Grafische Darstellung von Ungleichungen
Die Menge aller Punkte in der Ebene, die eine Ungleichung erfüllen, wird als Graph dieser Ungleichung bezeichnet.
1) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \[ y \geq mx + n \quad m > 0 \]
2) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \( y < mx + n \). Da hier eine strikte Ungleichung vorliegt, erfüllen die Punkte auf der Geraden \( y = mx + n \) die Ungleichung nicht.
Aus diesem Grund wird die Randgerade \( y = mx + n \) gestrichelt gezeichnet.
Grafische Darstellung von quadratischen Ungleichungen (Parabeln):
1) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \( y \geq ax^2 + bx + c \) mit (\(a > 0\)).
2) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \( y > ax^2 + bx + c \). Da es sich um eine strikte Ungleichung handelt, gehören die Punkte auf der Parabel \( y = ax^2 + bx + c \) nicht zur Lösungsmenge.
Deshalb wird die Randparabel gestrichelt gezeichnet.
3) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \( y \leq ax^2 + bx + c \) mit (\(a > 0\)).
4) Die schraffierte Fläche zeigt den Graphen der Ungleichung \( y < ax^2 + bx + c \) mit (\(a < 0\)). Da keine Gleichheit erlaubt ist, wird die Parabel gestrichelt dargestellt.
Hinweis:
Eine Kurve oder Gerade \(y = f(x)\) teilt die Ebene in zwei Bereiche. Einer dieser Bereiche entspricht der Ungleichung \(y > f(x)\), der andere der Ungleichung \(y < f(x)\).
Um herauszufinden, welcher Bereich gesucht ist, wählt man einen beliebigen Punkt aus einem der Bereiche als Testpunkt und setzt dessen Koordinaten in die Gleichung \(y = f(x)\) ein.
Beispiel:
Wir bestimmen die Ungleichung, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist.
Wir wählen den Testpunkt \(A(-1, -6)\) im schraffierten Bereich und setzen seine Koordinaten in die zugehörige Parabelgleichung \(y = x^2 – 4\) ein:
\[
\text{Für } x = -1 \quad \text{ und } \quad y = -6 \text{ gilt:} \quad -6 < (-1)^2 – 4 \Rightarrow -6 < -3
\]
Da diese Aussage wahr ist und der Rand durchgezogen gezeichnet ist, lautet die Ungleichung \( y \leq x^2 – 4 \).
Beispiel:
Wir stellen die Ungleichung \( y – x^2 + 4x \leq 0 \) grafisch dar.
Zuerst zeichnen wir die Gleichung der Randkurve:
\[
y – x^2 + 4x = 0 \Rightarrow y = x^2 – 4x
\]
Die Parabel teilt die Ebene in zwei Bereiche, \(D_1\) und \(D_2\). Wir prüfen mit dem Testpunkt \(A(0, -5)\) aus der Fläche \(D_2\), ob er die Ungleichung erfüllt:
\[
\text{Für } x = 0,\quad y = -5: \quad y \; – \; x^2 + 4x \leq 0 \]
\[\Rightarrow -5 – \;0^2 + 4 \cdot 0 \leq 0 \Rightarrow -5 \leq 0
\]
Da die Aussage wahr ist, bildet der Bereich \(D_2\), in dem der Punkt \(A(0, -5)\) liegt, die gesuchte Lösungsregion.
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Ungleichung \( y < |x – 1| – x + 3 \).
Für \(x \geq 1\):
Wegen \[|x – 1| = x – 1\] folgt:
\[
y < x – 1 – x + 3 \Rightarrow y < 2
\]
Für \( x < 1 \):
Wegen \[|x – 1| = -(x – 1) = -x + 1\] folgt:
\[
y < -x + 1 – x + 3 \Rightarrow y < -2x + 4
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Ungleichung \( |y| \geq x^2 – 1 \).
Für \(y \geq 0\): Da \(|y| = y\), erhalten wir:
\[
y \geq x^2 – 1
\]
Für \(y < 0\): Da \(|y| = -y\), erhalten wir:
\[
-y \geq x^2 – 1 \Rightarrow y \leq -x^2 + 1
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Ungleichung \( |y| \leq |x| \).
Für \(x \geq 0 \) und \(y \geq 0 \): \( |y| \leq |x| \Rightarrow y \leq x \)
Für \(x \leq 0 \) und \(y \geq 0 \): \( |y| \leq |x| \Rightarrow y \leq -x \)
Für \(x \leq 0 \) und \(y \leq 0 \): \( |y| \leq |x| \Rightarrow -y \leq -x \Rightarrow y \geq x \)
Für \(x \geq 0 \) und \(y \leq 0 \): \( |y| \leq |x| \Rightarrow -y \leq x \Rightarrow y \geq -x\)
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