Kubische Gleichungen in einer Variablen

 

Seien \( x_1, x_2, x_3 \) die Wurzeln (Lösungen) einer kubischen Gleichung in einer Variablen
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
wobei \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) und \( a \neq 0 \). Wenn eine der Wurzeln, beispielsweise \( x_1 \), bekannt ist, lässt sich der Term \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) durch den Linearfaktor \( x – x_1 \) teilen. Mittels Polynomdivision ergibt sich:
\[
\frac{ax^3 + bx^2 + cx + d}{x – x_1} = Ax^2 + Bx + C
\]
Die Nullstellen der verbleibenden quadratischen Gleichung
\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]
liefern dann die weiteren Wurzeln \( x_2 \) und \( x_3 \) der ursprünglichen kubischen Gleichung.

 

Beispiel:

 

Bestimmen wir die Lösungsmenge der kubischen Gleichung:
\[
x^3 – 8x^2 + 19x – 12 = 0
\]

Da die Summe aller Koeffizienten der Gleichung
\[
1 – 8 + 19 – 12 = 0
\]
beträgt, ist nach dem Satz von der Koeffizientensumme eine der Wurzeln gleich \( 1 \). Durch Durchführung der Polynomdivision erhalten wir:
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 – 8x^2 + 19x – 12 & x-1 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & x^2 – 7x + 12 \\
0 &
\end{array}
\]
Aus dem resultierenden quadratischen Term ergibt sich:
\[
x^2 – 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3 \quad \text{oder} \quad x = 4
\]
Die vollständige Lösungsmenge lautet somit:
\[
L = \{ 1, 3, 4 \}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen wir die Lösungsmenge der kubischen Gleichung:
\[
x^3 – x^2 – x – 2 = 0
\]

Durch Überprüfen der Teiler des Absolutglieds \(-2\) stellt man fest, dass die Zahl \(2\) die Gleichung erfüllt. Somit gilt für den ersten Teil der Lösungsmenge:
\[
L_1 = \{2\}
\]
Die Polynomdivision durch den Faktor \( x – 2 \) liefert:
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 – x^2 – x – 2 & x-2 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & x^2 + x + 1 \\
0 &
\end{array}
\]
Die verbleibende quadratische Gleichung besitzt eine negative Diskriminante und hat somit keine reellen Lösungen:
\[
x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow L_2 = \emptyset
\]
Die Gesamtlösungsmenge im Reellen lautet daher:
\[
L = L_1 \cup L_2 = \{2\}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen wir die Lösungsmenge der kubischen Gleichung:
\[
2x^3 – 3x + 1 = 0
\]

Da die Summe der Koeffizienten
\[
2 – 3 + 1 = 0
\]
ergibt, ist eine der Wurzeln \(1\). Die Division durch den Linearfaktor \( x – 1 \) ergibt:
\[
\begin{array}{r|l}
2x^3 – 3x + 1 & x-1 \\
& \rule{25mm}{0.35mm} \\
– \rule{35mm}{0.35mm} & 2x^2 + 2x – 1 \\
0 &
\end{array}
\]
Mithilfe der quadratischen Lösungsformel (Mitternachtsformel) bestimmen wir die restlichen Wurzeln aus:
\[
2x^2 + 2x – 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_{2 , 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2}
\]
Daraus ergibt sich die Lösungsmenge:
\[
L = \left\{ \frac{-1 – \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, 1 \right\}
\]

 

Satz von Vieta für kubische Gleichungen:

 

Seien \( x_1, x_2, x_3 \) die Wurzeln der kubischen Gleichung
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
Dividiert man beide Seiten durch den Leitkoeffizienten \( a \), so erhält man die normierte Form:
\[
x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0
\]
Durch Ausmultiplizieren der Produktdarstellung \( (x – x_1)(x – x_2)(x – x_3) = 0 \) und anschließendem Koeffizientenvergleich ergeben sich folgende Zusammenhänge:

 

Summe der Wurzeln:

 

\[
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
\]

 

Produkt der Wurzeln:

 

\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}
\]

 

Summe der paarweisen Produkte der Wurzeln:

 

\[
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}
\]

 

Beispiel:

 

Die Wurzeln der Gleichung \( x^3 – 4x^2 + 6 = 0 \) sind \( x_1, x_2, x_3 \). Bestimmen wir den Wert des Ausdrucks:
\[
A = \frac{x_1}{x_2 x_3} + \frac{x_2}{x_1 x_3} + \frac{x_3}{x_1 x_2}
\]

Durch Bringen auf einen gemeinsamen Nenner und algebraische Umformung des Zählers folgt:
\[
A = \frac{x_1}{x_2 x_3} + \frac{x_2}{x_1 x_3} + \frac{x_3}{x_1 x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{x_1 x_2 x_3}
\]
\[
A = \frac{(x_1 + x_2 + x_3)^2 \;- \; 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}{x_1 x_2 x_3}
\]
Einsetzen der Werte mittels des Satzes von Vieta ergibt:
\[
A = \frac{4^2 – 2 \cdot 0}{-6} = -\frac{7}{3}
\]

 

AUFGABE 34

 

Die Wurzeln der Gleichung
\[
x^3 + (m + 1)x^2 – mx – 2 = 0
\]
sind \( x_1, x_2, x_3 \). Wenn die Beziehung
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}
\]
gilt, wie groß ist dann die Summe der Wurzeln dieser Gleichung?

\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]

Lösung:

 

Wir machen die Brüche des gegebenen Ausdrucks gleichnamig:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = -\frac{1}{2}
\]
Unter Anwendung des Satzes von Vieta erhalten wir:
\[
\Rightarrow \frac{-m}{2} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow m = 1
\]
Wir setzen \( m = 1 \) in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[
x^3 + (m + 1)x^2 – mx – 2 = 0 \Rightarrow x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0
\]
Daraus ergibt sich für die Summe der Wurzeln:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = -2
\]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 35

 

Zwei der Wurzeln der Gleichung
\[
x^3 + 3ax + 16 = 0
\]
sind einander gleich (Doppelwurzel). Bestimmen Sie den Wert von \( a \).

\[
\text{A) } -6 \quad
\text{B) } -5 \quad
\text{C) } -4 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 5
\]

Lösung:

 

Seien \( x_1, x_2, x_3 \) die Wurzeln der Gleichung. Da zwei Wurzeln identisch sind, nehmen wir an, dass \( x_1 = x_2 \) gilt. Nach dem Satz von Vieta gilt:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = 2x_1 + x_3 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_3 = -2x_1
\]
Für das Produkt der Wurzeln gilt:
\[
x_1 x_2 x_3 = x_1^2 x_3 = -16
\]
Wir setzen den Ausdruck für \( x_3 \) ein:
\[
\Rightarrow x_1^2 (-2x_1) = -16
\]
\[
\Rightarrow -2x_1^3 = -16
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 2
\]
Da \(x_1 = 2\) eine Lösung der Gleichung ist, muss sie diese erfüllen. Einsetzen von \(x = 2\) liefert:
\[
x^3 + 3ax + 16 = 0 \Rightarrow 2^3 + 3a \cdot 2 + 16 = 0
\]
\[
\Rightarrow a = -4
\]

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 36

 

Die Wurzeln der Gleichung
\[
x^3 + x^2 – 3x + m = 0
\]
sind \( x_1, x_2, x_3 \). Wenn die Gleichung
\[
x_1^2 \;x_2^2\; x_3 + x_1^2\; x_2 \;x_3^2 + x_1\;x_2^2\;x_3^2 = 3
\]
erfüllt ist, wie groß ist dann \( m \)?

\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]

Lösung:

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor \( x_1 x_2 x_3 \) aus:
\[
x_1^2 \;x_2^2\; x_3 + x_1^2\; x_2 \;x_3^2 + x_1\;x_2^2\;x_3^2 = 3
\]
\[\Rightarrow x_1 \;x_2\; x_3 (x_1\;x_2+ x_1\;x_3 + x_2\; x_3)= 3 \]
Unter Verwendung des Satzes von Vieta setzen wir die entsprechenden Terme für das Produkt und die Summe der paarweisen Produkte ein:
\[\Rightarrow -m \cdot (-3)= 3 \Rightarrow m=1 \]

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 37

 

Seien \( m \) und \( n \) von Null verschiedene reelle Zahlen. Die Wurzeln der quadratischen Gleichung
\[
x^2 – mx + n = 0
\]
sind gleichzeitig auch Wurzeln der kubischen Gleichung
\[
2x^3 – 4mx^2 + 3x – 2mn^2 = 0
\]
Bestimmen Sie den Wert von \( n \).

\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

Lösung:

 

Seien \( x_1, x_2 \) die Wurzeln der quadratischen Gleichung und \( x_1, x_2, x_3 \) die Wurzeln der kubischen Gleichung. Aus der quadratischen Gleichung folgt nach Vieta:
\[
x_1 + x_2 = m \quad \text{und} \quad x_1 x_2 = n
\]
Für die kubische Gleichung gilt nach dem Satz von Vieta für die Summe der Wurzeln:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-(-4m)}{2} = 2m
\]
Setzt man \( x_1 + x_2 = m \) in diese Summe ein, so erhält man:
\[
m + x_3 = 2m \Rightarrow x_3 = m
\]
Nun betrachten wir das Produkt aller drei Wurzeln der kubischen Gleichung:
\[
x_1 \;x_2 \; x_3 = \frac{-(-2mn^2)}{2} = mn^2
\]
Durch Einsetzen von \( x_1 x_2 = n \) und \( x_3 = m \) ergibt sich:
\[
n \cdot m = mn^2
\]
Da laut Voraussetzung \( m \neq 0 \) und \( n \neq 0 \) gelten, teilen wir beide Seiten durch \( mn \) und erhalten:
\[
n = 1
\]

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

Zusammenhänge zwischen Wurzeln und Koeffizienten bei Gleichungen n-ten Grades:

 

Seien \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n \) die Wurzeln einer algebraischen Gleichung \(n\)-ten Grades der Form:
\[
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0
\]

 

Summe der Wurzeln:

 

\[
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}
\]

 

Produkt der Wurzeln:

 

\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}
\]

 

Beispiel:

 

Bestimmen wir die Summe und das Produkt der Wurzeln der folgenden Gleichung 7. Grades:
\[
2x^7 – 6x^6 + 3x^2 – x – 4 = 0
\]

 

Unter Anwendung der verallgemeinerten Formeln des Satzes von Vieta für \(n=7\) erhalten wir:
\[
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_7 = -\frac{-6}{2} = 3
\]
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_7 = (-1)^7 \cdot \frac{-4}{2} = 2
\]

 

AUFGABE 38

 

Alle Wurzeln der Gleichung
\[
x^4 + ax^2 + 4 = 0
\]
sind reell. Welche der folgenden Aussagen ist für diese Wurzeln zwingend wahr?

A) Alle vier Wurzeln sind positiv.
B) Zwei Wurzeln sind positiv und zwei Wurzeln sind negativ.
C) Drei Wurzeln sind positiv und eine Wurzel ist negativ.
D) Alle vier Wurzeln sind negativ.
E) Drei Wurzeln sind negativ und eine Wurzel ist positiv.

 

Lösung:

 

Seien \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) die Wurzeln der gegebenen Gleichung 4. Grades. Da der Koeffizient von \(x^3\) Null ist, gilt für die Summe der Wurzeln:
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0
\]
Für das Produkt der Wurzeln gilt:
\[
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (-1)^4 \cdot \frac{4}{1} = 4
\]
Da das Produkt der Wurzeln positiv ist, muss eine gerade Anzahl an negativen Wurzeln vorliegen. Da es sich zudem um eine biquadratische Gleichung handelt (nur gerade Exponenten), treten reelle Lösungen stets in Paaren entgegengesetzter Vorzeichen auf (\(\pm x\)). Damit die Summe aller vier reellen Wurzeln Null ergibt und ihr Produkt positiv ist, müssen genau zwei Wurzeln positiv und zwei Wurzeln negativ sein.

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

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