Ungleichungen

 

Lineare Ungleichungen mit einer Variablen:

 

Unter der Voraussetzung, dass \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( a \ne 0 \), nennt man Ausdrücke der Form

\[ ax + b > 0 \] \[ax + b \ge 0 \]\[ax + b < 0 \] oder \[ ax + b \le 0 \]

lineare Ungleichungen mit einer Variablen. Die Menge der reellen Zahlen \( x \), die eine solche Ungleichung erfüllen, wird als Lösungsmenge der Ungleichung bezeichnet.

Das Lösen einer linearen Ungunktion bedeutet, das Vorzeichen des Binoms \( f(x) = ax + b \) in den verschiedenen Intervallen zu untersuchen, um den Bereich zu finden, der die Ungleichung erfüllt.

Wir untersuchen das Vorzeichenverhalten anhand des Graphen von \( f(x) = ax + b \).

 

1) Wenn \( \quad a > 0 \):

\[\text{Für } x > -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad f(x) > 0, \]
\[\text{Für } x < -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad f(x) < 0. \]

 

2) Wenn \( \quad a < 0 \):

\[\text{Für } x > -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad f(x) < 0, \quad \]
\[\text{Für } x < -\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad f(x) > 0. \]

Daraus lässt sich folgende allgemeine Regel ableiten:

\[
\text{Für } x > -\frac{b}{a} \quad \text{entspricht das Vorzeichen von } ax + b \quad \textbf{dem Vorzeichen von } a.
\]
\[
\text{Für } x < -\frac{b}{a} \quad \text{ist das Vorzeichen von } ax + b \quad \textbf{entgegengesetzt zum Vorzeichen von } a.
\]

Diese Regel lässt sich übersichtlich in einer Vorzeichentabelle (Intervalltabelle) darstellen:

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen das Vorzeichen des linearen Ausdrucks \[ f(x) = 2x – 16. \]
Zuerst bestimmen wir die Nullstelle (Wurzel):
\[2x – 16 = 0 \Rightarrow x = 8. \]
Da der führende Koeffizient \( a = 2 > 0 \) positiv ist, ergibt sich folgende Vorzeichentabelle:

Daraus folgern wir:
\[
\begin{aligned}
\text{Wenn } x > 8 &\Rightarrow 2x – 16 > 0 \\
\text{Wenn } x < 8 &\Rightarrow 2x – 16 < 0
\end{aligned}
\]

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen das Vorzeichen des linearen Ausdrucks \[ f(x) = 4 – 2x. \]
Zuerst bestimmen wir die Nullstelle:
\[4 – 2x = 0 \Rightarrow x = 2. \]
Da der führende Koeffizient \( a = -2 < 0 \) negativ ist, sieht die Vorzeichentabelle wie folgt aus:

Sucht man beispielsweise die Lösungsmenge für die Ungleichung \( 4 – 2x \ge 0 \), so liest man im positiven Bereich ab:
\[ L = \{ x \in \mathbb{R} \mid -\infty < x \le 2 \} = (-\infty, 2] \]

 

 

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