Untersuchung des Vorzeichens der Nullstellen einer quadratischen Gleichung
Mithilfe des Graphen (Parabel) der quadratischen Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) können wir die Existenz und das Vorzeichen der Nullstellen der quadratischen Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) bestimmen.
\( 1. \quad \) \(\Delta = b^2 – 4ac < 0\)
Wenn \(b^2-4ac < 0 \) gilt, besitzt die Gleichung keine reellen Nullstellen. Folglich erübrigt sich die Bestimmung eines Vorzeichens für die Nullstellen.
\( 2. \quad \) \(\Delta = b^2 – 4ac = 0\)
In diesem Fall besitzt die Gleichung zwei einander entsprechende reelle Nullstellen (eine doppelte Nullstelle). Es seien \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen der Gleichung mit \(x_1 = x_2\).
a) \(x_1 + x_2 < 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2 < 0\)
Es existieren zwei einander entsprechende negative reelle Nullstellen.
b) \(x_1 + x_2 = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2 = 0\)
Die Nullstellen der Gleichung liegen im Koordinatenursprung.
c) \(x_1 + x_2 > 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2 > 0\)
Es existieren zwei einander entsprechende positive reelle Nullstellen.
\( 3. \quad \) \(\Delta = b^2 – 4ac > 0\)
In diesem Fall besitzt die Gleichung zwei voneinander verschiedene reelle Nullstellen. Es seien \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen der Gleichung mit \(x_1 < x_2\).
a)
\[
\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 > 0 \\
x_1 + x_2 > 0
\end{aligned}
\right\} \Leftrightarrow 0 < x_1 < x_2 \\
\]
Es existieren zwei positive Nullstellen.
b)
\[
\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 > 0 \\
x_1 + x_2 < 0
\end{aligned}
\right\} \Leftrightarrow x_1 < x_2 < 0 \\
\]
Es existieren zwei negative Nullstellen.
c)
\[
\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 < 0 \\
x_1 + x_2 > 0
\end{aligned}
\right\} \Leftrightarrow x_1 < 0 < x_2 \text{ und } |x_1| < x_2 \\
\]
Die betragsmäßig größere Nullstelle ist positiv. Es existieren zwei Nullstellen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
d)
\[
\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 < 0 \\
x_1 + x_2 < 0
\end{aligned}
\right\} \Leftrightarrow x_1 < 0 < x_2 \text{ und } |x_1| > x_2 \\
\]
Die betragsmäßig größere Nullstelle ist negativ. Es existieren zwei Nullstellen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
e)
\[\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 < 0 \\
x_1 + x_2 = 0
\end{aligned}
\right\}
\Leftrightarrow x_1 < 0 < x_2 \text{ und } \quad |x_1| = x_2 \]
Es existieren zwei Nullstellen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzten Vorzeichen.
f)
\[\left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 = 0 \\
x_1 + x_2 > 0
\end{aligned}
\right\}
\Leftrightarrow x_1 = 0 < x_2 \]
Es existieren zwei Nullstellen, von denen eine gleich null und die andere positiv ist.
g)
\[ \left.
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 = 0 \\
x_1 + x_2 < 0
\end{aligned}
\right\}
\Leftrightarrow x_1 < 0 = x_2 \]
Es existieren zwei Nullstellen, von denen eine gleich null und die andere negativ ist.
Beispiel:
Wir untersuchen die Existenz und die Vorzeichen der Nullstellen der Gleichung \(x^2 – (m^2 + 1)x\; – m^2 \;- 1 = 0\).
Da \(a = 1 > 0\) und \(c = -m^2\; – 1 < 0\) gilt, folgt \(\Delta > 0\). Die Gleichung besitzt somit zwei voneinander verschiedene reelle Nullstellen. Es seien \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen mit \(x_1\; <\; x_2\).
\[
\left.
\begin{aligned}
&x_1 \cdot x_2 = -m^2 – 1 < 0 \\
&x_1 + x_2 = m^2 + 1 > 0
\end{aligned}
\right\}
\text{ folglich gilt: } x_1 < 0 < x_2 \text{ und } |x_1| < x_2.
\]
Beispiel:
Wir untersuchen die Existenz und die Vorzeichen der Nullstellen der Gleichung \(16x^2 -\; 1000x + 5^6 = 0\).
\[
\Delta = (-1000)^2 – 4 \cdot 16 \cdot 5^6 = 10^6 – 2^6 \cdot 5^6 = 0
\]
Da die Diskriminante gleich null ist, besitzt die Gleichung eine doppelte Nullstelle. Es seien \(x_1\) und \(x_2\) diese Nullstellen.
\[
x_1 + x_2 = -\frac{-1000}{16} = \frac{125}{2} > 0 \Rightarrow x_1 = x_2 > 0.
\]
AUFGABE 29
Für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) der Gleichung \(mx^2 -\; 2(1 – \;m)x + m -\; 2 = 0\) gelten die Beziehungen \(x_1 < 0 < x_2\) und \(x_2 < |x_1|\). Welche der folgenden Aussagen über \(m\) ist korrekt?
\[ \text{A) } m < 0\ \quad
\text{B) } 0 < m < 1\ \quad
\text{C) } 1 < m < 2 \quad
\text{D) }2 < m < 3 \quad
\text{E) } m > 3 \]
Lösungweg:
Gegeben ist die Gleichung:
\[
mx^2 – 2(1 – m)x + m – 2 = 0
\]
Aus \(x_1 < 0 < x_2\) folgt für das Produkt der Nullstellen: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{m – 2}{m} < 0\]
Wegen \(x_1 < 0\) gilt \(|x_1| = -x_1\).
Zudem gilt \(x_2 < |x_1| \Rightarrow x_2 < -x_1 \Rightarrow x_1 + x_2 < 0\). Für die Summe der Nullstellen folgt demnach:
\[
x_1 + x_2 = \frac{2(1 – m)}{m} < 0
\]
\[
\text{Die Lösungsmenge lautet: } L = \{ m \mid 1 < m < 2,\ m \in \mathbb{R} \}.
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
← Vorherige Seite | Nächste Seite →