Ungleichungen mit Betrag und Radikanden (Wurzeln)
\( 1. \quad \text{Unter der Bedingung } g(x) > 0 \)
\[ \text{Wenn } \quad \left| f(x) \right| < g(x), \quad \text{ dann gilt } \quad -g(x) < f(x) < g(x). \]
AUFGABE 18
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[ \left| x^2 – x – 1 \right| < 5 \]?
\[ \text{A) } x < -2 \quad
\text{B) } -3 < x < -1 \quad
\text{C) } -2 < x < 3 \quad
\text{D) } x > 3 \quad
\text{E) } 3 < x < 4 \]
Lösung:
\[\left| x^2 – x – 1 \right| < 5 \Rightarrow -5 < x^2 – x – 1 < 5 \]
Wir können diese Doppelungleichung in zwei separate Ungleichungen aufspalten, die beide gleichzeitig erfüllt sein müssen:
\[-5 < x^2 – x – 1 \quad \text{und} \quad x^2 – x – 1 < 5 \]
Untersuchen wir die erste Ungleichung:
\[ x^2 – x + 4 > 0 \]
Da der Leitkoeffizient $a = 1 > 0$ und die Diskriminante $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(4) = -15 < 0$ ist, nimmt dieser quadratische Ausdruck für alle reellen Zahlen positive Werte an. Die Teil-Lösungsmenge lautet:
\[ \mathcal{L}_1 = \mathbb{R} \]
Untersuchen wir die zweite Ungleichung:
\[ x^2 – x – 1 < 5 \Rightarrow x^2 – x – 6 < 0 \]
Durch Faktorisierung erhält man $(x – 3)(x + 2) < 0$, woraus sich die Nullstellen $x = -2$ und $x = 3$ ergeben.
Die Lösungsmenge für diese zweite Ungleichung lautet:
\[ \mathcal{L}_2 = { x \mid -2 < x < 3, \, x \in \mathbb{R} } \]
Die endgültige Gesamtlösungsmenge bildet die Schnittmenge aus $\mathcal{L}_1$ und $\mathcal{L}_2$:
\[ \mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2 = \{ x \mid -2 < x < 3, \, x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 19
Welches der folgenden Intervalle stellt eines der Intervalle dar, die die Ungleichung \[ \left| x^2 – 3x – 1 \right| < x + 4 \] erfüllen?
\[\text{A) } -3 < x < -1 \quad
\text{B) } -1 < x < 5 \quad
\text{C) } 5 < x < 7 \quad
\text{D) } x < -3 \quad
\text{E) } x > 7 \]
Lösung:
Damit eine Betragsungleichung dieser Form überhaupt eine gültige Lösungsmenge besitzt, muss die rechte Seite der Einschränkung positiv sein:
\[ x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \]
Nach den Rechenregeln für Betragsungleichungen gilt:
\[ \left| x^2 – 3x – 1 \right| < x + 4 \Rightarrow -(x + 4) < x^2 – 3x – 1 < x + 4 \]
Dies lässt sich in ein System aus zwei getrennten Ungleichungen überführen:
\[ -x – 4 < x^2 – 3x – 1 \quad \text{und} \quad x^2 – 3x – 1 < x + 4 \]
Betrachten wir die erste Ungleichung:
\[ x^2 – 2x + 3 > 0 \]
Wegen $a = 1 > 0$ und $\Delta = (-2)^2 – 4(1)(3) = -8 < 0$ ist dieser Ausdruck für alle reellen Zahlen stets positiv:
\[ \mathcal{L}_1 = \mathbb{R} \]
Betrachten wir die zweite Ungleichung:
\[ x^2 – 3x – 1 < x + 4 \Rightarrow x^2 – 4x – 5 < 0 \]
Die Faktorisierung liefert $(x – 5)(x + 1) < 0$, woraus die Nullstellen $x = -1$ und $x = 5$ folgen.
Das Lösungsintervall für diesen Teil lautet somit:
\[ \mathcal{L}_2 = \{ x \mid -1 < x < 5, \; x \in \mathbb{R} \} \]
Unter Berücksichtigung aller Bedingungen ($\mathcal{L}_1$, $\mathcal{L}_2$ und $x > -4$) ergibt sich die Schnittmenge:
\[ \mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2 = \{ x \mid -1 < x < 5, \; x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
\( 2. \quad \text{Wenn } | f(x) | > g(x), \text{ dann gilt } f(x) > g(x) \text{ oder } f(x) < -g(x). \)
AUFGABE 20
Welches der folgenden Intervalle stellt eines der Intervalle dar, die die Ungleichung \( \left| x^2 + x – 5 \right| > 2x + 1 \) erfüllen?
\[ \text{A) } x < 3 \quad
\text{B) } -3 < x < 2 \quad
\text{C) } -1 < x < 3 \quad
\text{D) } x > 3 \quad
\text{E) } x < 2 \]
Lösung:
\[ \left| x^2 + x – 5 \right| > 2x + 1 \Rightarrow
\begin{cases}
x^2 + x – 5 > 2x + 1 \\
\text{oder} \\
x^2 + x – 5 < -(2x + 1)
\end{cases} \]
Daraus ergeben sich zwei separate Fälle:
\[ x^2 – x – 6 > 0 \quad \text{oder} \quad x^2 + 3x – 4 < 0 \]
Für die erste quadratische Ungleichung, $x^2 – x – 6 > 0 \Rightarrow (x – 3)(x + 2) > 0$:
\[ \mathcal{L}_1 = \{ x \mid x < -2 \text{ oder } x > 3, \; x \in \mathbb{R} \} \]
Für die zweite quadratische Ungleichung, $x^2 + 3x – 4 < 0 \Rightarrow (x + 4)(x – 1) < 0$:
\[ \mathcal{L}_2 = \{ x \mid -4 < x < 1, \; x \in \mathbb{R} \} \]
Da es sich um eine „oder“-Verknüpfung handelt, bilden wir die Vereinigungsmenge der beiden Teillösungen ($\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2$):
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid x < 1 \text{ oder } x > 3, \; x \in \mathbb{R} \} \]
Beim Abgleich mit den vorgegebenen Optionen stellen wir fest, dass das Intervall $x > 3$ vollständig in dieser Lösungsmenge enthalten ist.
\(\textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 21
Welches der folgenden Intervalle stellt eines der Intervalle dar, die die Ungleichung \( x^2 + x + 4 < \left| -2x^2 + x – 1 \right| < x^2 + x + 9 \) erfüllen?
\[\text{A) } -2 < x < -1 \quad
\text{B) } x < -2 \quad
\text{C) } -1 < x < 3 \quad
\text{D) } x > 3 \quad
\text{E) } 4 < x < 5 \]
Lösung:
Untersuchen wir das Vorzeichen des quadratischen Terms \( -2x^2 + x – 1 \). Hier ist $a = -2 < 0$ und $\Delta = 1^2 – 4(-2)(-1) = -7 < 0$.
Da die Diskriminante negativ und der Leitkoeffizient ebenfalls negativ ist, verläuft der Funktionsgraph vollständig unterhalb der x-Achse:
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad -2x^2 + x – 1 < 0 \]
Da der Ausdruck im Betrag somit für jede reelle Zahl negativ ist, entfernen wir die Betragsstriche, indem wir das Vorzeichen des gesamten Terms umkehren:
\[ \left| -2x^2 + x – 1 \right| = 2x^2 – x + 1 \]
Setzen wir dies nun wieder in die Doppelungleichung ein:
\[ x^2 + x + 4 < 2x^2 – x + 1 < x^2 + x + 9 \]
Dies lässt sich in das folgende System auflösen:
\[ x^2 + x + 4 < 2x^2 – x + 1 \quad \text{und} \quad 2x^2 – x + 1 < x^2 + x + 9 \]
\[ \Rightarrow -x^2 + 2x + 3 < 0 \quad \text{und} \quad x^2 – 2x – 8 < 0 \]
Wir bestimmen die jeweiligen Nullstellen, um eine gemeinsame Vorzeichentabelle zu erstellen:
– Für $-x^2 + 2x + 3 = 0 \Rightarrow -(x – 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = -1, \, x = 3$
– For $x^2 – 2x – 8 = 0 \Rightarrow (x – 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -2, \, x = 4$
Durch Bilden der Schnittmenge, in der beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, erhalten wir:
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -2 < x < -1 \quad \text{oder} \quad 3 < x < 4, \; x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
\( 3. \quad \text{Wenn } | f(x) | < | g(x) |, \text{ dann gilt } [f(x)]^2 < [g(x)]^2. \)
AUFGABE 22
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \(|x^2 – 3| < |x – 3|\)?
\[\text{A) } -4 < x < 1 \quad
\text{B) } 0 < x < 1 \quad
\text{C) } x < -3 \quad
\text{D) } x > 2 \quad
\text{E) } 1 < x < 2 \]
Lösung:
Da beide Seiten der Ungleichung nicht-negativ sind, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Quadrieren unverändert gültig:
\[|x^2 – 3| < |x – 3| \Rightarrow |x^2 – 3|^2 < |x – 3|^2\]
\[\Rightarrow x^4 – 6x^2 + 9 < x^2 – 6x + 9 \]
\[\Rightarrow x^4 – 7x^2 + 6x < 0 \]
Nun bestimmen wir die Nullstellen der resultierenden Polynomgleichung $x^4 – 7x^2 + 6x = 0$:
\[ x(x^3 – 7x + 6) = 0 \Rightarrow x(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0 \]
Die kritischen Nullstellen lauten:
\[ x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = 2 \]
Die Intervalle, in denen das Polynom streng negativ ist, lauten:
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -3 < x < 0 \quad \text{oder} \quad 1 < x < 2, \; x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 23
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \(|x – 2| – |x + 1| – x + 2 < 0\)?
\[\text{A) } -1 < x < 1 \quad
\text{B) } x > 1 \quad
\text{C) } x < -2 \quad
\text{D) } -2 < x < 0 \quad
\text{E) } 0 < x < 3 \]
Lösung:
Untersuchen wir die Vorzeichen der Ausdrücke innerhalb der Beträge anhand der kritischen Punkte (Nullstellen), welche bei $x = 2$ und $x = -1$ liegen.
Entsprechend dieser Tabelle lösen wir die Ungleichung mittels einer Fallunterscheidung für drei separate Intervalle auf:
Fall 1: Für \(x \leq -1\)
Beide Betragsterme sind nicht-positiv, weshalb sich ihre Vorzeichen beim Auflösen des Betrags umkehren:
\[\begin{aligned} &- (x – 2) – [ – (x + 1) ] – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow -x + 2 + x + 1 – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow -x + 5 < 0 \\
&\Rightarrow x > 5
\end{aligned}\]
Da die Bedingung $x > 5$ keinen gemeinsamen Schnittbereich mit der Intervallvorgabe $x \leq -1$ besitzt, liefert dieser Fall keine Lösung:
\[ \mathcal{L}_1 = \emptyset \]
Fall 2: Für \(-1 \leq x \leq 2\)
Der Term $x-2$ ist nicht-positiv, während $x+1$ nicht-negativ ist:
\[\begin{aligned}
&- (x – 2) – (x + 1) – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow -x + 2 – x – 1 – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow -3x + 3 < 0 \\
&\Rightarrow x > 1
\end{aligned}\]
Die Schnittmenge aus $x > 1$ und der Intervallvorgabe \(-1 \leq x \leq 2\) liefert:
\[ \mathcal{L}_2 = \{x \mid 1 < x \leq 2,\, x \in \mathbb{R}\} \]
Fall 3: Für \(x \geq 2\)
Beide Betragsterme sind nicht-negativ, sie können also ohne Vorzeichenänderung direkt übernommen werden:
\[\begin{aligned}&x – 2 – (x + 1) – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow x – 2 – x – 1 – x + 2 < 0 \\
&\Rightarrow -x – 1 < 0 \\
&\Rightarrow x > -1
\end{aligned}\]
Der Schnittbereich aus $x > -1$ und dem Intervall $x \geq 2$ ergibt das gesamte Intervall selbst:
\[ \mathcal{L}_3 = \{x \mid x \geq 2,\, x \in \mathbb{R}\} \]
Fügen wir nun die Teillösungen aller drei Fälle zusammen (\(\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2 \cup \mathcal{L}_3\)):
\[ \mathcal{L} = \{x \mid x > 1,\, x \in \mathbb{R}\} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 24
Wie viele ganzzahlige Werte für $x$ erfüllen die Ungleichung \[ f(x) = \frac{\sqrt{x + 3} \cdot (x^2 – 16)}{| -x^2 + x + 2 |} < 0 \]?
\[\text{A) } 5 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1 \]
Lösung:
Bestimmen wir zunächst die Definitionsmenge für die Funktion $f(x)$:
1. Der Radikand unter der Quadratwurzel darf nicht negativ sein: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. Da es sich um eine strikte Ungleichung $f(x) < 0$ handelt, darf der Term zudem nicht Null werden, woraus $x > -3$ folgt. In diesem zulässigen Bereich ist $\sqrt{x+3} > 0$ und beeinflusst das Vorzeichenverhalten in der Tabelle somit nicht.
2. Der Nenner darf nicht gleich Null sein: $|-x^2 + x + 2| \neq 0 \Rightarrow -(x – 2)(x + 1) \neq 0$, was bedeutet, dass $x \neq 2$ und $x \neq -1$ gelten muss. Da ein Betrag an allen anderen Stellen stets positiv ist, hat er ebenfalls keinen Einfluss auf die Vorzeichenwechsel in unseren Intervallen.
Das Vorzeichen der gesamten Funktion $f(x)$ hängt folglich ausschließlich vom Vorzeichen des quadratischen Terms $x^2 – 16$ ab.
Wir lösen somit: $x^2 – 16 < 0 \Rightarrow (x – 4)(x + 4) < 0$:
Dies liefert uns das Basisintervall $-4 < x < 4$. Wenden wir nun die Einschränkungen der Definitionsmenge an:
\[ x > -3, \quad x \neq -1, \quad x \neq 2 \]
Durch den Abgleich dieser Bedingungen mit dem Intervall $(-4, 4)$ verbleiben folgende zulässige ganzzahlige Lösungen für $x$:
\[ x \in \{-2, 0, 1, 3\} \]
Es gibt somit genau vier ganzzahlige Werte.
\(\textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 25
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[\sqrt[3]{x^3 \;- \;2x^2 + 1} \leq x\; – \;1 \]?
\[\text{A) } x < -2 \quad
\text{B) } -2 < x < -1 \quad
\text{C) } -1 < x &leq 1 \quad
\text{D) } 1 \leq x \leq 2 \quad
\text{E) } x > 2 \]
Lösung:
Da ungerade Wurzeln (wie die Kubikwurzel) das Ungleichheitszeichen über dem gesamten reellen Zahlenbereich ohne Definitionslücken erhalten, können wir beide Seiten direkt mit 3 potenzieren:
\[ \left( \sqrt[3]{x^3 \;-\; 2x^2 + 1} \right)^3 \leq (x\; – \;1)^3 \]
Wir expandieren die rechte Seite mithilfe der entsprechenden Binomischen Formel für Kubikterme:
\[ x^3\; – \; 2x^2 + 1 \leq x^3 \;- \;3x^2 + 3x\; – 1 \]
Subtrahiert man auf beiden Seiten $x^3$ und bringt alle Terme auf die linke Seite, so erhält man:
\[ x^2 \;- \; 3x + 2 \leq 0 \]
Die Faktorisierung dieses quadratischen Ausdrucks ergibt $(x – 1)(x – 2) \leq 0$, woraus sich die Nullstellen $x = 1$ und $x = 2$ ablesen lassen.
Die Lösungsmenge lautet:
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid 1 \leq x \leq 2,\ x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: D}\)
AUFGABE 26
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[x – 1 < \sqrt{-x^2 + 3x + 4}\]?
\[\text{A) } -1 \leq x < 3 \quad
\text{B) } 0 < x < 4 \quad
\text{C) } 2 < x < 4 \quad
\text{D) } x \geq 3\quad
\text{E) } x < 1 \]
Lösung:
Damit der Radikand unter der Quadratwurzel im reellen Zahlenbereich definiert ist, muss er größer oder gleich Null sein:
\[ – x^2 + 3x + 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 – 3x – 4 \leq 0 \]
Die Faktorisierung führt zu $(x – 4)(x + 1) \leq 0$, was uns folgende Bedingung für den Definitionsbereich liefert:
\[ -1 \leq x \leq 4 \]
Nun untersuchen wir die Ungleichung innerhalb dieses zulässigen Bereiches mithilfe einer Fallunterscheidung, basierend auf dem Vorzeichen des linken Terms:
Fall 1: Wenn der linke Ausdruck streng negativ ist
\[ x – 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \]
Für alle Werte mit $x < 1$ ist die linke Seite negativ, während die rechte Seite (die Quadratwurzel) definitionsgemäß stets nicht-negativ ist. Da eine negative Zahl immer kleiner als eine nicht-negative Zahl ist, ist die Ungleichung in diesem Bereich immer wahr. Bilden wir die Schnittmenge aus $x < 1$ und dem Definitionsbereich $[-1, 4]$, erhalten wir:
\[ \mathcal{L}_1 = \{ x \mid -1 \leq x < 1,\ x \in \mathbb{R} \} \]
Fall 2: Wenn der linke Ausdruck nicht-negativ ist
\[ x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \]
Da in diesem Fall beide Seiten der Ungleichung nicht-negativ sind, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Quadrieren unverändert bestehen:
\[ (x – 1)^2 < \left( \sqrt{-x^2 + 3x + 4} \right)^2 \]
\[ \Rightarrow x^2 – 2x + 1 < -x^2 + 3x + 4 \]
\[ \Rightarrow 2x^2 – 5x – 3 < 0 \]
Faktorisieren wir diesen quadratischen Ausdruck, ergibt sich $(2x + 1)(x – 3) < 0$, woraus die Nullstellen $x = -\frac{1}{2}$ und $x = 3$ hervorgehen.
Das Intervall für diese quadratische Bedingung lautet $-\frac{1}{2} < x < 3$. Wir schneiden dieses nun mit der Fallbedingung $x \geq 1$ und dem globalen Definitionsbereich $[-1, 4]$:
\[ \mathcal{L}_2 = \{ x \mid 1 \leq x < 3,\ x \in \mathbb{R} \} \]
Die Gesamtlösungsmenge bildet die Vereinigung der Resultate aus beiden Fällen (\(\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2\)):
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid -1 \leq x < 3,\ x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 27
Welches der folgenden Intervalle erfüllt die Ungleichung \[x + 2 > \sqrt{x^2 \; – 16}\]?
\[\text{A) } x < -5 \quad
\text{B) } -5 < x < -4\quad
\text{C) } -4 < x < -2 \quad
\text{D) } -2 < x < 4\quad
\text{E) } x \geq 4 \]
Lösung:
Zum Lösen dieser Wurzelungleichung müssen wir ein System aus Bedingungen aufstellen, die allesamt gleichzeitig erfüllt sein müssen:
1. Der Ausdruck unter der Quadratwurzel muss reell definiert sein:
\[ x^2 – 16 \geq 0 \Rightarrow x \leq -4 \quad \text{oder} \quad x \geq 4 \]
2. Da eine Quadratwurzel immer einen nicht-negativen Wert liefert, muss der Ausdruck $x + 2$, um strikt größer als die Wurzel zu sein, zwingend positiv sein:
\[ x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \]
3. Da nun beide Seiten nachweislich nicht-negativ sind, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Quadrieren erhalten:
\[ (x + 2)^2 > \left(\sqrt{x^2 – 16}\right)^2 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 > x^2 – 16 \]
\[ \Rightarrow 4x + 20 > 0 \Rightarrow x > -5 \]
Nun bestimmen wir die Schnittmenge all dieser einzelnen Bedingungen:
\[
\left.
\begin{aligned}
&x > -5 \\
&x \leq -4 \quad \text{oder} \quad x \geq 4 \\
&x > -2
\end{aligned}
\right\}
\]
Visualisieren wir die Überlappungen in einer Übersicht:
Schneidet man die Bedingung $x > -2$ mit den zulässigen Bereichen des Definitionsbereichs $(x \le -4 \text{ oder } x \ge 4)$, verbleibt ausschließlich der positive Ast als gültige Lösung.
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid x \geq 4,\ x \in \mathbb{R} \} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 28
Wie viele ganzzahlige Werte für $x$ erfüllen die Ungleichung \[ \sqrt[x – 1]{2^{x^2 + 5x} } \geq 4^x \]?
\[\text{A) } 4 \quad
\text{B) } 5\quad
\text{C) } 6\quad
\text{D) } 7\quad
\text{E) } 8 \]
Lösung:
Wir schreiben den Wurzelausdruck unter Verwendung eines rationalen Exponenten um und passen die Basen an den Wert $2$ an:
\[ 2^{\frac{x^2 + 5x}{x – 1}} \geq (2^2)^x \Rightarrow 2^{\frac{x^2 + 5x}{x – 1}} \geq 2^{2x} \]
Da die Basis $2 > 1$ ist, bleibt die Richtung des Ungleichheitszeichens beim reinen Vergleich der Exponenten unverändert erhalten:
\[ \frac{x^2 + 5x}{x – 1} \geq 2x \]
Wir bringen alle Glieder auf eine Seite, um sie auf den gleichen Hauptnenner zu bringen:
\[ \frac{x^2 + 5x}{x – 1} – 2x \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 5x – 2x(x – 1)}{x – 1} \geq 0 \]
\[ \Rightarrow f(x) = \frac{-x^2 + 7x}{x – 1} \geq 0 \]
Nun ermitteln wir die Nullstellen für Zähler und Nenner:
– $-x^2 + 7x = 0 \Rightarrow -x(x – 7) = 0 \Rightarrow x = 0, \, x = 7$
– $x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Tragen wir diese Werte in eine Vorzeichentabelle ein:
Aus der Tabelle lesen wir ab, dass der Ausdruck in folgenden Intervallen nicht-negativ ist: $x \leq 0$ oder $1 < x \leq 7$.
Zusätzlich gilt in der Algebra für den Wurzelexponenten einer Radikalengleichung standardmäßig die Einschränkung, dass dieser eine natürliche Zahl größer oder gleich 2 sein muss:
\[ x – 1 \geq 1 \Rightarrow x \geq 2 \quad \text{wobei } x \in \mathbb{Z} \]
Bilden wir nun die Schnittmenge aus den positiven Intervallen der Vorzeichentabelle und der Bedingung $x \geq 2$, so ergibt sich:
\[ \mathcal{L} = \{ x \mid 2 \leq x \leq 7,\ x \in \mathbb{Z} \} \]
Die zulässigen ganzzahligen Werte lauten somit $2, 3, 4, 5, 6$ und $7$. Es existieren folglich genau sechs ganzzahlige Werte.
\(\textbf{Antwort: C} \)
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