Konstante Funktion

 

Gegeben sei eine Funktion $f: A \to B$. Wenn jedes Argument aus der Definitionsmenge $A$ auf denselben Funktionswert in der Zielmenge $B$ abgebildet wird, nennt man diese Abbildung eine konstante Funktion.

Das bedeutet, dass für alle $x \in A$ gilt: $f(x) = c$, wobei $c \in B$.

Die Anzahl der verschiedenen konstanten Funktionen, die von $A$ nach $B$ definiert werden können, entspricht genau der Mächtigkeit der Zielmenge, also $s(B)$.

 

Beispiel:

 

Die Funktion $f: A \to B$ ist durch die Vorschrift $f(x) = c$ gegeben.

\[
f(1) = c, \quad f(2) = c, \quad f(3) = c, \quad f(4) = c
\]

In diesem Fall können genau $s(B) = 4$ verschiedene konstante Funktionen definiert werden.

 

AUFGABE 20

 

Die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist definiert durch
\[
f(x) = \frac{(a – 1)x^2 – 3}{ax^2 – 1}
\]
Bestimme den Wert von $a$, unter der Bedingung, dass $f$ eine konstante Funktion ist.

\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) } -\frac{1}{2} \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } \frac{1}{2} \quad
\text{E) } 1
\]

 

Lösung:

 

Damit $f$ eine konstante Funktion ist, muss $f(x) = c$ für eine Konstante $c \in \mathbb{R}$ gelten.

\[
f(x) = \frac{(a – 1)x^2 – 3}{ax^2 – 1} = c
\]

\[
\Rightarrow (a – 1)x^2 – 3 = acx^2 – c
\]

Durch Koeffizientenvergleich der entsprechenden Terme erhalten wir:

\[
\Rightarrow -3 = -c \quad \text{und} \quad a – 1 = ac
\]

\[ \Rightarrow c = 3 \quad \text{und} \quad a – 1 = 3a \]

\[ \Rightarrow 2a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{2} \]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

Graph einer konstanten Funktion:

 

Der Graph einer konstanten Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \;\; f(x) = c$ ist eine horizontale Gerade parallel zur $x$-Achse:

 

Beispiel:

 

Hier ist die konstante Funktion
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = -2
\]
grafisch dargestellt. Für diese Funktion gilt beispielsweise $f(10) = -2$ und $f(100) = -2$.