Quadratische Ungleichungen mit einer Unbekannten
Für \(a, b, c \in \mathbb{R} \) und \( a \ne 0 \) werden Ungleichungen der Form
\[ax^2 + bx + c > 0 \]
\[ ax^2 + bx + c \ge 0 \]
\[ ax^2 + bx + c < 0 \]
oder
\[ ax^2 + bx + c \le 0 \]
als quadratische Ungleichungen mit einer Unbekannten bezeichnet. Das Lösen einer quadratischen Ungleichung mit einer Unbekannten bedeutet, das Intervall zu finden, welches die Ungleichung erfüllt, indem das Vorzeichen des Trinoms
\[
f(x) = ax^2 + bx + c\]
untersucht wird.
Untersuchen wir das Vorzeichen von \( f(x) = ax^2 + bx + c \) anhand des Funktionsgraphen.
1) Für \( \quad \Delta > 0 \)
\[\text{Für } \quad x < x_1 \quad \text{ oder } \quad x > x_2 \quad \text{ ist } \quad f(x) > 0 \]
\[ \text{Für } \quad x_1 < x < x_2 \quad \text{ ist }\quad f(x) < 0. \]
\[\text{Für } \quad x < x_1 \quad \text{ oder } \quad x > x_2 \quad \text{ ist } \quad f(x) < 0 \]
\[ \text{Für } \quad x_1 < x < x_2 \quad \text{ ist }\quad f(x) > 0. \]
Daraus ergibt sich:
\[
\text{Für } \;\; x < x_1 \;\; \text{ oder } \;\; x > x_2 \quad \text{ stimmt das Vorzeichen des Terms } f(x) = ax^2 + bx + c \text{ mit dem Vorzeichen von } a \text{ überein,}
\]
\[
\text{Für } \;\; x_1 < x < x_2 \;\; \text{ ist das Vorzeichen des Terms } f(x) = ax^2 + bx + c \;\; \text{ dem Vorzeichen von } a \text{ entgegengesetzt.}
\]
Stellen wir dieses Verhalten in einer Vorzeichentabelle dar.
\[
\begin{array}{|c | l | c r | r | r | }
\hline
x & -\infty & x_1 && & x_2 & +\infty \\
\hline
f(x)=ax^2+bx+c \;\; (\Delta > 0 ) & \text{Gleiches Vorzeichen wie } a & \circ\ &&\text{Entgegengesetztes Vorzeichen} & \circ& \text{Gleiches Vorzeichen wie } a \\
\hline
\end{array}
\]
Beispiel:
Untersuchen wir das Vorzeichen des Trinoms \(f(x) = -x^2 + 7x – 6 \).
\[
-x^2 + 7x – 6 = 0
\;\; \Longrightarrow \;\;
x_1 = 1 \quad \text{ oder } \quad x_2 = 6
\quad\text{und}\quad
a = -1 < 0
\]
\[ \text{ Demnach gilt für } \quad x < 1 \quad \text{oder} \quad x > 6, \quad f(x) < 0 \]
\[ \text{Für } \quad 1 < x < 6 \quad \text{gilt} \quad f(x) > 0 \]
Beispiel:
Bestimmen Sie für \( m \in \mathbb{R} \) die Lösungsmenge der Ungleichung \( (m^2 + 1)x^2 + m^2 x – 1 < 0 \).
\[ (m^2 + 1)x^2 + m^2 x – 1 =0 \]
\[
\Rightarrow \bigl[(m^2 + 1)x – 1\bigr](x + 1) = 0
\quad\Longrightarrow\quad
x_1 = \frac{1}{m^2 + 1}, \quad x_2 = -1.
\]
\[
a = m^2 + 1 > 0 \quad (\text{die Parabel ist nach oben geöffnet}).
\]
\[
\text{Die Parabel } (m^2+1)x^2 + m^2 x – 1 \text{ schneidet die Achsen bei } x = -1 \text{ und } x = \frac{1}{m^2+1}.
\]
\[
\text{Lösungsmenge: }
\left\{x \;\middle|\; -1 < x < \frac{1}{m^2 + 1}, \,x \in \mathbb{R} \right\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \((-x^2 + 3x + 4)(3x^2 – 4x + 1) > 0 \).
\[
-x^2 + 3x + 4 = 0 \Rightarrow x_1 = -1 \quad \text{und} \quad x_2 = 4 \quad (a = -1 < 0)
\]
\[
3x^2 – 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3} \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \quad (a = 3 > 0)
\]
\[
\text{Kritische Punkte: } -1,\quad \frac{1}{3},\quad 1,\quad 4
\]
\[
\text{Da die Ungleichung } > 0 \text{ ist, werden die Intervalle mit positivem Vorzeichen gewählt.}
\]
\[
\text{Demnach lautet die Lösungsmenge: } \quad \mathcal{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \;\middle|\; -1 < x < \frac{1}{3} \;\text{oder}\; 1 < x < 4 \right\}
\]
Warnung:
Werte, die den Nenner einer rationalen Gleichung Null werden lassen, dürfen nicht in die Lösungsmenge aufgenommen werden. Werte, die den Zähler Null werden lassen, gehören nur dann zur Lösungsmenge, wenn eine nicht-strikte Ungleichung (\(\le\) oder \(\ge\)) vorliegt. Machen Sie die Nenner immer sorgfältig gleichnamig oder wenden Sie die Überkreuzmultiplikation an.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \[ f(x) = \frac{(4 \;- x^2)x}{x^2 \;- x \;- 2} < 0 \]
\[4 – x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm2 \quad (a = -1 < 0) \]
\[x = 0 \quad (a = 1 > 0) \]
\[x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, \; \; x_2 = 2 \quad (a = 1 > 0) \]
\[
\text{Kritische Punkte: } -2, \; -1, \;0, \; 2
\]
\[
\text{Bereiche, in denen } f(x) < 0 \text{ gilt:} \quad -2 < x < -1 \quad \text{und} \quad x > 0 \quad \text{(außer 2)}
\]
\[
\text{Lösungsmenge:} \quad
\mathcal{L} = \left\{ x \;\middle|\; -2 < x < -1 \;\text{oder}\; x > 0, x \in \mathbb{R} \right\} \;- \; \{2\}
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie anhand des obigen Graphen die Lösungsmenge der Ungleichung \[\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \]
\[f(x) = 0 \Rightarrow x = a, \quad x = b, \quad x = c \]
\[g(x) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x = c \]
\[
\text{Gesucht: } \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \Rightarrow \text{Bereiche, in denen der Ausdruck positiv oder gleich Null ist:}
\]
\[
x \in (-\infty, a] \cup (0, b]
\]
\[\text{Man erhält als Lösungsmenge: } \quad \mathcal{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \;\middle|\; -\infty < x \leq a \; \text{oder} \; 0 < x \leq b \right\} \]
2) Für \( \quad \Delta = 0 \)
\[ \text{Für } \quad x \neq -\frac{b}{2a} \quad \text{ist } \quad f(x) > 0. \]
\[ \text{Für } \quad x \neq -\frac{b}{2a} \quad \text{ist } \quad f(x) < 0. \]
\[
\text{Demnach gilt:} \quad \text{für } x = -\frac{b}{2a} \quad \text{ist } f(x) = 0,
\]
\[
\text{und für } x \ne -\frac{b}{2a} \text{ entspricht das Vorzeichen von } f(x) = ax^2 + bx + c \text{ dem Vorzeichen von } a.
\]
Stellen wir diese Situation in einer Tabelle dar:
Beispiel:
Untersuchen wir das Vorzeichen des Trinoms \( -4x^2 + 24x \;- 36 \).
\[
-4x^2 + 24x \; – 36 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 3 \quad \text{und da } a = -4 < 0
\]
In diesem Fall lautet die Vorzeichentabelle:
\[ \text{Für } \quad x \neq 3 \quad \text{ist } \quad -4x^2 + 24x \; – 36 < 0. \]
Beispiel:
Untersuchen wir für \( m \in \mathbb{R} \) das Vorzeichen des Ausdrucks \( x^2 – 2mx – 2x + m^2 + 2m + 1 \).
\[
x^2 – 2(m+1)x + (m+1)^2 = \left(x – (m+1)\right)^2 = 0 \]
\[\Rightarrow x_1 = x_2 = m+1 \]
\[
\text{Da } a = 1 > 0, \text{ lautet die Vorzeichentabelle:}
\]
Daraus folgt für \( x \ne m+1 \), dass \( (x \;-\; (m+1))^2 > 0 \) gilt.
3) Für \( \quad \Delta < 0 \)
\[ \text{Für alle } x \in \mathbb{R} \text{ ist } f(x) > 0. \]
\[ \text{Für alle } x \in \mathbb{R} \text{ ist } f(x) < 0. \]
Folglich entspricht das Vorzeichen von \( f(x) = ax^2+bx+ c \) stets dem Vorzeichen von \( a \). Stellen wir diesen Sachverhalt in einer Tabelle dar.
Beispiel:
Untersuchen wir das Vorzeichen des Trinoms \( f(x) = -x^2 + 3x- 3 \).
Da \( -x^2 + 3x- 3 = 0 \Rightarrow \Delta = -3 < 0 \) und \( a = -1 < 0 \):
Für alle \( \; x \in \mathbb{R} \) gilt \( f(x) = -x^2 + 3x\; – \; 3 < 0 \).
Fazit:
Wenn \( \Delta < 0 \) und \( a > 0 \), dann gilt für alle \( x \in \mathbb{R} \) (stets) \( f(x) = ax^2 + bx + c > 0. \)
Wenn \( \Delta < 0 \) und \( a < 0 \), dann gilt für alle \( x \in \mathbb{R} \) (stets) \( f(x) = ax^2 + bx + c < 0. \)
Beispiel:
Wenn das Trinom \( f(x) = x^2 \,- \; 2x + m \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) Werte annimmt, die größer als \( -7 \) sind, in welchem Intervall liegt dann \( m \)?
\[ \text{Für alle } x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 – 2x + m > -7 \]
\[
\Rightarrow x^2 – 2x + m + 7 > 0
\]
\[
a = 1 > 0 \quad \text{und} \quad \Delta = (-2)^2 \;- \; 4 \cdot (m + 7) < 0
\]
\[
4 < 4 \cdot (m + 7) \Rightarrow 1 < m + 7 \Rightarrow m > -6
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Wertemenge für \( m \), damit die Ungleichung \( mx^2 + (2m + 1)x + m\; -\; 3 < 0 \) stets erfüllt ist.
\[
a = m < 0 \quad \text{und} \quad \Delta = (2m + 1)^2 – 4m \cdot (m\; – \; 3) < 0
\]
\[
\Rightarrow 4m^2 + 4m + 1 \;- \; 4m^2 + 12m = 16m + 1 < 0 \]
\[\Rightarrow m < -\frac{1}{16}
\]
Da für \( m < -\frac{1}{16} \) auch die Bedingung \( m < 0 \) erfüllt ist:
\[ \Rightarrow \mathcal{L} = \left\{ m \in \mathbb{R} \;\middle|\; m < -\frac{1}{16} \right\}
\]
AUFGABE 1
Welche Werte kann \( m \) annehmen, damit die Ungleichung \( (m^2 + 1)x^2 + mx + 1 > 0 \) allgemeingültig ist?
\[\begin{aligned}
&\text{A) } \{ m \mid m < 1, m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{B) } \{ m \mid 1 < m < 4 , m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{C) } \{ m \mid m > 4, m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{D) } \mathbb{R} \quad \\
&\text{E) } \emptyset \end{aligned}\]
Lösung:
Es muss gelten: \( a = m^2 + 1 > 0 \) und \( \Delta = m^2 – 4 \cdot (m^2 + 1) \cdot 1 < 0 \).
\[ \Rightarrow -3m^2\; -\; 4 < 0 \]
Da für alle \( m \in \mathbb{R} \) sowohl \( m^2 + 1 > 0 \) als auch \( -3m^2 – 4 < 0 \) gilt, ist die Lösungsmenge \( \mathcal{L} = \mathbb{R} \).
\(\textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 2
Welche der folgenden Mengen stellt die Lösungsmenge für \(m \) dar, damit die Ungleichung \( mx^2 + (2m – 2)x + m – 1 < 0 \) stets erfüllt ist?
\[\begin{aligned}
&\text{A) } \{ m \mid m > 2,\, m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{B) }\{ m \mid m < -2,\, m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{C) } \{ m \mid -2 < m < 2,\, m \in \mathbb{R} \} \quad \\
&\text{D) } \mathbb{R} \quad \\
&\text{E) } \emptyset \end{aligned}\]
Lösung:
\[
a = m < 0 \quad \text{und} \quad \Delta = (2m – 2)^2 – 4m(m – 1) < 0
\]
\[
\Rightarrow -4m + 4 < 0 \Rightarrow m > 1
\]
Jedoch können die Bedingungen \( m < 0 \) und \( m > 1 \) nicht gleichzeitig erfüllt sein.
\[ \Rightarrow \mathcal{L} = \emptyset \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 3
Welche der folgenden Aussagen über \( m \) ist anhand der folgenden Abbildung korrekt?
\[ \text{A) } m< 1 \quad \text{B) } 1 < m < 3 \quad \text{C) } 0 < m < 2 \quad \text{D) } m > 0 \quad \text{E) } m > 2 \]
Lösung:
Gemäß der gegebenen Abbildung muss die Ungleichung \( y = (m + 2)x^2 + 2mx + m > 1 \) allgemeingültig sein.
\[ (m + 2)x^2 + 2mx + m > 1 \]
\[\Rightarrow (m + 2)x^2 + 2mx + m – 1 > 0 \]
Damit dies erfüllt ist, muss gelten:
\[ a = m + 2 > 0 \Rightarrow m > -2 \]
und
\[ \Delta = 4m^2 – 4 \cdot (m + 2) \cdot (m – 1) < 0 \]
\[ \Rightarrow -4m + 8 < 0 \]
\[ \Rightarrow m > 2 \]
Da für \( m > 2 \) auch die Bedingung \( m > -2 \) erfüllt ist, gilt \( m > 2 \).
\(\textbf{Antwort: E} \)
Praktische Methode zur Vorzeichenuntersuchung:
Seien $A(x)$, $B(x)$ und $C(x)$ Polynome. Listen wir die Schritte auf, die erforderlich sind, um das Vorzeichen von Ausdrücken der folgenden Form zu untersuchen:
\[ A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) \] oder \[ \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} \]
1) Die reellen Nullstellen der Gleichungen $A(x) = 0$, $B(x) = 0$ und $C(x) = 0$ werden bestimmt und in aufsteigender Reihenfolge in eine Vorzeichentabelle eingetragen.
Wenn eine Nullstelle in gerader Anzahl vorkommt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (oder eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit).
2) Die Vorzeichen der Koeffizienten der Glieder mit dem höchsten Grad (Leitkoeffizienten) der Polynome $A(x)$, $B(x)$ und $C(x)$ werden miteinander multipliziert. Das resultierende Vorzeichen wird in das am weitesten rechts liegende Intervall der Tabelle eingetragen (rechts von der größten Nullstelle).
3) Von rechts nach links gehend ändert sich das Vorzeichen in der Tabelle jedes Mal, wenn eine einfache Nullstelle (ungerade Vielfachheit) überschritten wird. Bei einer doppelten Nullstelle (gerade Vielfachheit) ändert sich das Vorzeichen hingegen nicht.
Warnung:
Bei Ungleichungen der Form
\[ \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} \geq 0 \] oder \[ \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} \leq 0 \]
dürfen die Nullstellen der Gleichung $C(x) = 0$ nicht in die Lösungsmenge aufgenommen werden, da sie den Nenner Null werden lassen. Die Nullstellen von $A(x) = 0$ und $B(x) = 0$ gehören aufgrund des nicht-strikten Ungleichheitszeichens ($\ge$ oder $\le$) zur Lösungsmenge.
Bei strikten Ungleichungen der Form
\[ \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} > 0 \quad \text{oder} \quad \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} < 0 \]
darf keine der Nullstellen aus den Gleichungen $A(x) = 0$, $B(x) = 0$ oder $C(x) = 0$ Element der Lösungsmenge sein.
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge der Ungleichung $- x^3 + 5x^2 – 6x \leq 0 $.
$- x^3 + 5x^2 – 6x = 0 \Rightarrow x = 0 $ oder $x = 2 $ oder $x = 3 $.
Da der Leitkoeffizient des Polynoms (der Koeffizient von $-x^3$) negativ $(-)$ ist, lautet das Vorzeichen rechts von der größten Nullstelle ($3$) $(-)$.
Man erhält die Lösungsmenge:
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid 0 \leq x \leq 2 \quad \text{ oder } \quad 3 \leq x < +\infty, \, x \in \mathbb{R} \} \]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge der Ungleichung $x^4 \; – \; x^3 \; – \; x + 1 > 0 $.
\[ x^4 \; – \; x^3 \; – \; x + 1 = 0 \Rightarrow (x^3 – 1)(x – 1) = 0 \Rightarrow (x^2 + x + 1)(x – 1)^2 = 0 \]
\[ x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow \Delta < 0, \text{ somit hat dieser quadratische Teil keine reellen Nullstellen.} \]
\[ (x – 1)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 1. \text{ Da es sich um eine doppelte Nullstelle handelt, ändert sich das Vorzeichen bei } x = 1 \text{ nicht.} \]
Da der Leitkoeffizient des Polynoms ($x^4$) positiv $(+)$ ist, lautet das Vorzeichen rechts von $1$ $(+)$.
Man erhält die Lösungsmenge:
\[ \mathcal{L} = \mathbb{R} – \{ 1 \} \]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge der Ungleichung \[ f(x) = \frac{x^2 – 4}{-x^2 + 2x – 2} \geq 0 \]
\[\begin{aligned} &x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{ oder } \quad x_2 = 2 \\
\\
-& x^2 + 2x – 2 = 0 \Rightarrow \Delta < 0, \text{ somit gibt es keine reellen Nullstellen.} \end{aligned} \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten im Zähler ($x^2$) und Nenner ($-x^2$) lautet $(+) \cdot (-) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -2 \leq x \leq 2 \} \]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge der Ungleichung \[ f(x) = \frac{x}{2} \;-\; \frac{1}{2} < \frac{1}{x} \]
\[\frac{x}{2}\; -\; \frac{1}{2}\; – \; \frac{1}{x} < 0\]
\[ \frac{x \;-\; 1}{2} \; – \; \frac{1}{x} < 0 \Rightarrow \frac{x^2 \;- \;x \;- \; 2}{2x} < 0 \]
\[ x^2 \;-\; x \;-\; 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, \, x_2 = 2 \]
\[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
Das Produkt der Vorzeichen der Leitkoeffizienten von Zähler ($x^2$) und Nenner ($x$) lautet $(+) \cdot (+) = (+)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -\infty < x < -1 \text{ oder } 0 < x < 2, \, x \in \mathbb{R} \} \]
Beispiel:
Bestimmen wir die Lösungsmenge der Ungleichung \[ f(x) = \frac{(9 – x^2) \cdot x^4}{x^2 – 2x – 3} \geq 0 \]
\[
\begin{aligned}
&9 – x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, \, x_2 = 3 \\
\\
&x^4 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0 \quad \text{ (doppelte Nullstelle)} \\
\\
&x^2 \;-\; 2x \;-\; 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1,\quad x_2 = 3 \\
\\
\end{aligned}
\]
Da die Nullstelle $3$ sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt (insgesamt zweimal), wird sie zu einer doppelten Nullstelle. Das Produkt der Leitkoeffizienten der Terme $-x^2$, $x^4$ und $x^2$ lautet $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -3 \leq x \leq -1 , \, x \in \mathbb{R} \} \cup \{0 \} \]
AUFGABE 4
Wie viele ganzzahlige Werte für $x$ erfüllen die Ungleichung \[ f(x) = \frac{-x^2 + 6x – 9}{(-x^2 + x – 2)(x^2 – 4)} \leq 0 \]
\[ \text{A) } 2 \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } 4 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 6 \]
Lösung:
\[- x^2 + 6x – 9 = 0 \Rightarrow -(x – 3)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 3 \]
Die Gleichung $- x^2 + x – 2 = 0$ hat eine Diskriminante von $\Delta < 0$, besitzt also keine reellen Nullstellen.
\[ x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x_1 = -2 \text{ oder } x_2 = 2 \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten der Polynome $-x^2$, $-x^2$ und $x^2$ lautet $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Da die Lösungsmenge $\mathcal{L} = \{ x \mid -2 < x < 2, \, x \in \mathbb{R} \} \cup \{ 3 \}$ lautet, sind die ganzzahligen Werte für $x$ gleich $-1, 0, 1$ und $3$. Es gibt somit vier Werte.
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 5
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die Werte von $x$, die die Ungleichung \[ f(x) = \frac{(1 – x^3)^2 \cdot 2^x}{x^5 + 32} > 0 \] erfüllen?
\[\text{A) } x < -2 \quad
\text{B) } x < 1 \quad
\text{C) } x > 0 \quad
\text{D) } -2 < x < 1 \quad
\text{E) } x > -2 \]
Lösung:
\[ (1 – x^3)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 1 \]
Da $2^x > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, ist dieser Ausdruck stets positiv und beeinflusst das Vorzeichen von $f(x)$ nicht.
\[ x^5 + 32 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten der Terme $x^6$ (durch das Quadrieren) und $x^5$ lautet $(+) \cdot (+) = (+)$.
\[\mathcal{L} = \{ x \mid -2 < x < 1 \text{ oder } 1 < x < \infty, \, x \in \mathbb{R} \} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -2 \} – \{1\} \]
Unter Berücksichtigung der Antwortmöglichkeiten beschreibt die Bedingung E den gültigen Bereich (abgesehen von der auszuschließenden Einzelstelle $x=1$) am besten.
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 6
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[ f(x) = \frac{-\frac{1}{x} +1 \;-\; x }{\sqrt{ x^2+4}-1 } < 0 \]
\[\text{A) } x < -1 \quad
\text{B) } -1 < x < 0 \quad
\text{C) } x > 0 \quad
\text{D) } -2 < x < -1 \quad
\text{E) } -3 < x < -2 \]
Lösung:
\[ f(x) = \frac{-\frac{1}{x} +1 \;-\; x }{\sqrt{ x^2+4}-1 } < 0 \Rightarrow \frac{-x^2 + x – 1}{x(\sqrt{x^2 + 4} \;- \;1)} < 0 \]
Der quadratische Ausdruck $- x^2 + x – 1 = 0$ hat eine negative Diskriminante $\Delta < 0$, besitzt also keine reellen Nullstellen.
Da $\sqrt{x^2 + 4} – 1 > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, ist dieser Term immer positiv und beeinflusst das Vorzeichen von $f(x)$ nicht.
Die Vorzeichen der Leitkoeffizienten lauten negativ für $-x^2$ und positiv für $x$, was das Produkt $() \cdot (+) = (-)$ ergibt.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid 0 < x < \infty, \, x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 7
Welches der folgenden Intervalle stellt eines der Intervalle dar, die die Ungleichung \[ f(x) = \frac{(x^4 – 1)(1 – x^3)}{x^2 – 4x + 3} \leq 0 \] erfüllen?
\[ \text{A) } x \leq -1 \quad
\text{B) } -2 < x < 1 \quad
\text{C) } -1 \leq x < 3 \quad
\text{D) } 1 < x < 3 \quad
\text{E) } -1 \leq x < 1 \]
Lösung:
\[ x^4 – 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1 \text{ oder } x_2 = 1 \]
\[ 1 – x^3 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
\[ x^2 – 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1 \text{ oder } x_2 = 3 \]
Hier wird die Nullstelle $1$ insgesamt dreimal bestimmt (zweimal im Zähler, einmal im Nenner). Daher handelt es sich um eine Nullstelle ungerader Vielfachheit (3). Sie verhält sich wie eine einfache Nullstelle, sodass sich das Vorzeichen beim Überschreiten ändert. Das Produkt der Vorzeichen der Leitkoeffizienten von $x^4$, $-x^3$ und $x^2$ lautet $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -1 \leq x < 1 \text{ oder } x > 3, \, x \in \mathbb{R} \} \]
Betrachtet man die vorgegebenen Antwortmöglichkeiten, stimmt das Intervall $[-1, 1)$ mit einem Teil unserer Lösungsmenge überein. (Hinweis: $x=1$ muss ausgeschlossen werden, da es den Nenner Null werden lässt).
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 8
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[ x + \frac{12}{x} > 6 + \frac{8}{x^2} \]
\[\text{A) } 1 < x < 3 \quad
\text{B) } -1 < x < 1 \quad
\text{C) } x < 0 \quad
\text{D) } 0 < x < 2 \quad
\text{E) } x > 2 \]
Lösung:
\[ x + \frac{12}{x} > 6 + \frac{8}{x^2} \Rightarrow x + \frac{12}{x}\; – \; 6\; -\; \frac{8}{x^2} > 0 \]
\[\Rightarrow f(x) = \frac{x^3\; -\; 6x^2 + 12x\; -\; 8}{x^2} > 0 \]
\[ x^3 \;- \;6x^2 + 12x\; – \;8 = (x – 2)^3 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = x_3 = 2 \]
\[ x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 0 \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten des Zählers ($x^3$) und Nenners ($x^2$) lautet $(+) \cdot (+) = (+)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid x > 2 , \; x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 9
Unter der Bedingung $a < 0 < b$, welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung
\[ f(x) = \frac{x^2 – (a + b)x + ab}{(ax^2 – b)x^4} > 0 \]
\[\text{A) } a < x < 0 \quad
\text{B) } a < x < b \quad
\text{C) } x < a \quad
\text{D) } x > b \quad
\text{E) } x > 0 \]
Lösung:
\[ x^2 – (a + b)x + ab = 0 \Rightarrow x_1 = a \text{ oder } x_2 = b \]
Da $a < 0$ und $b > 0$ gilt, folgt für die Gleichung $ax^2 – b = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} < 0$, sie besitzt also keine reellen Nullstellen.
\[ x^4 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0 \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten der Polynome $x^2$, $ax^2$ und $x^4$ lautet $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid a < x < b, \, x \in \mathbb{R} \}\; – \; \{ 0 \} \]
Dies entspricht den beiden zusammengefassten Intervallen: $a < x < 0$ oder $0 < x < b$. Bei den gegebenen Antwortmöglichkeiten entspricht Option A einem dieser gültigen Teilbereiche.
\(\textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 10
Unter der Bedingung $m^2 + \frac{1}{m} < 0$, welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung
\[ f(x) = \frac{mx^2 + (1 – m^2)x – m}{x^2 – m^2} \geq 0 \]
\[ \text{A) } m < x < 0 \quad
\text{B) } x < m \quad
\text{C) } x > m \quad
\text{D) } -m < x \leq -\frac{1}{m} \quad
\text{E) } x \geq -\frac{1}{m} \]
Lösung:
\[ m^2 + \frac{1}{m} < 0 \Rightarrow \frac{m^3 + 1}{m} < 0 \]
Aus dieser Analyse ermitteln wir, dass $-1 < m < 0$ gilt. Daraus folgt:
\[ mx^2 + (1 – m^2)x – m = 0 \Rightarrow (mx + 1)(x – m) = 0 \Rightarrow x_1 = m, \, x_2 = -\frac{1}{m} \]
\[ x^2 – m^2 = 0 \Rightarrow x_1 = m, \, x_2 = -m \]
Das Produkt der Leitkoeffizienten der Terme $mx^2$ und $x^2$ lautet $(-) \cdot (+) = (-)$.
Da $-1 < m < 0$ ist, lautet die Reihenfolge von klein nach groß: $m < -m < -\frac{1}{m}$.
\[ \mathcal{L} = \left\{ x \;\middle|\; -m < x \leq -\frac{1}{m}, \, x \in \mathbb{R} \right\} \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 11
Wie viele ganzzahlige Werte für $x$ erfüllen die Ungleichung \[ f(x) = \frac{x + 5}{x^3 + 8} \;- \; \frac{x}{x^2\; – \;2x + 4} + \frac{1}{x + 2} \geq 0\]
\[ \text{A) } 3 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 5 \quad
\text{D) } 6 \quad
\text{E) } 7 \]
Lösung:
\[ f(x) = \frac{x + 5}{x^3 + 8}\; -\; \frac{x}{x^2 \;- \;2x + 4} + \frac{1}{x + 2} \geq 0 \]
Bringt man die Brüche auf den gleichen Hauptnenner, erhält man:
\[ \Rightarrow f(x) = \frac{-3x + 9}{(x + 2)(x^2 – 2x + 4)} \geq 0 \]
\[-3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
\[x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Die Gleichung $x^2 – 2x + 4 = 0$ weist eine Diskriminante von $\Delta < 0$ auf, hat also keine reellen Nullstellen.
Das Produkt der Vorzeichen der Leitkoeffizienten von $-3x$, $x$ und $x^2$ lautet $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -2 < x \leq 3, \, x \in \mathbb{R} \} \]
Die ganzzahligen Werte für $x$, die diese Ungleichung erfüllen, sind $-1, 0, 1, 2$ und $3$. Es gibt somit fünf Werte.
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 12
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[ f(x) = \frac{x^{1995} + 1}{(1 – x)^{1995}} > 0 \]
\[\text{A) } x < -1 \quad
\text{B) } -1 < x < 1 \quad
\text{C) } x > 1 \quad
\text{D) } x > 0 \quad
\text{E) } x < 0 \]
Lösung:
\[ x^{1995} + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
\[ (1 – x)^{1995} = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Das Produkt der Vorzeichen der Leitkoeffizienten von $x^{1995}$ und $-x^{1995}$ lautet $(+) \cdot (-) = (-)$.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -1 < x < 1, \, x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 13
Die obige Abbildung zeigt die Parabeln $y = f(x)$ und $y = g(x)$ sowie die Gerade $y = h(x)$. Welches der folgenden Intervalle stellt eines der Intervalle dar, die die Ungleichung
\[ R(x) = \frac{g(x) \cdot h(x)}{f(x)} \geq 0 \] erfüllen?
\[ \text{A) } x > c \quad
\text{B) } b < x < 0 \quad
\text{C) } 0 \leq x < c \quad
\text{D) } x < 0 \quad
\text{E) } x > 0 \]
Lösung:
\[ g(x) = 0 \Rightarrow x_1 = a \text{ oder } x_2 = 0 \]
\[ h(x) = 0 \Rightarrow x = a \]
\[ f(x) = 0 \Rightarrow x_1 = b \text{ oder } x_2 = c \]
Der Leitkoeffizient des Polynoms $g(x)$ ist positiv $(+)$, da die Parabel nach oben geöffnet ist.
Der Leitkoeffizient des linearen Polynoms $h(x)$ ist positiv $(+)$, da die Steigung der Geraden positiv ist.
Der Leitkoeffizient des Polynoms $f(x)$ ist negativ $(-)$, da die Parabel nach unten geöffnet ist.
Das Produkt dieser Vorzeichen lautet demnach $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$. Zu beachten ist, dass die Nullstelle $x=a$ einmal in $g(x)$ und einmal in $h(x)$ vorkommt, was sie zu einer Nullstelle gerader Vielfachheit (2) für den Gesamtausdruck macht.
\[\mathcal{L} = \{ x \mid x < b \text{ oder } 0 \leq x < c, \, \; x \in \mathbb{R} \} \]
Betrachtet man die Auswahlmöglichkeiten, stimmt die Option C ($0 \leq x < c$) mit dem zweiten Teil unserer Lösungsmenge überein.
\(\textbf{Antwort: C} \)
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