Nenners übereinstimmen und sich somit wegkürzen.

Die Nullstelle des Nenners lautet:
\[
x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

Wir setzen $x = 1$ in den Zähler ein, um diesen gleich Null zu setzen:
\[
m(1)^3 + (2 + m)(1)^2 – 1 – 3 = 0
\]
\[
m + 2 + m – 1 – 3 = 0 \Rightarrow 2m – 2 = 0 \Rightarrow m = 1
\]

Nun schreiben wir die Gleichung mit $m = 1$ neu und faktorisieren sie:
\[
\frac{x^3 + 3x^2 – x – 3}{x – 1} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2(x + 3) – 1(x + 3)}{x – 1} = 0 \Rightarrow \frac{(x + 3)(x^2 – 1)}{x – 1} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x + 3)(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = 0
\]

Da $x – 1 \neq 0$ gelten muss, können wir den gemeinsamen Faktor kürzen:
\[
(x + 3)(x + 1) = 0 \quad \text{für } x \neq 1
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -3 \quad \text{und} \quad x_2 = -1
\]

Die Summe dieser beiden reellen Lösungen beträgt:
\[
x_1 + x_2 = -3 + (-1) = -4
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 5

 

Bestimmen Sie die Summe der Lösungen der folgenden Gleichung:

\[
\frac{x – \frac{9}{x}}{x^2 – x + 1 – \frac{1}{x}} + \frac{1}{x – 1} = 0
\]

 

\[
\text{A) } -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösungweg:

 

Zuerst machen wir die Terme im Zähler und Nenner des Hauptbruchs jeweils gleichnamig:
\[
\frac{\frac{x^2 – 9}{x}}{\frac{x(x^2 – x + 1) – 1}{x}} + \frac{1}{x – 1} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{\frac{x^2 – 9}{x}}{\frac{x^3 – x^2 + x – 1}{x}} + \frac{1}{x – 1} = 0
\]

Wir vereinfachen, indem wir das $x$ in den Nennern kürzen:
\[
\frac{x^2 – 9}{x^3 – x^2 + x – 1} + \frac{1}{x – 1} = 0
\]

Wir faktorisieren den Nenner durch Ausklammern in Gruppen: $x^3 – x^2 + x – 1 = x^2(x – 1) + 1(x – 1) = (x – 1)(x^2 + 1)$.
\[
\Rightarrow \frac{x^2 – 9}{(x – 1)(x^2 + 1)} + \frac{1}{x – 1} = 0
\]

Wir addieren die Brüche, indem wir sie auf den Hauptnenner $(x – 1)(x^2 + 1)$ bringen:
\[
\Rightarrow \frac{x^2 – 9 + 1(x^2 + 1)}{(x – 1)(x^2 + 1)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{2x^2 – 8}{(x – 1)(x^2 + 1)} = 0 \Rightarrow \frac{2(x^2 – 4)}{(x – 1)(x^2 + 1)} = 0
\]

Damit dieser Ausdruck gleich Null ist, muss der Zähler Null sein, während der Nenner ungleich Null bleiben muss:
\[
2(x^2 – 4) = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
\]
Da weder $x = 2$ noch $x = -2$ den Nenner $(x – 1)(x^2 + 1)$ zu Null macht, sind beide Werte gültige Lösungen.

Die Summe der Lösungen beträgt:
\[
x_1 + x_2 = -2 + 2 = 0
\]

\(\textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

AUFGABE 6

 

Wie lautet die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über den reellen Zahlen?

\[
\frac{1}{x – 2} + \frac{4 – 8x}{x^3 – 8} = \frac{1}{x^2 + 2x + 4}
\]

 

\[
\text{A) } \{3\} \quad
\text{B) } \{1, 3\} \quad
\text{C) } \{2\} \quad
\text{D) } \{2, 5\} \quad
\text{E) } \{5\}
\]

 

Lösungweg:

 

Beachten Sie, dass nach der Differenz von zwei Kuben gilt: $x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$. Wir bringen alle Terme auf eine Seite und machen sie gleichnamig:
\[
\frac{1}{x – 2} + \frac{4 – 8x}{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)} – \frac{1}{x^2 + 2x + 4} = 0
\]

Wir bringen die Brüche auf den Hauptnenner:
\[
\frac{(x^2 + 2x + 4) + (4 – 8x) – (x – 2)}{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2 – 7x + 10}{x^3 – 8} = 0
\]

Wir faktorisieren den Zähler:
\[
\Rightarrow \frac{(x – 2)(x – 5)}{x^3 – 8} = 0
\]

Wenn wir den Zähler gleich Null setzen, erhalten wir $x = 2$ oder $x = 5$.
Wir müssen jedoch die Definitionsmenge beachten: $x^3 – 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Daher ist $x = 2$ eine Scheinlösung.

Die einzige gültige Lösung ist:
\[
L = \{ 5 \}
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 7

 

Was ist das Produkt der Lösungen der Gleichung?

\[
\frac{x + 1}{x – 2} – \frac{1}{x + 3} = \frac{9}{x^2 + x – 6}
\]

\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -3 \quad
\text{C) } -4 \quad
\text{D) } -5 \quad
\text{E) } -6
\]

 

Lösungweg:

 

Wir faktorisieren den Nenner auf der rechten Seite: $x^2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)$.
Wir bringen alle Terme auf die linke Seite und fassen sie unter dem Hauptnenner zusammen:
\[
\frac{(x + 1)(x + 3) – 1(x – 2) – 9}{(x – 2)(x + 3)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x^2 + 4x + 3) – x + 2 – 9}{(x – 2)(x + 3)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2 + 3x – 4}{(x – 2)(x + 3)} = 0
\]

Wir faktorisieren den neuen Zähler:
\[
\frac{(x – 1)(x + 4)}{(x – 2)(x + 3)} = 0
\]

Dies liefert die möglichen Lösungen $x = 1$ und $x = -4$. Kein Wert macht den Nenner zu Null ($x \neq 2, x \neq -3$).
Das Produkt der Lösungen lautet somit:
\[
x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-4) = -4
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

2)Gleichungen, die durch Substitution (Hilfsvariablen) lösbar sind:

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^6 – 7x^3 – 8 = 0$.

Wir substituieren $x^3 = t$. Durch Einsetzen dieses Terms transformiert sich die Gleichung in eine quadratische Form:
\[
t^2 – 7t – 8 = 0 \Rightarrow (t – 8)(t + 1) = 0
\]

Nun führen wir die Rücksubstitution $t = x^3$ durch:
\[
(x^3 – 8)(x^3 + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow (x – 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 1)(x^2 – x + 1) = 0
\]

Für reelle Lösungen weisen die quadratischen Terme $x^2 + 2x + 4 = 0$ und $x^2 – x + 1 = 0$ eine negative Diskriminante ($\Delta < 0$) auf und liefern keine reellen Nullstellen.
Somit ergeben sich die einzigen reellen Lösungen aus:
\[
x – 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2 \quad \text{oder} \quad x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1
\]

Die reelle Lösungsmenge lautet:
\[
L = \{ -1, 2 \}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $2x + \sqrt{x} – 6 = 0$.

Wir substituieren $\sqrt{x} = t$ (wobei $t \geq 0$ sein muss). Dann gilt $x = t^2$:
\[
2t^2 + t – 6 = 0 \Rightarrow (2t – 3)(t + 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow t = \frac{3}{2} \quad \text{oder} \quad t = -2
\]

Rücksubstitution von $t = \sqrt{x}$:
\[
\sqrt{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{9}{4}
\]
\[
\sqrt{x} = -2 \Rightarrow \text{Keine reelle Lösung (eine Quadratwurzel kann im Reellen nicht negativ sein)}
\]

Die endgültige Lösungsmenge lautet:
\[
L = \left\{ \frac{9}{4} \right\}
\]

 

AUFGABE 8

 

Welcher der folgenden Werte ist eine der Lösungen der Gleichung?

\[ 4^{(x^2)} – 15 \cdot 2^{(x^2)} – 16 = 0 \]

 

\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]

 

Lösungweg:

 

Wir schreiben den ersten Term um als $4^{(x^2)} = (2^2)^{(x^2)} = (2^{(x^2)})^2$.
Wir substituieren $2^{(x^2)} = t$ (wobei $t > 0$). Die Gleichung lautet dann:
\[
t^2 – 15t – 16 = 0 \Rightarrow (t – 16)(t + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow t = 16 \quad \text{oder} \quad t = -1
\]

Da $t = 2^{(x^2)}$ strikt positiv sein muss, ist $t = -1$ unmöglich.
Wir setzen $t = 16$:
\[
2^{(x^2)} = 16 \Rightarrow 2^{(x^2)} = 2^4
\]
\[
\Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \quad \text{oder} \quad x = -2
\]

Antwortmöglichkeit A enthält die Lösung $2$.

\(\textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

AUFGABE 9

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[\sqrt[5]{x^4} + \sqrt[5]{x^2} – 2 = 0 \]

\[
\text{A) } \{1, 2\} \quad
\text{B) } \{-1, 1\} \quad
\text{C) } \{3\} \quad
\text{D) } \{-3\} \quad
\text{E) } \{-2, 2\}
\]

 

Lösungweg:

 

Beachten Sie, dass $\sqrt[5]{x^4} = (\sqrt[5]{x^2})^2$ gilt. Wir substituieren $\sqrt[5]{x^2} = t$:
\[
t^2 + t – 2 = 0 \Rightarrow (t + 2)(t – 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow t = 1 \quad \text{oder} \quad t = -2
\]

Rücksubstitution von $t = \sqrt[5]{x^2}$:
1. $\sqrt[5]{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1^5 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
2. $\sqrt[5]{x^2} = -2 \Rightarrow x^2 = (-2)^5 = -32$. Dies liefert keine reellen Lösungen, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann.

Die reelle Lösungsmenge lautet:
\[
L = \{-1, 1\}
\]

\(\textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

AUFGABE 10

 

Welcher Wert von $x$ erfüllt die Gleichung?

\[\sqrt[3]{x – 7} + \frac{1}{\sqrt[3]{x – 7}} = 2 \]

\[
\text{A) } 4 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Lösungweg:

 

Wir substituieren $\sqrt[3]{x – 7} = t$:
\[
t + \frac{1}{t} = 2
\]
Wir multiplizieren beide Seiten mit $t$:
\[
t^2 + 1 = 2t \Rightarrow t^2 – 2t + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow (t – 1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1
\]

Wir führen die Rücksubstitution durch, um nach $x$ aufzulösen:
\[
\sqrt[3]{x – 7} = 1 \Rightarrow x – 7 = 1^3 \Rightarrow x = 8
\]

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 11

 

Was ist eine der reellen Lösungen der Gleichung?

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} – 3x – \frac{3}{x} + 4 = 0 \]

\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösungweg:

 

Wir gruppieren die zusammengehörigen Terme und führen für das erste Paar eine quadratische Ergänzung durch:
\[
\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) – 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0
\]
Da $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ gilt, können wir $x^2 + \frac{1}{x^2}$ durch $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2$ ersetzen:
\[
\left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2\right] – 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0
\]
\[
\Rightarrow \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0
\]

Wir substituieren $x + \frac{1}{x} = t$:
\[
t^2 – 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t – 1)(t – 2) = 0 \Rightarrow t = 1 \text{ oder } t = 2
\]

Nun lösen wir durch Rücksubstitution nach $x$ auf:

1. $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 – x + 1 = 0$. Die Diskriminante ist $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(1) = -3 < 0$, somit existieren hier keine reellen Lösungen.

2. $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 – 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x – 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Die einzige reelle Lösung lautet $1$.

 

\(\textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

3) Wurzelgleichungen:

 

Eine Gleichung, die einen Radikalterm der Form
\[
\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)
\]
enthält, kann gelöst werden, indem beide Seiten mit der Potenz $2n$ potenziert werden, um die Wurzel zu beseitigen. Dies erzeugt eine Polynomgleichung, die regulär gelöst werden kann.

WICHTIG: Das Potenzieren einer Gleichung mit einer geraden Zahl kann Scheinlösungen (falsche Wurzeln) erzeugen. Daher ist eine Probe durch Einsetzen aller berechneten Werte in die Ausgangsgleichung zwingend erforderlich.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung.

\[\sqrt{2x + 3} – 2x = 1 \]

Isolieren des Radikands:
\[
\sqrt{2x + 3} = 1 + 2x
\]
Quadrieren beider Seiten:
\[
(\sqrt{2x + 3})^2 = (1 + 2x)^2 \Rightarrow 2x + 3 = 1 + 4x + 4x^2
\]
\[
\Rightarrow 4x^2 + 2x – 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + x – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow (2x – 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -1
\]

Überprüfung der potenziellen Lösungen (Probe):

– Für $x = \frac{1}{2}$: $\sqrt{2(\frac{1}{2}) + 3} – 2(\frac{1}{2}) = \sqrt{4} – 1 = 2 – 1 = 1$ (Erfüllt die Gleichung)

– Für $x = -1$: $\sqrt{2(-1) + 3} – 2(-1) = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 1$ (Scheinlösung)

\[
\Rightarrow L = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
\]

 

AUFGABE 12

 

Welcher Wert von $x$ erfüllt die Gleichung?

\[ 2x + \sqrt{4x^2 – x – 5} = 7 \]

\[
\text{A) } 5 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1
\]

 

Lösungweg:

 

Wurzel isolieren und beide Seiten quadrieren:
\[
\sqrt{4x^2 – x – 5} = 7 – 2x
\]
\[
(\sqrt{4x^2 – x – 5})^2 = (7 – 2x)^2
\]
\[
4x^2 – x – 5 = 49 – 28x + 4x^2
\]

Subtrahieren von $4x^2$ auf beiden Seiten:
\[
-x – 5 = 49 – 28x
\]
\[
27x = 54 \Rightarrow x = 2
\]

Probe zur Verifizierung:
$2(2) + \sqrt{4(2)^2 – 2 – 5} = 4 + \sqrt{16 – 7} = 4 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$ (Gültig)

 

\(\textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

AUFGABE 13

 

Was ist die Summe der Lösungen der Gleichung?

\[ \sqrt{2x + 3} – \sqrt{x – 2} = 2 \]

 

\[
\text{A) } 16 \quad
\text{B) } 14 \quad
\text{C) } 12 \quad
\text{D) } 10 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Lösungweg:

 

Eine Wurzel isolieren:
\[
\sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x – 2}
\]
Beide Seiten quadrieren:
\[
2x + 3 = 4 + 4\sqrt{x – 2} + (x – 2)
\]
\[
2x + 3 = x + 2 + 4\sqrt{x – 2}
\]
Die verbleibende Wurzel isolieren:
\[
x + 1 = 4\sqrt{x – 2}
\]
Erneut beide Seiten quadrieren:
\[
(x + 1)^2 = (4\sqrt{x – 2})^2
\]
\[
x^2 + 2x + 1 = 16(x – 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x – 32
\]
\[
x^2 – 14x + 33 = 0 \Rightarrow (x – 3)(x – 11) = 0 \Rightarrow x_1 = 3, \quad x_2 = 11
\]

Überprüfung der beiden potenziellen Werte in der Ausgangsgleichung (Probe):

– Für $x = 3$: $\sqrt{2(3)+3} – \sqrt{3-2} = \sqrt{9} – \sqrt{1} = 3 – 1 = 2$ (Gültig)

– Für $x = 11$: $\sqrt{2(11)+3} – \sqrt{11-2} = \sqrt{25} – \sqrt{9} = 5 – 3 = 2$ (Gültig)

Beide sind gültige Lösungen. Ihre Summe beträgt:
\[
x_1 + x_2 = 3 + 11 = 14
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

AUFGABE 14

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[\sqrt[3]{x^2 + 4x – 5} = x – 1 \]

 

\[
\text{A) } \{-1, 2, 4\} \quad
\text{B) } \{1, 3, 4\} \quad
\text{C) } \{1, 2, 3\} \quad
\text{D) } \{-1, 1, 4\} \quad
\text{E) } \{-1, 2, 3\}
\]

 

Lösungweg:

 

Beide Seiten kubieren, um die Wurzel zu beseitigen:
\[
(\sqrt[3]{x^2 + 4x – 5})^3 = (x – 1)^3
\]
\[
x^2 + 4x – 5 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1
\]
Terme zu einer einzigen Polynomgleichung umstellen:
\[
x^3 – 4x^2 – x + 4 = 0
\]
Faktorisieren durch Ausklammern in Gruppen:
\[
x^2(x – 4) – 1(x – 4) = 0 \Rightarrow (x – 4)(x^2 – 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow (x – 4)(x – 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 4, \quad x = 1, \quad x = -1
\]

Da der Wurzelexponent ungerade ($3$) ist, ist die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen und es entstehen durch das Kubieren keine Scheinlösungen. Alle drei Werte sind gültig.
\[
L = \{-1, 1, 4\}
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

AUFGABE 15

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[\sqrt[4]{2x^2 + x + 6} = \sqrt{x + 2} \]

\[
\text{A) } \{-1, 3\} \quad
\text{B) } \{-1, 2\} \quad
\text{C) } \{1, 2\} \quad
\text{D) } \{1, 3\} \quad
\text{E) } \{2, 3\}
\]

 

Lösungweg:

 

Beide Seiten mit der 4. Potenz potenzieren:
\[
(\sqrt[4]{2x^2 + x + 6})^4 = (\sqrt{x + 2})^4
\]
\[
2x^2 + x + 6 = (x + 2)^2 \Rightarrow 2x^2 + x + 6 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x – 1)(x – 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = 2
\]

Da es sich auf beiden Seiten um Wurzeln mit geradem Exponenten handelt, müssen wir sicherstellen, dass die Radikanden nicht-negativ ($\geq 0$) bleiben. Sowohl $x = 1$ als auch $x = 2$ liefern positive Werte unter den Wurzeln und erfüllen die Gleichung.
\[
L = \{1, 2\}
\]

\(\textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

AUFGABE 16

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[\sqrt[3]{3x – 1} = \sqrt{x + 1} \]

 

\[
\text{A) } \{1, 2, 3\} \quad
\text{B) } \{0, 2\} \quad
\text{C) } \{1, 3\} \quad
\text{D) } \{0, 3\} \quad
\text{E) } \{3\}
\]

 

Lösungweg:

 

Um sowohl die Kubikwurzel (Exponent 3) als auch die Quadratwurzel (Exponent 2) zu beseitigen, potenzieren wir beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Exponenten, also mit der 6. Potenz:
\[
(\sqrt[3]{3x – 1})^6 = (\sqrt{x + 1})^6
\]
\[
(3x – 1)^2 = (x + 1)^3
\]
Ausmultiplizieren beider Seiten:
\[
9x^2 – 6x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
\]
Alle Terme auf eine Seite bringen:
\[
x^3 – 6x^2 + 9x = 0
\]
Polynom faktorisieren:
\[
x(x^2 – 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x – 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 3
\]

Überprüfung der Werte in der Ausgangsgleichung (Probe):

– Für $x = 0$: $\sqrt[3]{3(0)-1} = \sqrt[3]{-1} = -1$, während $\sqrt{0+1} = 1$. Wegen $-1 \neq 1$ ist $x = 0$ eine Scheinlösung.

– Für $x = 3$: $\sqrt[3]{3(3)-1} = \sqrt[3]{8} = 2$, und $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. (Gültig)

\[
L = \{3\}
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 17

 

Was ist die Summe der reellen Lösungen der Gleichung?

\[ x^2 + x + \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 \]

\[
\text{A) } -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösungweg:

 

Wir addieren 1 auf beiden Seiten der Gleichung, um die Struktur außerhalb der Wurzel an den Term unter der Wurzel anzupassen:
\[
x^2 + x + 1 + \sqrt{x^2 + x + 1} = 2
\]

Wir substituieren $\sqrt{x^2 + x + 1} = t$ (wobei $t \geq 0$). Die Gleichung transformiert sich in:
\[
t^2 + t = 2 \Rightarrow t^2 + t – 2 = 0
\]
\[
(t + 2)(t – 1) = 0 \Rightarrow t = -2 \quad \text{oder} \quad t = 1
\]

Da $t \geq 0$ gelten muss, verwerfen wir $t = -2$. Wir lösen für $t = 1$:
\[
\sqrt{x^2 + x + 1} = 1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 1
\]
\[
x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{und} \quad x_2 = -1
\]
Beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung. Ihre Summe lautet:
\[
0 + (-1) = -1
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

4) Betragsgleichungen:

 

Um Gleichungen mit Beträgen zu lösen, führen wir eine Fallunterscheidung durch. Die Fälle basieren auf den kritischen Punkten (Nullstellen), an denen der Ausdruck im Inneren des Betrags Null wird.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 – |x – 3| + 1 = 0$.

Der kritische Punkt liegt bei $x = 3$.

Fall 1: $x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
In diesem Bereich gilt $|x – 3| = x – 3$. Die Gleichung lautet:
\[
x^2 – (x – 3) + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – x + 4 = 0
\]
Die Diskriminante ist $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(4) = -15 < 0$, woraus sich keine reellen Lösungen ergeben ($L_1 = \emptyset$).

Fall 2: $x – 3 < 0 \Rightarrow x < 3$
In diesem Bereich gilt $|x – 3| = -(x – 3) = -x + 3$. Die Gleichung lautet:
\[
x^2 – [-(x – 3)] + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + x – 3 + 1 = 0
\]
\[
x^2 + x – 2 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x – 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, \quad x_2 = 1
\]
Da sowohl $x = -2$ als auch $x = 1$ die Bedingung $x < 3$ erfüllen, sind beide Werte gültig ($L_2 = \{-2, 1\}$).

Die gesamte Lösungsmenge lautet:
\[
L = L_1 \cup L_2 = \{-2, 1\}
\]

 

AUFGABE 18

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung $2x^2 – x|x – 2| + 1 = 0$ über den reellen Zahlen?

 

\[
\text{A) } \{3\} \quad
\text{B) } \{1\} \quad
\text{C) } \{2\} \quad
\text{D) } \{-1\} \quad
\text{E) } \emptyset
\]

 

Lösungweg:

 

Fall 1: $x \geq 2 \Rightarrow |x – 2| = x – 2$
\[
2x^2 – x(x – 2) + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 – x^2 + 2x + 1 = 0
\]
\[
x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1
\]
Der Wert $x = -1$ erfüllt jedoch nicht unsere Fallbedingung $x \geq 2$. Somit liefert dieser Fall keine Lösung ($L_1 = \emptyset$).

Fall 2: $x < 2 \Rightarrow |x – 2| = -(x – 2)$
\[
2x^2 – x[-(x – 2)] + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 + x^2 – 2x + 1 = 0
\]
\[
3x^2 – 2x + 1 = 0
\]
Die Diskriminante beträgt $\Delta = (-2)^2 – 4(3)(1) = 4 – 12 = -8 < 0$. Hier existieren keine reellen Lösungen ($L_2 = \emptyset$).

Zusammenführung beider Fälle:
\[
L = L_1 \cup L_2 = \emptyset
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 19

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[|x^2 + x – 1| = |2x + 1| \]

 

\[
\text{A) } \{-2, -1, 0\} \quad
\text{B) } \{-1, 0, 2, 3\} \quad
\text{C) } \{-3, 0, 2, 3\} \quad
\text{D) } \{0, 1, 2\} \quad
\text{E) } \{-3, -1, 0, 2\}
\]

 

Lösungweg:

 

Eine Gleichung der Form $|A| = |B|$ lässt sich direkt in zwei Fälle aufteilen: $A = B$ oder $A = -B$.

1. Fall:

\[
x^2 + x – 1 = 2x + 1 \Rightarrow x^2 – x – 2 = 0
\]
\[
(x – 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = -1
\]

2. Fall:

\[
x^2 + x – 1 = -(2x + 1) \Rightarrow x^2 + x – 1 = -2x – 1
\]
\[
x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x_3 = 0, \quad x_4 = -3
\]

Die Zusammenfassung aller Lösungen ergibt:
\[
L = \{-3, -1, 0, 2\}
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 20

 

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung?

\[ |2x – 1| = |x + 1| \]

 

\[
\text{A) } \{0, 2\} \quad
\text{B) } \{-1, 0\} \quad
\text{C) } \{0, 1\} \quad
\text{D) } \{-2, 2\} \quad
\text{E) } \{-3, -1\}
\]

 

Lösungweg:

 

Alternativ können wir beide Seiten quadrieren, um die Betragsstriche mathematisch korrekt zu entfernen ($|A|^2 = A^2$):
\[
(2x – 1)^2 = (x + 1)^2
\]
\[
4x^2 – 4x + 1 = x^2 + 2x + 1
\]
Alle Terme auf eine Seite bringen:
\[
3x^2 – 6x = 0 \Rightarrow 3x(x – 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{und} \quad x_2 = 2
\]
\[
L = \{0, 2\}
\]

 

\(\textbf{Richtige Antwort: A} \)

 

AUFGABE 21

 

Wie lautet die Summe der verschiedenen Werte von $x$, die die Gleichung erfüllen?

\[ 2|x^2 – 2|^2 – |3x^2 – 6| – 2 = 0 \]

\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Lösungweg:

 

Wir klammern eine 3 im zweiten Term aus: $|3x^2 – 6| = |3(x^2 – 2)| = 3|x^2 – 2|$.
Die Gleichung lautet nun:
\[
2|x^2 – 2|^2 – 3|x^2 – 2| – 2 = 0
\]

Wir substituieren $|x^2 – 2| = t$ (wobei $t \geq 0$):
\[
2t^2 – 3t – 2 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t – 2) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad t = 2
\]

Da $t$ einen Absolutbetrag darstellt, kann der Wert nicht negativ sein; wir verwerfen $t = -\frac{1}{2}$.
Wir lösen für $t = 2$:
\[
|x^2 – 2| = 2
\]

Dies führt zu zwei Unterfällen:

1. $x^2 – 2 = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

2. $x^2 – 2 = -2 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

Die Menge der verschiedenen Werte ist $\{-2, 0, 2\}$. Ihre Summe beträgt:
\[
-2 + 0 + 2 = 0
\]

\(\textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

AUFGABE 22

 

Wie viele verschiedene reelle Werte von $x$ erfüllen die Gleichung?

\[ |x^5 – 5x| = 11x \]

 

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Lösungweg:

 

Da die linke Seite $|x^5 – 5x| \geq 0$ ist, muss auch die rechte Seite die Bedingung $11x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$ erfüllen. Wir teilen die Betragsgleichung auf:

1. Fall:

\[
x^5 – 5x = 11x \Rightarrow x^5 – 16x = 0
\]
\[
x(x^4 – 16) = 0 \Rightarrow x(x^2 – 4)(x^2 + 4) = 0
\]
\[
x(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2
\]

2. Fall:

\[
x^5 – 5x = -11x \Rightarrow x^5 + 6x = 0
\]
\[
x(x^4 + 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad (\text{da } x^4 + 6 \neq 0 \text{ für reelle Zahlen})
\]

Nun überprüfen wir diese Werte anhand unserer Bedingung $x \geq 0$:
– $x = 0$ (Gültig)
– $x = 2$ (Gültig)
– $x = -2$ (Ungültig, da der Wert negativ ist und somit $11x$ negativ machen würde)

Es existieren genau $2$ verschiedene reelle Lösungen: $\{0, 2\}$.

 

\(\textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

 

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